【329514】2.2.2 第1课时 平行四边形的判定定理1,2

2.2.2 平行四边形的判定

第1课时 平行四边形的判定定理1,2

要点感知1 一组对边平行且__________的四边形是平行四边形.

预习练习1-1 如果□ABCD和□ABEF有公共边AB，那么四边形DCEF是__________.

要点感知2 两组对边分别相等的四边形是__________四边形.

预习练习2-1 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，若∠A=110°，则∠C=__________.

知识点1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

1.如图，在四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是( )

A.AD=BC B.CD=BF C.∠A=∠C D.∠F=∠CDE

第1题图 第2题图 第3题图

2.如图，□ABCD中，点E、F分别为边AB、DC的中点，则图中共有平行四边形的个数是( )

A.3 B.4 C.5 D.6

3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是__________(只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段).

4.如图，已知四边形ABCD中，AB=CD，∠BAC=∠DCA，求证：四边形ABCD是平行四边形.

5.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO=DO.求证：四边形ABCD是平行四边形.

知识点2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

6.四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=50°，则∠A=__________.

7.如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD、CD.若∠B=65°，则∠ADC的大小为__________.

8.已知四边形ABCD的四条边长满足(AB-CD)²+(AD-BC)²=0，求证：AB∥CD.

9.点A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的有( )

A.3种 B.4种 C.5种 D.6种

10.如图，□ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF= ，则AB的长是__________.

11.如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE.求证：四边形DEBF是平行四边形.

12.如图，在□ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF.求证：四边形BEDF是平行四边形.

13.如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD.

(1)求证：四边形MNCD是平行四边形；

(2)求证：BD=3MN.

14.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.求当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形?

参考答案

要点感知1 相等

预习练习1-1 平行四边形

要点感知2 平行

预习练习2-1 110°

1.D 2.B 3.答案不唯一，如AB＝CD或BC∥AD

4.证明：∵∠BAC=∠DCA，

∴AB∥CD.

又∵AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形.

5.证明：∵AB∥CD，

∴∠ABO=∠CDO，∠BAO=∠DCO.

又∵BO=DO，

∴△AOB≌△COD（AAS）.

∴AB=CD.

∴四边形ABCD是平行四边形.

6.130° 7.65°

8.证明：∵(AB-CD)²+(AD-BC)²=0，

∴AB-CD=0，AD-BC=0.

∴AB=CD，AD=BC.

∴四边形ABCD是平行四边形.

∴AB∥CD.

9.B 10.1

11.证明：∵BE∥DF，

∴∠AFD=∠CEB.

又∵∠ADF=∠CBE，AF=CE，

∴△ADF≌△CBE(AAS).

∴DF=BE.

又∵BE∥DF，

∴四边形DEBF是平行四边形.

12.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD.

又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，

∴DE=BF，AE=CF，∠DAE=∠BCF=60°.

∴∠BCD-∠BCF=∠DAB-∠DAE，即∠DCF=∠BAE.

∴△DCF≌△BAE(SAS).

∴DF=BE.

∴四边形BEDF是平行四边形.

13.证明：(1)∵ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC.

∵M、N分别是AD、BC的中点，

∴MD=NC，MD∥NC.

∴MNCD是平行四边形；

(2)连接ND，

∵MNCD是平行四边形，

∴MN=DC.

∵N是BC的中点，

∴BN=CN.

∵BC=2CD，∠C=60°，

∴△NCD是等边三角形.

∴ND=NC，∠DNC=60°.

∵∠DNC是△BND的外角，

∴∠NBD+∠NDB=∠DNC.

∵DN=NC=NB，

∴∠DBN=∠BDN= ∠DNC=30°.

∴∠BDC=90°.

∴BC=2DC，BD= = = DC.

又DC=MN，∴BD= MN.

14.由题意可知，AP=t，CQ=2t，CE= BC=8.

∵AD∥BC，

∴当PD＝EQ时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形.

当2t＜8即t＜4时，点Q在C、E之间，如图甲.

此时，PD＝AD-AP＝6-t，EQ＝CE-CQ＝8-2t，由6-t＝8-2t得t＝2.

当8<2t<16即4<t<8时，点Q在B、E之间，如图乙.

此时，PD＝AD-AP＝6-t，EQ＝CQ-CE＝2t-8，由6-t＝2t-8得t＝ .

∴当运动时间为2或 时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形.