【329994】14.3.1提公因式法

14.3.1 提公因式法

学习目标

通过你对本节课的学习，相信你一定能理解公因式概念，能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式。

学习重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式。

学习重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式。

课前预习

把一个 化成几个整式的 的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式，因式分解与整式的乘法是 的变形。

1、下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？

（1）2x2+4=2（x2+2）； （2）

（3）x²+4xy－y²=x（x+4y）－y²； （4）m（x+y）=mx+my；

（5）x²－2xy+y²=（x－y）^2、

2、一块场地由三个长方形组成，它们的长分别为 ， ， ，宽都是 ,求这块场地的面积.

解法一：S= × + × + × = + + =2

解法二：S= × + × + × = （ + + ）= ×4=2

从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.

1、公因式与提公因式法分解因式的概念.

将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m（ + + ），可以用等号来连接.

ma+mb+mc=m（ + + ）

上面的等式，左边的每一项都含有因式 ，等式右边是m与多项式（ ）的乘积，从左边到右边是分解因式.

由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的 .

由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（ ）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（ ），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做 法.

1、公因式：如多项式： 的各项都有一个 ，我们把这个

叫做这个多项式的 。

2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有 ，那么就可以把这个公因式 ，从而将多项式化成两个因式 形式，这种分解因式的方法叫做提 ．

课内探究

例1、请同学们指出下列各多项式中各项的公因式：

ax+ay+a 3mx-6mx² 4a²+10ah 4x²－8x⁶ x²y + xy² 12xyz-9x²y² 16a³b²－4a³b²－8ab⁴

通过以上学习探究活动，总结一下最大公因式的方法：

①一看系数：公因式的系数取各项系数的 ；

②二看字母：公因式字母取各项 的字母，

③三看指数：公因式字母的指数取相同字母的最 次幂．

例2、将下列多项式分解因式

⑴ 8a³b²+12ab²c ⑵ 2a（b+c）-3（b+c）

⑶ 3x³-6xy+3x ⑷ -4a³+16a²-18a

例3、将下列多项式分解因式 3a²（x－y）³－4b²（y－x）²

【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式（y－x）²或（x－y）²，于是有两种变形，（x－y）³=－（y－x）³和（x－y）²=（y－x）²，从而得到下面两种分解方法．

解法1：3a²（x－y）³－4b²（y－x）² 解法2：3a²（x－y）³－4b²（y－x）²

练习：1 课本P₁₁₅ 练习1、2、3、

2、简便计算： 123× +264× -387×

注意：1、利用提公因式法因式分解，关键是找准 ．在找最大公因式时应注意：

2、因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为止．

当堂检测

1、 把多项式m²（a-2）+m（2-a）分解因式等于（ ）

A、(a-2)（m²+m） B、(a-2)（m²-m） C、m(a-2)（m-1） D、m(a-2)（m+1）

2、把多项式（1+x）（1-x）-（x-1）提公因式（x-1）后，余下的部分是（ ）

A、（x+1） B、-（x+1） C、x D、-（x+2）

3、填空，分解因式：

（1）3mx-6my= ； 15a²+5a= ；

（2）12xyz-9x²y²= ； x²y+xy²-xy= ；

（3） a²-21a = ； -3ma³+6ma²-12ma = ；

4、把下列各式分解因式：(1) -x³y³-x²y²-xy (2) p(a² + b² )- q(a² + b² )

（3）x（a-b）-y（b-a） （4）a²（x-3y）²- b（3y-x）²

5、计算：2、186×1、237-1、237 ×1、186

6、已知x+y=6，xy=4，则x²y+xy²的值为

7、习题14、3P₁₁₉第1题。

课后训练

1、利用分解因式计算：（1）3²⁰⁰⁴－3²⁰⁰³; （2）（－2）¹⁰¹+（－2）¹⁰⁰.

2、写出一个二项式，使每一项都有公因式2ab：

3、已知： ， 求代数式 的值。