【330236】20.2.2 第1课时 方差

20.2.2数据的离散程度

第1课时 方差

教学目标

1．理解方差的概念与作用；(重点)

2．理解和掌握方差的计算公式，能灵活运用方差来处理数据；(重点)

3．会用计算器求数据的方差．

教学过程

一、情境导入

从图中我们可以算出甲、乙两人射中的环数都是70环，但教练还是选择甲运动员参赛．

问题1：从数学角度，你知道为什么教练员选甲运动员参赛吗？

问题2：你在现实生活中遇到过类似情况吗？

二、合作探究

探究点一：方差

【类型一】 求数据的方差

为了从甲、乙两名同学中选拔一个参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，两个在相同条件下各射击10次，命中的环数如下(单位：环)：

甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4；

乙：9，5，7，8，6，8，7，6，7，7.

(1)求x_甲，x_乙，s，s；

(2)你认为该选拔哪名同学参加射击比赛？为什么？

解析：方差就是各变量值与其均值差的平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算．

解：(1)x_甲＝(7＋8＋6＋8＋6＋5＋9＋10＋7＋4)÷10＝7，s＝[(7－7)²＋(8－7)²＋(6－7)²＋(8－7)²＋(6－7)²＋(5－7)²＋(9－7)²＋(10－7)²＋(7－7)²＋(4－7)²]÷10＝3，x_乙＝(9＋5＋7＋8＋6＋8＋7＋6＋7＋7)÷10＝7，s＝[(9－7)²＋(5－7)²＋(7－7)²＋(8－7)²＋(6－7)²＋(8－7)²＋(7－7)²＋(6－7)²＋(7－7)²＋(7－7)²]÷10＝1.2；

(2)∵s＞s，∴乙的成绩稳定，选择乙同学参加射击比赛．

方法总结：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果就是方差．

【类型二】 已知原数据的方差，求新数据的方差

如果一组数据x₁，x₂，…，x_n的方差是4，则另一组数据x₁＋3，x₂＋3，…，x_n＋3的方差是(　　)

A．4 B．7 C．8 D．19

解析：根据题意得：数据x₁，x₂，…，x_n的平均数设为a，则根据x₁＋3，x₂＋3，…，x_n＋3的平均数为a＋3，再根据方差公式进行计算：s²＝[(x₁－x)²＋(x₂－x)²＋…＋(x_n－x)²]即可得到答案．数据x₁，x₂，…，x_n的平均数设为a，则数据x₁＋3，x₂＋3，…，x_n＋3的平均数为a＋3，根据方差公式：s²＝[(x₁－a)²＋(x₂－a)²＋…＋(x_n－a)²]＝4.则s²＝{[(x₁＋3)－(a＋3)]²＋[(x₂＋3)－(a＋3)]²＋…＋[(x_n＋3)－(a＋3)]}²＝[(x₁－a)²＋(x₂－a)²＋…＋(x_n－a)²]＝4.故选A.

方法总结：此题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．

【类型三】 根据统计图表判断方差的大小

如图是2014年1～12月份某市居民消费价格指数、工业产品出厂价格指数以及原材料等购进价格指数的折线统计图．由统计图可知，三种价格指数方差最小的是(　　)

A．居民消费价格指数

B．工业产品出厂价格指数

C．原材料等购进价格指数

D．不能确定

解析：从折线统计图中可以明显看出居民消费价格指数的波动最小，故方差最小的是居民消费价格指数．故选A.

方法总结：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．

【类型四】 方差的应用

某农科所在8个试验点对甲、乙两种玉米进行对比试验，这两种玉米在各试验点的亩产量如下(单位：kg)：

甲：450，460，450，430，450，460，440，460；

乙：440，470，460，440，430，450，470，440.

则在这些试验点________的产量比较稳定(填“甲种玉米”或“乙种玉米”)．

解析：要说明这个试验点甲、乙两种玉米哪一种产量比较稳定，可以利用方差比较，方差小者较稳定．因为甲种玉米亩产量的平均数x_甲＝(450×3＋460×3＋440＋430)＝450(kg)，乙种玉米亩产量的平均数x_乙＝(440×3＋470×2＋460＋450＋430)＝450(kg)，s＝＝100，s＝＝200.所以s<s，所以甲种玉米的产量较稳定．故填甲种玉米．

方法总结：(1)方差是统计学中非常重要的一个特征数，当两组数据的平均数相同或接近时，通常比较两组数据的方差来判断数据的稳定性；(2)方差越大，数据的稳定性越差；方差越小，数据的稳定性越好．

探究点二：用计算器求方差

某校为了解八年级数学测试中甲、乙两班学生的成绩情况，从每班抽取10名学生的成绩(单位：分)进行分析，具体分数如下：

甲：86，78，80，86，92，85，85，87，86，88；

乙：78，91，87，82，85，89，81，86，76，87.

用计算器分别计算它们的方差，并根据计算结果说明哪个班的测试成绩比较稳定．

解析：若要判断甲、乙两个班哪个班学生的成绩更稳定，只需用计算器计算出它们的方差．通过比较方差的大小来比较成绩的稳定性，方差小的比方差大的成绩稳定．

解：(1)按键，打开计算器；

(2)按键，将其设定至“Stat”状态，按键清除计算器原先在“Stat”模式下所储存的数据；

(3)分别输入甲、乙两班学生的测试成绩；

(4)计算s_甲显示结果为3.716180835，s_乙显示结果为4.578209257.

∵s_甲<s_乙，∴s<s.∴甲班的成绩比较稳定．

方法总结：根据用计算器求方差的方法进行计算，注意计算器的按键顺序．

三、板书设计

教学反思

本课主要学习了用方差表示出一组数据与其平均值的离散程度，即稳定性．方差越小，稳定性越好．注意：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果.