【329396】《为什么要证明》综合练习

5.2 为什么要证明

点击要点

要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步，有根有据地进行_________．

学习策略

解答本节习题注意体会检验数学结论的常用方法；实验验证、举反例、推理等，培养推理意识．

一、训练平台（每小题12分，共36分）

1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F，M，N分别为AD，AB，BC，CD的中点，连接EF，FM，MN，EN，你能肯定四边形EFMN是平行四边形吗？为什么？若将梯形ABCD改变成等腰梯形，其他条件不变，你又会得到EFMN是什么四边形呢？为什么？

2．用火柴棒按如图所示的方式拼图形．

（1）你知道第6个图形需要多少根火柴棒吗？

（2）第n个图形需要多少根火柴棒呢？

（3）你能肯定（2）中猜想是正确的吗？请验证一下当n=4时的情形．

3．在手工制作课上，小明和小华各自用铁丝制作楼梯模型，如图所示，他们制作模型所用的铁丝是一样长吗？请通过计算说明．

二、提高训练（每小题12分，共36分）

1．如图所示，若已知C，D是线段AB上两点，且AC=DB，E是AB中点，那么点E的位置有什么特点？你能说明原因吗？

2．如图所示，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？若已知纸条宽为1，又量得∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积是多少？若∠ABC=90°呢？若∠ABC=120°呢？由此你得到关于四边形ABCD的面积的什么结论？

3．如图所示，△DEF是将△ABC沿BC边平移而得到的，且DE经过AC边的中点O，问O一定是DE边的中点吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．

三、探索发现（共14分）

易知：等腰三角形三边分别为4，4，5；5，5，6；6，6，7时，其周长分别为4+4+5=13，5+5+6=16，6+6+7=19，那么，等腰三角形的两条边分别为3和8时，其周长一定是14，这一结论对吗？

四、拓展创新（共14分）

问题：你能很快算出1995吗？

为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5时自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数都可写成：10n+5，即求（10n+5）的值（n为自然数）．请你试分别n=1，n=2，n=3…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳，猜想得出结论．

（1）通过计算，探索规律：

15²=225，可写成100×1（1+1）+25；

25²=625，可写成100×2（2+1）+25；

35²=1225，可写成100×3（3+1）+25；

45²=2025，可写成100×4（4+1）+25；

75²=5625，可写成____________；

85²=7225，可写成____________；

（2）从第（1）题结果归纳，猜想得：（10n+5）²=________；

（3）根据上面的归纳，猜想，请计算1995²=________．

中考演练

如图所示，在等边三角形△ABC中，D，E分别在边BC，AC上，DC=AE，AD，BE交于点F，请你量一量∠BFD的度数，并证明你的结论．

参考答案

本课导学:推理

随堂测评

一、1．四边形EFMN是平行四边形，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（这里用到三角形中位线定理）．

证明：∵E，F，M，N分别是各边中点，

∴EN AC，FM AC，∴EN FM．

∴四边形EFMN是平行四边形．

当梯形为等腰梯形时，四边形EFMN是菱形．

因为有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

2．（1）32根 （2）7+5（n-1） （3）当n=4时，共有7+5（4-1）=22．

3．一样长，说明略．

二、1．解：点E也是线段CD的中点，原因如下：

∵E是线段AB中点，∴AE=BE，

又AE-AC=BE-DB，∴CE=DE，即E是CD的中点．

2．解：是菱形，因为四边形ABCD四边相等且对边平行．

当∠ABC=60°时，AB= ，∴S= ．

当∠ABC=90°，AB=1，∴S=1．

当∠ABC=120°，AB= ，∴S= ．

当两张纸条垂直放置时，四边形ABCD的面积最小．

3．提示：是，可证△AOD≌△COE，∴DO=OE．

三、解：不对，因为3+3<8，所以另一边不能为3，只能为8，此时周长为3+8+8=19．

四、（1）100×7（7+1）+25 100×8（8+1）+25

（2）100×n（n+1）+25 （3）100×199（199+1）+25=3980025

※∠BFD=60°

证明：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠BAE=∠C=60°，AE=CD，

∴△ABE≌△CDA．∴∠AEB=∠ADC，

又∠DAC+∠ADC=120°，

∴∠AEB+∠DAC=120°，∴∠AFE=∠BFD=60°．