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第五讲 进位制问题
有这样一个笑话：请问“
”在什么样的情况下等于10，答：“在算错的情况下等于10！”．笑话毕竟是笑话，现实生活中一般也不会出现把
算错的情况．不过学习完今天的知识，同学们就知道，不用算错，
也是可以等于10！说起来很奇怪，但在二进制中就是这样的．说到这里，同学们可能会有疑问，什么是二进制呢？那还得从进位制说起．
一、什么是进位制
所谓“进位制”就是指进位的法则．在我们已经学过的加法运算中就有一条进位法则——逢十进一．由于它规定逢十进一，所以这一进位法则又称“十进制”．生活中最常用的就是十进制，例如10分钱就是1角，10角钱就是1元；10毫米等于1厘米，10厘米等于1分米，10分米等于1米．当然，生活中也并不总是“逢十进一”，比如时间就是60进制的：60秒等于1分钟，60分钟等于1小时．再比如西方国家常用的单位“打”，所谓一“打”就是指12个，这就是一种12进制．我国古代重量单位“斤”和“两”就是16进制的，常说的“半斤八两”就是指半斤和八两相当，所以一斤就是16两……像这样的例子有很多，大家不妨自己想想，还有没有别的进位制的例子．
二、怎么表示进位制
这么多进位制，究竟怎么通过写法把它们区分开来呢？一般的，如没有特殊说明，都默认为10进制．如果要表示其他进制，就必须采用括号加脚标的形式．例如5进制中的1234，我们就写成
，2进制的101就写成
．
在n进制中，恰好会用到n种数字：从0一直到
．这里请大家注意以下两点：
（1）
进制中，不可能出现数字
以及比
更大的数：如5进制中不可能出现数字5、6、7、8、9等；反过来，如果一个数中出现了数字5或大于5的数字，这个数就一定不会是5进制数，如125，733都不可能是5进制数；
（2）n进制中，出现的数字可能会超出0到9这十种数字，比如16进制，必须逢16才能进1，所以从0开始数到9之后不能进位，必须仍然用一个字符来表示．数学上约定在16进制种，用字母
、
、
、
、
、
来表示等于10进制中的10、11、12、13、14、15．
在n进制种，n也称为该进位制的“基”．
三、n进位制化十进制
十进制：
；
三进制：
；
四进制：
；
五进制：
；
……
（1）
（2）
（3）
「分析」把10进制的数转化为其他进制，一般采用的是短除求余法，就是把10进制数不断的除以进制数，保留余数，直到余数为0为止，然后将余数倒序写出即可；其它进制转化成10进制，可以用位值原理展开求解．
练习1、
（1）把三进制数12120120110110121121改写为九进制，它从左向右数第1位数字是多少？
（2）
．
「分析」三进制数化为九进制数除了用前面说过的以十进制为桥梁进行转化，是否有更简单巧妙的办法呢？
练习2、
「分析」这是一个七进制下的加法，记住严格遵循“逢七进一”的原则，你一定能得出正确答案．
练习3、
在6进制中有三位数
，化为9进制为
，这个三位数在十进制中是多少？
「分析」怎样把题目中的两个数统一在一个进位制下，是十进制还是二进制？你是否能根据位置原理列出不同进制下的三位数展开形式呢？
练习4、在7进制中有三位数
，化为9进制为
，这个三位数在十进制中是多少？
一个天平，物品必须放在左盘，砝码必须放在右盘，那么为了能称出1克到1000克，至少需要多少个砝码？
「分析」从最小的重量1、2、3……克开始推理，注意已有砝码是可以累加在一起的．
一本书共有2013页，第一天看一页书，从第二天起，每天看的页数都是以前各天的总和．如果直到最后剩下的不足以看一次时就一次看完，共需多少天？
「分析」根据题目要求逐一列出每天所看的页码数，不断总结计算纸质得出最后答案．
作业
进制互化：
（1）
；
（2）
；
（3）
=
；
（4）
=
；
（5）
；
（6）
．
（1）
；（2）
．
一个十进制三位数
，其中的a、b、c均代表某个数码，它的二进制表达式是一个七位数
，这个十进制的三位数是多少？
一个自然数用三进制和四进制表示都为三位数，并且它的各位数字的排列顺序恰好相反，这个自然数用十进制表示是多少？
a、b是自然数，a进制数47和b进制数74相等，a与b的和的最小值是多少？
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