【324055】2024八年级数学下册 专题1.7二次根式的应用问题大题专练（重难点培优）（含解析）（

专题1.7二次根式的应用问题大题专练

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

注意事项：

本试卷试题共24题，解答24道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一．解答题（共24小题）

1．（二道区期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为 和 的正方形木板．

（1）求剩余木料的面积．

（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为 ，宽为 的长方形木条，最多能截出　2　块这样的木条．

【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；

（2）求出 和 范围，根据题意解答．

【解析】（1） 两个正方形的面积分别为 和 ，

这两个正方形的边长分别为 和 ，

剩余木料的面积为 ；

（2） ， ，

从剩余的木料中截出长为 ，宽为 的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，

故答案为：2．

2．（越城区校级月考）点 是平面直角坐标系中的一点，点 为 轴上的一点．

（1）用二次根式表示点 与点 的距离；

（2）当 ， 时，连接 、 ，求 ；

（3）若点 位于第二象限，且满足函数表达式 ，求 的值．

【分析】（1）利用两点间的距离公式进行解答；

（2）利用两点间的距离公式求得 、 ，然后求 ；

（3）把 代入所求的代数式进行解答．

【解析】（1）点 与点 的距离： ；

（2） ， ， ， ，

，

， ，则

；

（3） 点 位于第二象限，

， ，

又 ，

．即 的值是1．

3．（椒江区校级期中）已知长方形的长 ，宽 ．

（1）求该长方形的周长；

（2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长．

【分析】（1）利用长方形的周长公式列出代数式并求值；

（2）利用等量关系另一个正方形的面积 该长方形的面积列出等式并计算．

【解析】 ， ，

（1）长方形的周长 ；

（2）长方形的面积 ，

根据面积相等，则正方形的边长 ，

所以，正方形的周长 ．

4．（宝山区校级月考）三角形的周长为 ，面积为 ，已知两边的长分别为 和 ，求：（1）第三边的长；

（2）第三边上的高．

【分析】（1）根据第三边等于周长减去另两边之和，即可求出第三边的长；

（2）根据三角形的高等于三角形的面积的2倍除以底边即可求出第三边上的高．

【解析】（1） 三角形周长为 ，两边长分别为 和 ，

第三边的长是： ；

（2） 面积为 ，

第三边上的高为 ．

5．（晋中月考）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用符号表示为 （其中 ， ， 为三角形的三边长， 为三角形的面积）．请利用这个公式求出当 ， ， 时的三角形的面积．

【分析】根据二次根式的混合计算解答即可．

【解析】 ，

， ， ，

三角形的面积 ．

6．（神木市期中）一个矩形的长减少 ，宽增加 ，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，求这个矩形周长．

【分析】设矩形的长为 ，宽为 ，由题意得关于 和 的方程组，解得 和 的值，再根据矩形的周长公式计算即可．

【解析】设矩形的长为 ，宽为 ，由题意得：

，

解得： ，

．

这个矩形周长为 ．

7．（新华区期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为 ， ， ，则该三角形的面积为 ．现已知 的三边长为 ， ， ，求 的面积．

【分析】把 、 、 的值代入三角形的面积公式，关键二次根式的性质计算即可．

【解析】 的面积 ．

8．（莱西市期中）若矩形的周长是 ，一边长是 ，求它的面积．

【分析】先由已知条件求出另一边的长，再利用面积公式可得．

【解析】 矩形的周长是 ，一边长是 ，

另一边长为： ．

矩形的面积为： ．

9．（寿阳县期中）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是 ，其中 表示车速（单位： ， 表示刹车后车轮滑过的距离（单位： ， 表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得 ， ，该路段限速 ，该汽车超速了吗？请说明理由（已知： ， ．

【分析】直接利用已知运算公式代入数据，进而化简得出答案．

【解析】该汽车超速了．

理由： ， ， ，

，

故该汽车超速了．

10．（韩城市期末）如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为 ．求：

（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；

（2）长方体盒子的体积．

【分析】（1）直接利用总面积减去周围正方形面积进而得出答案；

（2）直接利用长方体的体积公式得出答案．

【解析】（1）制作长方体盒子的纸板的面积为：

；

（2）长方体盒子的体积：

．

11．（韩城市期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为 和 的两个小正方形，求留下的阴影部分的面积．

【分析】先利用二次根式的性质计算出两小正方形的边长，则可得到大正方形的边长，然后用大正方形的面积分别减去两小正方形的面积得到阴影部分的面积．

【解析】 大正方形的边长 ，

大正方形的面积为 ，

阴影部分的面积 ．

12．（江岸区校级月考）已知如图，在锐角 中，已知 ， ， ．

（1）求 边上的高 ；

（2）证明： ，其中 ．

【分析】（1）设 ，根据勾股定理列方程可表示 的长，从而计算 的长；

（2）直接将 整体代入变形后可得结论．

【解析】（1）设 ，则 ，

，

，

．

（2）令 ，则 ，

．

13．（城厢区期末）人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦 秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为 ， ， ，记 ，那么这个三角形的面积 ．如图，在 中， ， ， ．

（1）求 的面积；

（2）设 边上的高为 ， 边上的高为 ， 边上的高为 ，求 的值．

【分析】（1）根据题意先求 ，再将 ， ， ， 的值代入题中所列面积公式计算即可；

（2）按照三角形的面积等于 底 高分别计算出 ， 和 的值，再求和即可．

【解答】解．（1）根据题意知 ，

所以 ，

的面积为 ；

（2） ，

，

， ， ，

．

14．（郓城县期中）设一个三角形的三边长分别为 ， ， ， ，则有下列面积公式：

（海伦公式），

（秦九韶公式）．

请选择合适的公式求下列三角形的面积：

（1）三角形的三边长依次为 ， ， ．

（2）三角形的三边长依次为 ， ， ．

【分析】（1）已知数据为整数，代入海伦公式计算简便；

（2）已知数据为二次根式，代入秦九韶公式计算简便．

【解析】（1） ，

由海伦公式得：

；

（2）设 ， ， ，代入秦九韶公式，得：

；

15．（庐阳区校级期末）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：

；

；　　 ；

；　　　　 ；

；　　　　 ；

（1）推算出 　 　．

（2）若一个三角形的面积是 ．则它是第　　个三角形．

（3）用含 是正整数）的等式表示上述面积变化规律；

（4）求出 的值．

【分析】（1）根据题中给出的规律即可得出结论；

（2）若一个三角形的面积是 ，利用前面公式可以得到它是第几个三角形；

（3）利用已知可得 ，注意观察数据的变化；

（4）将前10个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．

【解析】（1） ，

．

故答案为： ；

（2）若一个三角形的面积是 ，

，

，

它是第20个三角形．

故答案为：20；

（3）结合已知数据，可得： ； ；

（4）

16．（新蔡县期中）已知线段 ， ， ，且线段 ， 满足 ．

（1）求 ， 的值；

（2）若 ， ， 是某直角三角形的三条边的长度，求 的值．

【分析】（1）根据非负数性质可得 、 的值；

（2）根据勾股定理逆定理可解答．

【解析】（1）因为线段 ， 满足 ．

所以 ， ；

（2）因为 ， ， 是某直角三角形的三条边的长度，

所以 或 ．

17．（金牛区校级月考）设一个三角形的三边长分别为 、 、 ， ，则有下列面积公式：

（海伦公式）；

（秦九韶公式）．

（1）一个三角形边长依次为5、6、7，利用两个公式分别求这个三角形的面积；

（2）一个三角形边长依次为 、 、 ，利用两个公式分别求这个三角形的面积．

【分析】（1）把 、 、 的长代入求出 ，进一步代入求得 即可得解；

（2）把 、 、 的长代入求出 ，进一步代入求得 即可得解．

【解析】（1） ，

；

；

（2） ，

同理 ，

，

所以，

，

．

．

18．（磐石市期中）如图，一根细线上端固定，下端系一个小球，让这个小球来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间 （单位： 与细线的长度 （单位： 之间满足关系 ．当细线的长度为 时，小球来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位）

【分析】直接把 的值代入化简二次根式，即可得出答案．

【解析】由题意可得：

，

答：小球来回摆动一次所用的时间是1.3秒．

19．（临渭区校级月考）某居民小区有块形状为长方形 的绿地，长方形绿地的长 为 ，宽 为 ，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为 ，宽为 ．

（1）长方形 的周长是多少？

（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元 的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）

【分析】（1）根据长方形 的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；

（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，

【解析】（1）长方形 的周长 ，

答：长方形 的周长是 ，

（2）购买地砖需要花费

（元 ；

答：购买地砖需要花费 元；

20．（宛城区期中） 阅读与计算

求三边长分别为 、 、 的三角形的面积 ．古希腊几何学家海伦在《度量》一书中给出了“海伦公式”： （其中 ；

我国南宋数学家秦九韶在《数学九章）中提出“秦九韶公式”（三斜求积术） ；

若一个三角形的三边长分别是 、3、 ，请选择一种方法求这个三角形的面积．

【分析】（1）运用“海伦公式”求得 的值后，将 、 、 、 的值代入计算即可．

【解析】由题意得， ， ， ，

，

这个三角形的面积

，

这个三角形的面积是 ．

21．（太原期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间 （单位： 和高度 （单位： 近似满足公式 （不考虑风速的影响， ．已知一幢大楼高 ，若一颗鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．

【分析】直接将 ， 代入公式计算即可．

【解析】将 ， 代入公式 ，

得：

答：落到地面所用时间为 ．

22．（成都期中）秦九韶是我国南宋著名数学家，他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，被誉为“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”秦九韶所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．

如果一个三角形三边的长分别为 ， ， ，那么可以根据秦九韶 海伦公式： （其中 或其它方法求出这个三角形的面积 ．试求出三边长分别为 、3、 的三角形的面积 ．

【分析】根据海伦公式，可以先计算出 的值，然后计算出 的值，即可得到 的值，本题得以解决．

【解析】 三角形的三边长分别为 、3、 ，

，

，

，

即该三角形的面积 为3．

23．（玉田县期末）已知长方形的长为 ，宽为 ，且 ， ．

（1）求长方形的周长；

（2）当 时，求正方形的周长．

【分析】（1）直接利用矩形周长求法结合二次根式的加减运算法则计算得出答案；

（2）直接利用正方形的性质化简得出边长求出答案．

【解析】（1） ， ，

长方形的周长是： ；

（2）设正方形的边长为 ，则有 ，

，

正方形的周长是 ．

24．（思明区校级期中）阅读材料：

如果一个三角形的三边长分别为 ， ， ，记 ，那么这个三角形的面积 ．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦 九韶公式”完成下列问题：

如图，在 中， ， ， ．

（1）求 的面积；

（2）设 边上的高为 ， 边上的高为 ，求 的值．

【分析】（1）根据题意先求 ，再将 ， ， ， 的值代入题中所列面积公式计算即可；

（2）按照三角形的面积等于 底 高分别计算出 和 的值，再求和即可．

【解答】解．（1）根据题意知

所以

的面积为 ；

（2）

，

．