第八讲 一笔画

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把里面的人物换成相应红字标明的人物．

一笔画，是指从连通图的一点出发，笔不离纸，每条线都只画一次，不能重复．

一笔画能解决很多实际问题．那么什么样的图形能够一笔画成，什么样的图形不能一笔画成呢？试着画一画下面的图形吧！

例题1

观察下列图形，能一笔画成的打“√”，不能一笔画成的打“×”．

【提示】动手画一画，你知道什么样的图形一定不能一笔画成吗？

练习1

观察下列图形，能一笔画成的打“√”，不能一笔画成的打“×”．

我们画了这么多图形，不难发现，不连通的图形一定不能一笔画成，能一笔画成的图形必定是连通图．连通图，指的是如果一个图形中的任意两点都是连通的，那么这个图形就是连通图．一个图形可以一笔画成，除了必须是连通图，还有没有其它的规律和特点呢？我们一起找找吧！

首先，我们先来认识下面的两个名词：

从一点出发的线条数目是奇数，如1、3、5、7、……我们称它为奇点．

从一点出发的线条数目是偶数，如2、4、6、8、……我们称它为偶点．

奇点、偶点的个数与一个图形能否一笔画成有什么关系呢？我们来看一看下面的题目吧！

【例题2】下面的各个图形都是由点和线组成的．请你仔细观察后回答，各图中的交叉点分别有几个奇点？几个偶点？能否一笔画成？能的在“（ ）”里打“√”，不能的在“（ ）”里打“×”．

【提示】从某一点发出奇数条线，这个点是奇点；从某一点发出偶数条线，这个点是偶点．

【练习2】下面的各个图形都是由点和线组成的．请你仔细观察后回答，各图中的交叉点分别有几个奇点？几个偶点？能否一笔画成？能的在“（ ）”里打“√”，不能的在“（ ）”里打“×”．

通过对上题的观察，相信大家都发现了规律．

有0个奇点的连通图能够一笔画成．画时可以以任一点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图．

有2个奇点的连通图能够一笔画成．画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点画完此图．

有2个以上奇点的连通图不能一笔画成．

根据以上规律，我们可以通过奇点个数来正确判断哪些图形能一笔画成，哪些图形不能一笔画成．我们就用学到的知识来解决生活中的一笔画问题吧！

例题3

草地上有许多小路，丁丁和月月分别站在A、B两个路口．谁能够一次不重复地走遍所有小路？

【提示】谁的出发点是奇点？

练习3

花园里有许多崎岖的小路，小乖要浇花，它想一次不重复地走完每条小路．该从哪个路口出发呢？

例题4

小河中有4个小岛，小岛之间建有六座桥．淘淘能一次不重复地走遍所有的小桥吗？

【提示】先把实际地图画成“点线图”，然后数数奇点的个数吧！

练习4

蘑菇园的小朋友们要去游乐场玩，他们可以从6个入口进出游乐场．他们从哪个入口出发，才能一次不重复地走遍游乐场内的所有小路？

我们已经可以正确判断哪些图形可以一笔画成，哪些不能一笔画成．如果不能一笔画成，可不可以通过增添或删除一些线的方法，让它变成可以一笔画成的图形呢？

例题5

下面的“蝴蝶”能一笔画成吗？如果不能，按照如下要求把它改成能一笔画成的图形．（1）在图1中，去掉一条线；（2）在图2中，添加一条线．

【提示】在两个奇点之间去掉或添加线．

例题6

甲乙两个不同公司的快递员去送货，两人都要以同样的速度走遍所有的街道（阴影部分），甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到C点．如果都选择最短的线路，谁先回到C点？

【提示】先把实际道路图画成“点线图”，再判断各个交叉点中有哪些是奇点．

课堂内外

七桥问题

德国有一个城市叫哥尼斯堡．城中有一条小河，河中有两个小岛，还有7座桥把这两个小岛和陆地连接起来，如下图所示．人们经常在这里游玩，他们在游玩的时候提出这样一个问题：能不能一次不重复地走遍所有的小桥呢？

作业

1. 观察下列图形，能一笔画成的打“√”，不能一笔画成的打“×”．

2. 下面每幅图中的交叉点分别有几个奇点？能否一笔画成呢？能的在“（ ）”里打“√”，不能的在“（ ）”里打“×”．

3. 菲菲周末去郊外的公园玩，公园里有许多崎岖的小路．她想不重复地一次走完每条小路，可以从哪个路口出发？

4. 小熊、灰鼠、小象和小猪要分别从东、南、西、北四个入口去果园采果子，谁能不重复地一次走遍所有小路？

5. 下面的图形能一笔画成吗？如果不能，按照如下要求将其改成能一笔画成的图形．（1）在图1中去掉一条线；（2）在图2中添加一条线．