【324059】2024八年级数学下册 专题1.9 二次根式的加减（巩固篇）（新版）浙教版

专题 1.9 二次根式的加减（巩固篇）

一、单选题

1．下列二次根式中，与 不是同类二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

2．能够使 与 是同类最简二次根式的x值是（　　）

A． B． C． 或 D．不存在

3．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．计算： 的结果为（   ）

A．1 B．2 C．3 D．

5．估计 的值在（    ）

A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间

6．估计 的运算结果应在哪两个连续自然数之间（　　）

A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9

7．如果一个三角形的面积为 ，一边长为 ，则这条边上的高为（    ）

A． B． C． D．

8．若实数x、y满足 ，则 的值为（   ）

A．4 B．2 C． D．2或

9．代数式 的最小值是（    ）

A．0 B．3 C． D．不存在

10．已知整数 ， ， ， ，……，满足下列条件： ＝1， ， ， ，……，以此类推，则 ＋ ＋ ＋…＋ 的值为 (      )

A．1009 B．1010 C．1011 D．2019

二、填空题

11．计算： ______．

12．若最简二次根式 和 能合并，则 ＝__．

13．已知 是 的整数部分， 是 的小数部分，则 _____．

14．已知 ， ，则代数式 的值为____________．

15．计算： =______．

16．分母有理化： ______．

17．比较大小： __ ．（选填“ ”、“ ”或“ ”）

18．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积 ．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设 ，那么其三角形的面积 ，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若 ， ， ，则此三角形的面积为______．

三、解答题

19．如果最简二次根式 与 是同类二次根式．

(1)求出a的值；

(2)若a≤x≤2a，化简：

20．比较大小.

(1) 与6 (2) 与

21．计算．

(1) (2)

22．计算：

(1) ； (2) ．

23．已知 ，完成以下两题：

(1)化简

(2)求代数式 的值．

24．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式．

比如： ．善于动脑的小明继续探究：

当 为正整数时，若 ，则有 ，所以 ， ．

请模仿小明的方法探索并解决下列问题：

1. 当 为正整数时，若 ，请用含有 的式子分别表示 ，得： ， ；

2. 若 ，且 为正整数，求 的值．

3. 计算：

参考答案

1．B

【分析】把四个选项中的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义进行判断即可．

解：A. ，与 是同类二次根式，不符合题意；

B. ，与 不是同类二次根式，符合题意；

C. ，与 是同类二次根式，不符合题意；

D. ，与 是同类二次根式，不符合题意．

故选：B．

【点拨】本题主要考查了二次根式化简以及同类二次根式的知识，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．

2．A

【分析】根据同类最简二次根式的定义求解即可

解：根据题意得：

，且 ， ，

∵ ，

∴ ，

解得： 或 （舍），

∴ ，

故选：A

【点拨】本题考查了同类最简二次根式的定义，掌握同类最简二次根式的定义是解决问题的关键

3．B

【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则求解判断即可．

解：A、 ，计算错误，不符合题意，选项错误；

B、 ，计算正确，符合题意，选项正确；

C、 和 不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意，选项错误；

D、 ，计算错误，不符合题意，选项错误，

故选B．

【点拨】本题考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．

4．D

【分析】根据实数的运算法则计算即可．

解：

故选：D．

【点拨】此题考查了化简绝对值、零指数幂、二次根式的加减法，解题的关键熟悉运算法则．

5．B

【分析】先化简 ，再估算 ，求和判断即可．

解：因为 ， ，

所以 ，

故选B．

【点拨】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的估算，熟练掌握二次根式的化简和估算是解题的关键．

6．D

【分析】先计算，将原式化为只有一个根号，再进行估算.

解：

∵

∴68＜39+ ＜69，

∴ 的运算结果应在8和9之间，

故选：D．

【点拨】本题主要考查二次根式的计算，无理数的估算.能将原式化为只有一个根号是解题的关键.

7．B

【分析】根据三角形的面积公式列出算式，再根据二次根式的性质化简计算即可．　

解：由三角形的面积公式可得所求高为：

故选B．

【点拨】本题考查二次根式的综合应用，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．

8．D

【分析】根据二次根式及绝对值的非负性，即可求得x、y的值，据此即可求得．

解： 实数x、y满足 ， ， ，

且 ，

解得x=3且 ，

当x=3，y=1时， ，

当x=3，y=-1时， ，

故 的值为2或 ，

故选：D．

【点拨】本题考查了二次根式及绝对值的非负性，熟练掌握和运用二次根式及绝对值的非负性是解决本题的关键．

9．B

【分析】先根据二次根式有意义，求出x取值范围，再根据 ， ， 都随x的增大而增大，则在x取值范围内x取最小值时代入计算，即可求解．

解：若代数式 + + 有意义，

则 ，

解得：x≥2，

∵由 ， ， 都随x的增大而增大，

∴当x＝2时，代数式的值最小，

即 + + ＝1+0+2＝3．

故选：B．

【点拨】此题考查了函数的最值问题，考查了二次根式的意义．此题难度适中，解题的关键是根据题意求得x的取值范围．

10．B

【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以发现这组数据的变化规律，进而可以得到 ＋ ＋ ＋…＋ 的值．

解：由题意可得，

＝1， ， ， ，……，

∴ ＋ ＋ ＋…＋ ＝1＋0＋1＋…＋1=1010，

故选：B．

【点拨】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，求出相应的项的值．

11．

【分析】先把 化简，再进行二次根式的减法计算．

解：原式 ．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了二次根式的减法，熟练掌握计算法则以及二次根式的性质是解题关键，本题是基础题．

12．5

【分析】先根据二次根式和同类二次根式的定义得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，然后代值计算即可．

解：∵最简二次根式 和 能合并，

∴最简二次根式 和 是同类二次根式，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为：5．

【点拨】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，正确得到 是解题的关键．

13．

【分析】根据有理数的估算可知 的整数部分是 ，小数部分是 ，进而得出 的值，代入计算即可．

解： ，

， ，

的整数部分是 ， 的整数部分是 ，

是 的整数部分， 是 的小数部分，

，

，

故答案为： ．

【点拨】本题考查了无理数的估算，实数的运算，根据题意得出相应式子的整数部分和小数部分是解本题的关键．

14．

【分析】先利用平方差公式对所求的代数式进行因式分解，然后代入求值即可获得答案．

解：∵ ， ，

∴

．

【点拨】本题主要考查了代数式求值、平方差公式的应用以及二次根式混合运算，熟练掌握先关知识和运算法则是解题关键．

15．

【分析】根据二次根式性质，进行分母有理化即可．

解：

．

故答案为： ．

【点拨】本题主要考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法和二次根式的性质．

16．

【分析】根据 ，则可得原式的倒数为 ，继而化简得出 ，则可得原式为 ，然后分子分母同乘以 即可得出答案．

解： ，

∴原式的倒数

，

∴原式 ；

故答案为： ．

【点拨】本题考查了分母有理化，熟练掌握分数的性质以及平方差公式是解本题的关键．

17．

【分析】根据二次根式的性质进行求解即可．

解：∵ ， ，

∴ ．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了二次根式的比较，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．

18．

【分析】先求出p的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可．

解： ，

三角形的面积

= ．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了二次根式的应用，考查学生的计算能力，掌握 （a≥0，b≥0）是解题的关键．

19．(1)3(2)4

【分析】(1)根据同类二次根式的被开方数相等可列出方程，解出即可；

(2)根据(1)可得3≤x≤6，再根据完全平方公式及去绝对值符号法则进行运算，即可求得结果．

（1）解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，

∴4a-5=13-2a，

解得a=3；

（2）解：∵a≤x≤2a，a=3，

∴3≤x≤6，

∴

=4．

【点拨】本题考查了同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，去绝对值符合号法则，熟练掌握和运用各定义和法则是解决本题的关键．

20．(1) (2)

【分析】（1）根据实数的大小比较法则即可得；

（2）将两个数作差，根据实数的运算法则、无理数的估算即可得．

（1）解： ，

，

即 ．

（2）解：

，

，

，即 ，

，

，即 ，

．

【点拨】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算、实数的运算，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．

21．(1) (2)

【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再进行加减运算；

（2）先计算立方根、算术平方根和绝对值，再计算加减．

解：（1）

=

=

（2）

=

=

【点拨】此题考查了实数的混合运算及二次根式的混合运算，关键是能准确理解运算顺序和方法，并能进行正确地计算．

22．(1)4(2)

【分析】（1）根据负整数指数幂，零次幂，求一个数的算术平方根进行计算即可求解；

（2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解．

解：（1）原式

；

（2）原式

．

【点拨】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．

23．(1) (2)5

【分析】（1）分母有理化即可化简二次根式；

（2）先求出 ， 的值，运用整体代入解题．

解：（1）

；

（2）

原式

．

【点拨】本题考查求代数式的值，二次根式的化简，整体代入简化过程是解题的关键．

24．(1) ， ；(2)46或14；(3)

【分析】（1）把等式 右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；

（2）将 右边展开，整理可得： ， 结合 为正整数，即可先求得 的值，再求 的值即可；

（3）先仿照题意求出 ， 据此求解即可．

（1）解：∵ ，

∴ ，

∴ ；

故答案为： ， ；

2. 解：∵ ，

∴ ， ，

又∵ 为正整数，

∴ ，或 ，

∴当 时， ；

当 ， ，

∴ 的值为：46或14；

2. 解：∵ ，

∴ ，

同理 ，

∴ ，

∴ ．

【点拨】本题主要考查了二次根式的相关计算，正确理解题意是解题的关键．