【324274】2024八年级数学下册 专题09 反比例函数的定义、图象与性质压轴题五种模型全攻略（含

专题09反比例函数的定义、图象与性质压轴题五种模型全攻略

【类型一反比例函数的定义】

例题：（湖南岳阳·九年级期末）函数y＝（m+1） 是y关于x的反比例函数，则m＝_____．

【答案】2

【解析】

【分析】

根据反比例函数的一般形式得到 且m+1≠0，由此来求m的值即可．

【详解】

解：∵函数y＝（m+1） 是y关于x的反比例函数，

∴ 且m+1≠0，

解得： ；

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是 （k≠0）．

【变式训练1】（全国·九年级专题练习）函数① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ 和⑧ 中，是y关于x的反比例函数的有：__________（填序号）．

【答案】②③⑧

【解析】

【分析】

根据反比例函数的定义：形如 的函数，由此可直接进行求解．

【详解】

解：由题意得：

函数① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ 和⑧ 中，是y关于x的反比例函数的有②③⑧；

故答案为②③⑧．

【点睛】

本题主要考查反比例函数的概念，熟练掌握反比例函数的概念是解题的关键．

【变式训练2】（四川省隆昌市第一中学八年级阶段练习）若 是反比例函数，则m的值为___________；

【答案】-1

【解析】

【分析】

根据反比例函数的定义得到m−1≠0且|m|＝1，然后解不等式和方程即可求出满足条件的m的值．

【详解】

解：根据题意得m−1≠0且|m|＝1，

解得m＝−1．

故答案为：-1

【点睛】

本题考查了反比例函数：函数y＝ （k＞0）称为y与x的反比例函数．

【变式训练3】（甘肃·古浪县第六中学九年级阶段练习）已知反比例函数 ，则m=_____，函数的表达式是_____．

【答案】     ﹣1     y

【解析】

【分析】

根据反比例函数的定义．即y （k≠0），只需令m²﹣2＝﹣1、m﹣1≠0即可．

【详解】

解：依题意有m²﹣2＝﹣1且（m﹣1）≠0，所以m＝﹣1函数的表达式是y ．

故答案为：﹣1，y ．

【点睛】

本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式 （k≠0）转化为y＝kx^﹣1（k≠0）的形式．

【类型二反比例函数的图像与性质】

例题：（湖南张家界·九年级期末）关于反比例函数 的图象，下列说法正确的是（       ）

A．点 在它的图象上 B．它的图象经过原点

C．它的图象在第一、三象限 D．当 时，y随x的增大而增大

【答案】C

【解析】

【分析】

反比例函数 ，图象分布于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此解答即可．

【详解】

解：A．当 时， ，即点 不在它的图象上，故A错误；

B．反比例函数 不经过原点，故B错误；

C．反比例函数 ，图象分布于一、三象限，故C正确；

D．当 时，y随x的增大而减小，故D错误，

故选：C．

【点睛】

本题考查反比例函数的图象与性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

【变式训练1】（四川达州·九年级期末）对于反比例函数 ，下列说法不正确的是（       ）

A．图象必经过 B．在每一个象限内 随 的增大而增大

C．图象在第二四象限内 D．若 时，则

【答案】D

【解析】

【分析】

根据反比例函数的性质依次判断．

【详解】

解：当x=-1时，y=2，故A正确；

∵k=-2<0，∴在每个象限内，y随着x的增大而增大，故B正确；

∵k=-2<0，∴图象的两个分支分别在第二象限、第四象限内，故C正确；

当x=1时y=-2，∵y随着x的增大而增大，∴ 时，－2<y<0，故D不正确；

故选：D．

【点睛】

此题考查了反比例函数的性质，熟记反比例函数的性质是解题的关键．

【变式训练2】（湖南永州·九年级期末）已知反比例函数 ，下列结论错误的是（       ）

A．图象在第二、四象限内 B．在每个象限内，y随x的增大而增大

C．当 时， D．当 时，

【答案】C

【解析】

【分析】

根据 确定比例系数的符号，再利用反比例函数的性质即可找出错误的结论．

【详解】

解： ，

反比例函数的图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，当 时， ，

当 或 时， ，当 时，不能判断 ，故C错误，

故选：C．

【点睛】

本题考查反比例函数的性质，解题的关键是根据 确定比例系数的符号．

【变式训练3】（四川成都·二模）已知点 ， 在反比例函数 （ 为常数）的图象上，且 ，则 的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据反比例函数的增减性进行判断即可．

【详解】

点 ， 在反比例函数 （ 为常数）的图象上

在每个象限内，y随x的增大而减小

解得

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键

【类型三求反比例函数的解析式】

例题：（全国·九年级专题练习）已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，当 时， ；当 时， ．

（1）求 与 之间的函数关系式；

（2）当 时，求 的值．

【答案】（1） ；（2）

【解析】

【分析】

（1）设 ，则有 ，然后把当 时， ；当 时， 代入求解即可；

（2）由（1）可直接把x=3代入求解．

【详解】

解：（1）设 ，由 可得： ，

∴把 ， 和 ， 代入得：

，解得： ，

∴y与x的函数解析式为： ；

（2）由（1）可把x=3代入得：

．

【点睛】

本题主要考查反比例函数的定义及函数解析式，熟练掌握反比例函数的定义及求函数解析式的方法是解题的关键．

【变式训练1】（江苏·八年级专题练习）已知 ， 与 成反比例， 与 成正比例，并且当 时， ；当 时， ．求：y关于x的函数解析式．

【答案】

【解析】

【分析】

首先根据题意，分别表示出y₁与x，y₂与x的函数关系式，再进一步表示出y与x的函数关系式；然后根据已知条件，得到方程组，即可求解．

【详解】

设 = ， = （x+2），

∵ ，

∴y= + （x+2），

由 时， ； 时， ，得

，解得 ，

∴y关于x的函数解析式是 ．

【点睛】

此题考查正比例函数的定义，反比例函数的定义，求函数解析式，熟记正比例函数及反比例函数的定义，设出函数解析式进行计算是解题的关键．

【变式训练2】（江西上饶·二模）如图，在Rt△OAC中，点P在AC边上，点Q是OA的中点，反比例函数 恰好经过P，Q两点．

(1)若点A坐标为（6，4），则k＝______，点P坐标为______．

(2)若 ，求反比例函数 的解析式．

【答案】(1)P（6，1）；

(2) ；

【解析】

【分析】

（1）根据A（6，4），O（0，0），点Q是OA的中点，可知Q（3，2），结合点Q在反比例函数的图象上，可得k=3×2=6，由P点在反比例函数的图象上，且P与点A横坐标相同，可求出点P纵坐标，进而可知P点坐标；

（2）设Ａ点坐标为（2a，2a），根据Q为OA的中点，点O坐标为（0，0），可得Q点坐标为（a，b），结合点在反比例函数 的图象上，可知k=ab，由点的横坐标为2a，可得的纵坐标为 ，故点P为 ，结合三角形的面积可列等式，进而可求出 ，则 ，由此可知反比例函数的解析式．

(1)

解：∵A（6，4），O（0，0），点Q是OA的中点，

∴Q（3，2），

∵Q点在反比例函数的图象上，

∴k=3×2=6，

∵点P在反比例函数的图象上，且P与A点横坐标相同，

∴点P纵坐标为： ，

故点P坐标为：（6，1）；

(2)

解：设A点坐标为（2a，2b），

∵Q为OA的中点，O点坐标为（0，0），

∴Q点坐标为（a，b）

∵点Q在反比例函数 的图象上，

∴k=ab，

由题意可知AC⊥轴，点P在AC上，

∵P点的横坐标为2a，且P在反比例函数图象上，

∴P的纵坐标为 ，

∴P ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴反比例函数的解析式为 ．

【点睛】

本题考查反比例函数的解析，图象，以及k的几何意义，平面直角坐标系中得三角形面积的求法，平面直角坐标系中的两点之间的距离，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．

【变式训练3】（湖南省汉寿县教育研究室一模）如图，在平面直角坐标 中，直线 轴，垂足为 ，反比例函数 的图象与直线 交于点 ， 的面积为 ．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)在 轴正半轴上取一点 ，使 ，求直线 的函数表达式．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得 ，从而得到 ，即可求解；

（2）先求出 ，可得B的坐标为（5，0），再利用待定系数法，即可求解．

(1)

解：由题意可得： =6，

又∵A点的坐标为（m，3），

∴ ，解得： ，

∴ A点的坐标为（4，3）             

∴ ，解得： ，

反比例函数的解析式为 ；

(2)

解： 轴     

即B的坐标为（5，0），

设直线AB的解析式为

，解得 ，

∴直线AB的解析式为 ．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，求一次函数解析式，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．

【类型四反比例函数中K值的几何意义】

例题：（黑龙江牡丹江·九年级期末）已知点A为反比例函数y＝ 图象上的点，过点A分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为8，则k的值为_____．

【答案】-8或8

【解析】

【分析】

根据反比例函数中k的几何意义： ，可知k的值．

【详解】

解：根据k的几何意义可知：

k的值为-8或8．

故答案为：-8或8．

【点睛】

本题考查了反比例函数中的k值的几何意义，对于几何意义的掌握是解决本题的关键．

【变式训练1】（广东深圳·二模）如图，点 在 轴的负半轴上，点 在反比例函数 （ ）的图象上， 交 轴于点 ，若点 是 的中点， 的面积为 ，则 的值为______．

【答案】6

【解析】

【分析】

求反比例函数图像k的值，可以根据反比例函数k的几何意义得出结果．

【详解】

解：过点 作 轴于

∴

点 是 的中点

在 和 中

∴

∴ ，

，

∴

∴

根据反比例函数 的几何意义得：

∴

∵

∴ ．

故答案为：6．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图像上的点的坐标特征，用图像上的点的坐标表示相应的线段是解题的关键．

【变式训练2】（山东日照·一模）如图，点A在双曲线 的第一象限的那一支上，AB垂直于 轴与点B，点C在 轴正半轴上，且 ，点E在线段AC上，且 ，点D为OB的中点，若 的面积为3，则k的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

连接 ，由 ， 的面积为3，则 的面积为4，设A点坐标为 ，则 ， ， ， ，利用 求得 ，即可得到k的值．

【详解】

解：连接 ，如图，

， 的面积为3，

的面积为1，

的面积为 ，

设A点坐标为 ，则 ， ，

而点D为OB的中点，

，

，

，

，

把 代入双曲线 ，

．

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用面积关系建立方程是解题关键．

【变式训练3】（湖北·黄石市实验中学二模）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数 的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），若△OAB的面积为3，则k的值为_______

【答案】3

【解析】

【分析】

连接OC，由C是线段AB的中点，可得 ，然后根据比例系数k的几何意义即可求得答案.

【详解】

解：如图，连接OC，

∵C是线段AB的中点，

∴ ，

∵ ， ，

∴ .

故答案为：3.

【点睛】

本题主要反比例函数的比例系数k的几何意义、与中线有关的三角形的面积关系，熟记反比例函数的比例系数k的几何意义是解题的关键.

【类型五反比例函数的与一次函数图像共存问题】

例题：（浙江台州·九年级期末）函数 与函数 ( 为常数， )在同一平面直角坐标系内的图象可能是 (        ).

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

因为 的符号不明确，所以应分两种情况讨论．

【详解】

解：当 时，函数 与函数 同在第一、三象限，故选项C符号题意；

当 时，函数 与函数 同在第二、四象限，无此选项，故选项A、B、D不合题意，

故选：C

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象与性质及一次函数图象和性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．

【变式训练1】（山东德州·九年级期末）已知 ，则函数 和 的图象大致是（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据一次函数的性质和反比例函数的性质判断即可；

【详解】

解：∵ ，∴ 过一、二、四象限，

∵ ，∴ 在一、三象限，

D．符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查了一次函数的性质：在y=kx+b（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增大而减小，b＞0时直线经过第一、二、四象限；反比例函数的性质：比例系数大于0时，函数的两个分支分布在一、三象限，在每个象限内，y都随x的增大而减小；掌握相关性质是解题关键．

【变式训练2】（山东济南·一模）函数 与函数y= kx+k在同一坐标系中的图象可能是（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．

【详解】

解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，

∴一次函数y＝−kx＋k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；

B、由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，

∴一次函数y＝−kx＋k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；

C、由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，

∴一次函数y＝−kx＋k的图象经过一、三、四象限，故本选项正确；

D、由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，

∴一次函数y＝−kx＋k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．

【变式训练3】（吉林·东北师大附中八年级阶段练习）已知 ，则函数 和 的图象大致为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用反比例函数以及一次函数图象的性质分别分析得出答案．

【详解】

解：∵k₁<0<k₂，函数 和 在同一坐标系中，

∴反比例函数的图象分布在一、三象限，一次函数的图象经过二、三、四象限，且过(0,−3)点，

∴只有选项D符合题意，

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了反比例函数图象以及一次函数图象，正确掌握各函数图象分布规律是解题关键．

【课后训练】

一、选择题

1．（湖北·老河口市教学研究室一模）反比例函数 的图象位于一、三象限，k的取值范围是（       ）

A．k≥1        B．k＞1 C．k≤1 D．k＜1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据反比例函数图象所在的象限可得到 ，解不等式即可．

【详解】

反比例函数 的图象位于一、三象限

解得

故选：B．

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，即对于反比例函数 ，当 时，图象在第一、三象限，当 时，图象在第二、四象限，熟练掌握知识点是解题的根据．

2．（四川绵阳·九年级期末）已知函数 是关于x的反比例函数，则该函数图象位于（       ）

A．第一、第三象限 B．第二、第四象限 C．第一、第二象限 D．第三、第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

根据反比例函数的定义先求出m的值，再由m+2的符号得出结论．

【详解】

解：∵函数 是关于x的反比例函数，

∴m²-5=-1且m+2≠0，

解得m=2，

∴m+2＞0，

∴图象在第一、第三象限内，

故选：A．

【点睛】

本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式 （k≠0）转化为y=kx^-1（k≠0）的形式以及对于反比例函数 （k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．

3．（河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知反比例函数 的图象经过 ，则下列说法不正确的是（       ）

A． B．函数图象位于第一、三象限

C．已知点 ，连接OB，BD，则 D．若 ，则

【答案】D

【解析】

【分析】

结合题意，根据反比例函数的性质，通过列一元一次方程，得 ，根据反比例函数图像的性质，得反比例函数 的图象位于第一、三象限；根据反比例函数的递增性分析，即可完成求解．

【详解】

∵反比例函数 的图象经过

∴

∴ ，即选项A正确；

∴反比例函数 的图象位于第一、三象限，即选项B正确；

∵反比例函数 的图象经过

∴

∴

∵ ，

∴ 轴， ，

∴ ，即选项C正确；

当 时，则 ；当 时，则 ，即选项D不正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了直角坐标系、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，从而完成求解．

4．（新疆·乌市一中二模）在同一平面直角坐标系中，函数y=-x+k与y= （k为常数，且k≠0）的图像大致是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断哪个选项中图象是正确的，本题得以解决．

【详解】

解：∵函数y=-x+k与y= （k为常数，且k≠0），

∴当k＞0时，y=-x+k经过第一、二、四象限，y= 经过第一、三象限，故选项A、B错误，

当k＜0时，y=-x+k经过第二、三、四象限，y= 经过第二、四象限，故选项C正确，选项D错误，

故选：C．

【点睛】

本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和反比例函数的性质解答．

5．（黑龙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为 ，对角线AC，BO相交于点D，双曲线 经过点D， ，k的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由 求出OD，OA的长，作 轴，利用三角形面积相等求出DE，利用勾股定理求出OE，可得点D坐标，即可求出k．

【详解】

解：作 轴交于点E，

∵ ，

∴ ，

设 ，则 ，由图可知： ，

∵ ，

∴ ，

解之得： （舍去）或 ，

∴ ，则 ，

∵ ，

∴ ，

由勾股定理可得： ，

∴ ，

∵D在反比例函数上，

∴

故选：C．

【点睛】

本题考查菱形的性质，反比例函数，勾股定理，解题的关键是求出D点坐标．

二、填空题

6．（全国·九年级专题练习）当 ________时，函数 是反比例函数．

【答案】0

【解析】

【分析】

根据反比例函数的定义即可求得结果，注意反比例系数k≠0．

【详解】

解：由题意得：

，

解得：m=0．

故答案为：0．

【点睛】

本题考查反比例函数的定义和性质，解题关键是掌握反比例函数 （k≠0）的形式．

7．（河南新乡·二模）已知点（-1，a）（2，b）在反比例函数 的图象上，则a_____b．（填“>”“<”“=”）

【答案】<

【解析】

【分析】

根据k²≥0，则k²+1>0，把点（-1，a）（2，b）代入反比例函数解析式，求出a、b，即可求解．

【详解】

解：∵无论k为何实数，k²≥0,

∴k²+1>0，

把（-1，a）代入，得a=-( k²+1)<0

把（2，b）代入，得b= >0

∴a<b，

故答案为：<．

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求得k²+1>0是解题的关键．

8．（安徽·六安市清水河学校九年级期末）如图，点A是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的任意一点，过点A作垂直x轴交反比例函数y＝ （x＞0）的图象于点B，连接AO，BO，若ΔABO的面积为1.5，则k的值为____________

【答案】-2

【解析】

【分析】

设AB交x轴于点C，然后根据反比例函数系数的几何意义求解即可．

【详解】

解：设AB交x轴于点C，如图，

根据题意得： ， ，

∵ΔABO的面积为1.5，

∴ ，

∴ ，

解得： ，

∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象位于第四象限，

∴ ，

∴ ．

故答案为：-2

【点睛】

本题主要考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是得出正确答案的关键．

9．（山东临沂·一模）如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在函数 与 的图象上，点p在x轴上．若 轴．则 的面积为______．

【答案】

【解析】

【分析】

连接OA、OB，如图，利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAE=1， ，再得结果即可．

【详解】

解：连接OA、OB，如图，

∵AB∥x轴，

∴ ，

∴ ，

故答案为： ．

【点睛】

题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

10．（广东深圳·二模）如图，等腰Rt△ABC的斜边AC//x轴，直角点B落在x轴上，将△ABC向上平移m个单位得到 ，点C和点 恰好在反比例函数 的图象上，则m的值是______．

【答案】2

【解析】

【分析】

过点 作 ，点 在 上，设 ，证明四边形 是正方形，求得 的值，根据平移可得 ，代入反比例函数解析式，即可得 的值．

【详解】

解：如图，过点 作

//x轴，

轴

是等腰直角三角形

∵点 在 上，设

∴

四边形 是菱形

四边形 是正方形

解得 或 （舍去）

将△ABC向上平移m个单位得到 ，

即

在 上

解得

故答案为：2

【点睛】

本题考查了反比例函数图象的性质，平移的性质，正方形的性质与判定，直接开平方法解一元二次方程，掌握平移的性质是解题的关键．

三、解答题

11．（江西·南昌二中九年级期末）已知函数 ，其中 与x成正比例， 与 成反比例，且当 时， ；当 时， ．求y关于x的函数解析式．

【答案】

【解析】

【分析】

根据正比例函数和反比例函数的定义，设函数关系式，再把当 时， ；当 时， ．代入，即可求解．

【详解】

解：∵ 与x成正比例， 与 成反比例，

∴可设 ， ，

∵ ，

∴ ，

∵当 时， ；当 时， ．

∴ ，解得： ，

∴y关于x的函数解析式为 ．

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数解析式，正确设出函数解析式是解题的关键一步，此题虽然比较简单，但要认真对待．

12．（重庆大足·一模）如图，一次函数y＝ x＋b（k≠0）与反比例函数 ， ≠0）的图象交于点A（－1，3），B(n，－1），与x轴交于点C．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式：

(2)点P在x轴上，且满足 ，求点P的坐标．

【答案】(1) ；

(2)（−3，0）或（5，0）

【解析】

【分析】

（1）把点A坐标代入反比例函数解析式可求出k₂，再令y＝−1，可求出n，把A和B坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法可求解；

（2）利用 ，设出点P的横坐标，根据△APB的面积为8可建立方程，求解即可．

(1)

解：∵反比例函数 的图象过点A（−1，3），

∴k₂＝−1×3＝−3，

∴反比例函数的解析式为 ，

∵反比例函数 的图象过点B(n，－1），

∴ ，解得 ，

∵一次函数y＝ x＋b(k≠0)过点A(−1，3)，B(3，−1)，

∴ ，解得

∴一次函数的解析式为 ；

(2)

解：∵一次函数的解析式为： 与x轴交于点C，

∴C（2，0），

如图，

设点P的坐标为（t，0），

∴ ，

∴

∴ ，

解得 或 ，

∴点P的坐标为（−3，0）或（5，0）．

【点睛】

本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积问题等知识，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及一次函数与反比例函数的性质．

13．（吉林市亚桥中学三模）如图，P是反比例函数 （x＞0）的图象上的一点，PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON＝1，一次函数y＝x＋b的图象经过点P．

(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；

(2)设直线y＝x＋b与x轴的交点为A，点Q在y轴上，当△QOA的面积等于矩形OMPN的面积的 时，直接写出点Q的坐标．

【答案】(1) ，

(2)(0，1)和(0，-1)

【解析】

【分析】

（1）利用矩形的面积和ON的值即可求出PM，进而得到P点的坐标，再利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；

（2）利用一次函数的解析式求出A点的坐标，即可得到OA的长度；利用矩形的面积求出△QOA的面积，根据G点在y轴上，则有OG⊥OA，即可表示出△QOA的面积，进而求出OG的长度，则在y轴的正半轴和负半轴各有一个符合要求的G点，其坐标可得．

(1)

∵PM⊥y轴，PN⊥x轴，矩形ONPM的面积是2，ON=1，

∴PM=ON=1，

∴PN=OM=2，即P点坐标为(1,2)，

∵反比例函数 和一次函数 都进过P点，

∴将P点坐标分别代入得： ， ，

∴k=2，b=1，

∴反比例函数的解析式为： 和一次函数 ；

(2)

将y=0代入 得x=-1，

∴直线 与x轴的交点A的坐标为(-1,0)，

∴OA=1，

∵ ， =2，

∴ ，

∵G点在y轴上，

∴OG⊥OA，即 ，

又∵OA=1，

∴OG=1，即G点到x轴的距离为1，

∵G点在y轴上，

∴在y轴的正半轴和负半轴各有一个满足要求的G点，

∴G的坐标为：(0，1)、(0，-1)．

【点睛】

本题考查了用待定系数法求解反比例函数、一次函数的解析式等知识，正确求出P点坐标是解答本题的关键．

14．（河南新乡·二模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数为 和反比例函数 图像交于A，B两点，矩形OAEC的边EC交x轴于点D，AD⊥x轴，点D的坐标为（2，0），且AE=ED．

(1)求这两个函数的解析式；

(2)点P为y轴上的一个动点，当PE-PA的值最大时，求点P的坐标．

【答案】(1)

(2)点P（0，4）．

【解析】

【分析】

（1）由矩形的性质可证AD=OD=2，从而得出点A的坐标，代入即可；

（2）由三角形三边关系可知：当点P、A、E共线时，PE-PA最大，延长EA交y轴于点P，求出直线AE的函数解析式即可．

(1)

解：∵四边形OAEC是矩形，

∴∠E=∠OAE=90°，

∵AE=DE，

∴∠OAD=∠DAE= 45°，

∵AD⊥x轴，

∴∠OAD=∠AOD=45°，而

∴AD=OD=2， ∴点A（2，2），

将点A（2，2）代入 和 得，

∴

(2)

解：由三角形三边关系可知：当点P、A、E共线时，PE-PA最大，延长EA交y轴于点P，

过点E作EH⊥AD于H，

∵△AED是等腰直角三角形，AD=2，

∴EH=HD=1， ∴

设AE为：

，解得：

∴直线AE的函数关系式为： ，

当x=0时，y=4， ∴点P（0，4）．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，利用数形结合思想是解题的关键．

15．（广东广州·一模）已知反比例函数y 的图象与正比例函数y＝﹣3x的图象交于点A（2，﹣6）和点B（n，6）．

(1)求m和n的值．

(2)请直接写出不等式 3x的解集．

(3)将正比例函数y＝﹣3x图象向上平移9个单位后，与反比例函数y 的图象交于点C和点D．求△COD的面积．

【答案】(1)m=-10，n=-2；

(2)x＜-2或者0＜x＜2；

(3) ．

【解析】

【分析】

（1）根据A点坐标（2，-6），代入y 中求出ｍ即可；根据正比例函数解析式可以求出B点坐标，进而得出n的值；

（2）利用数形结合的思想可得出不等式的解集；

（3）利用直线平移的规律得到平移后的直线的解析式为y=-3x+9，与反比例函数组成方程组得出点C（-1，12）和点D（4，-3），进而求得直线CD的解析式，进而求出与x轴的交点坐标，根据三角形面积公式，进行计算．

(1)

解：∵y 经过点A（2，-6）

∴-6=

∴m=-10

∵y 过点B（n，6）

∴6n=-12

∴n=-2

(2)

解：根据图象可得，x＜-2或者0＜x＜2

(3)

解：直线y=-3x向上平移9的单位得到直线的解析式为y=-3x+9

∴由题意得

解得 或者

∴C（4，-3），D(-1，12)

令y=0可得-3x+9=0，得x=3

∴一次函数y=-3x+9与x轴的交点坐标为（3，0）

．

【点睛】

本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查平移的性质和函数图象上点的坐标特征，表示出C、D两点的坐标及数形结合的思想是解题的关键．

16．（山东济南·二模）已知反比例函数y 图象过第二象限内的点A（﹣2，2），若直线y＝ax+b经过点A，并且经过反比例函数y 的图象上另一点B（m，﹣1），与x轴交于点M．

(1)求反比例函数的解析式和直线y＝ax+b解析式．

(2)若点C的坐标是（0，﹣2），求△CAB的面积．

(3)在x轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) ；

(2)9

(3)存在，P点坐标为 或 或 或

【解析】

【分析】

（1）将 代入 得 ，进而可得反比例函数解析式；将 代入 ，得 ，可得 点坐标，然后将 坐标代入 中求出 的值，进而可得 的解析式；

（2）如图，将 代入 中求解，可得 点坐标，根据 ，计算求解即可；

（3）设 ，由题意知 为等腰三角形，分3种情况求解： ①当 时， 即 ，求解满足要求的解即可；②当 时， ， ，进而可得 点坐标；③当 时， 即 ，求解满足要求的解即可．

(1)

解：∵反比例函数 过点A

∴将 代入得

∴反比例函数解析式为 ；

将 代入 ，得

∴

将 ， 代入 得

解得

∴直线y＝ax+b解析式为 ．

(2)

解：如图

将 代入 得

∴

∴

∴ 的面积为9．

(3)

解：存在．

设 ，由题意知 为等腰三角形，分3种情况求解：

①当 时， 即

解得 ， （不合题意，舍去）

∴ ；

②当 时，

∵

∴

∴ 的坐标为 ， ；

③当 时， 即

解得

∴ ；

综上所述，在x轴上存在一点P，使△PAO为等腰三角形，P点坐标为 或 或 或 ．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形，反比例函数与几何综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．