【323796】2024八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解新题特训（新版）新人教版

第14章 整式的乘法与因式分解

类型一 情境题

1．当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1 000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1 000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2²⁰⁰个不同的数据二维码，现有四名网友对2²⁰⁰的理解如下：

YYDS(永远的神)：2²⁰⁰就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；

DDDD(懂的都懂)：2²⁰⁰等于200²；

JXND(觉醒年代)：2²⁰⁰的个位数字是6；

QGYW(强国有我)：我知道2¹⁰＝1 024，10³＝1 000，所以我估计2²⁰⁰比10⁶⁰大．

其中对2²⁰⁰的理解错误的网友是________(填写网名字母代号)．

2．在日常生活中，如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x⁴－y⁴，因式分解的结果是，若取x＝9，y＝9，则各个因式的值分别是x－y＝0，x＋y＝18，x²＋y²＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x³－4xy²，取x＝20，y＝5时，上述方法产生的密码的个数为(　　)

A．4 B．5 C．6 D．7

类型二 数学文化

3. (2023大庆) 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．

1 1　1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　6　4　1 …

(a＋b)1＝a＋b (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 (a＋b)4＝a3＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 …

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，则(a＋b)⁷展开的多项式中各项系数之和为________．

类型三 跨学科

4．W细菌为二分裂增殖(1个细菌分裂成2个细菌)，30分钟分裂一次，培养皿上约有5×2²¹个细菌，其中W细菌占其中的，在加入T试剂后，如果该培养皿中的W细菌的数量达到2²⁶后会使T试剂变色，那么需要(　　)小时T试剂恰好变色．

A. B．4 C．8 D．10

类型四 新考法

5. (2023攀枝花) 我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式，给出以下4组图形及相应的代数恒等式：

①(a＋b)²＝a²＋2ab＋b², ) ②(a－b)²＝a²－2ab＋b², )

③(a＋b)(a－b)＝a²－b², ) ④(a－b)²＝(a＋b)²－4ab, )

其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6. (2023河北) 现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图①所示(a>1)．某同学分别用六张卡片拼出了两个长方形(不重叠无缝隙)，如图②和图③，其面积分别为S₁，S₂.

(1)请用含a的式子分别表示S₁，S₂；当a＝2时，求S₁＋S₂的值；

(2)比较S₁与S₂的大小，并说明理由．

类型五　逻辑推理

7. (2023聊城) 如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3，5)；(7，10)；(13，17)；(21，26)；(31，37)….如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律，请写出第n个数对：________．

8. (2023嘉兴) 观察下面的等式：3²－1²＝8×1，5²－3²＝8×2，7²－5²＝8×3，9²－7²＝8×4，….

(1)尝试：13²－11²＝8×________．

(2)归纳：(2n＋1)²－(2n－1)²＝8×________________(用含n的代数式表示，n为正整数)．

(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．

第14章 整式的乘法与因式分解

1．DDDD　点拨：2²⁰⁰是200个2相乘，YYDS(永远的神)的理解是正确的；

2²⁰⁰＝(2¹⁰⁰)²≠200²，DDDD(懂的都懂)的理解是错误的；

∵2¹＝2，2²＝4，2³＝8，2⁴＝16，2⁵＝32，…，

∴2的乘方的个位数字按2，4，8，6循环．

∵200÷4＝50，

∴2²⁰⁰的个位数字是6，JXND(觉醒年代)的理解是正确的；

∵2²⁰⁰＝(2¹⁰)²⁰，10⁶⁰＝(10³)²⁰，2¹⁰＝1 024，10³＝1 000，且2¹⁰>10³，

∴2²⁰⁰>10⁶⁰，故QGYW(强国有我)的理解是正确的．

故答案为DDDD.

2．C　3.128

4．B　点拨：由题意，得W细菌的数量为5×2²¹×＝×2²¹(个)．

设分裂n次达到变色的数量，则2ⁿ××2²¹＝2²⁶，∴n＝8.

∵每30分钟分裂一次，

∴8×＝4(小时)．故选B.

5．D

6．解：(1)依题意得，三种长方形卡片的面积分别为

S_甲＝a²，S_乙＝a，S_丙＝1，

∴S₁＝S_甲＋3S_乙＋2S_丙＝a²＋3a＋2，S₂＝5S_乙＋S_丙＝5a＋1.

∴S₁＋S₂＝(a²＋3a＋2)＋(5a＋1)＝a²＋8a＋3.

∴当a＝2时，S₁＋S₂＝2²＋8×2＋3＝23.

(2)S₁>S₂，理由如下：

∵S₁＝a²＋3a＋2，S₂＝5a＋1，

∴S₁－S₂＝(a²＋3a＋2)－(5a＋1)＝a²－2a＋1＝(a－1)².

∵a>1，

∴S₁－S₂＝(a－1)²>0.

∴S₁>S₂.

7．(n²＋n＋1，n²＋2n＋2)　点拨：每个数对的第一个数字分别为3，7，13，21，31，…，

即1×2＋1，2×3＋1，3×4＋1，4×5＋1，5×6＋1，…，

则第n个数对的第一个数字为n(n＋1)＋1＝n²＋n＋1；

每个数对的第二个数字分别为5，10，17，26，37，…，

即2²＋1；3²＋1；4²＋1；5²＋1；6²＋1，…，

则第n个数对的第二个数字为(n＋1)²＋1＝n²＋2n＋2，

∴第n个数对为(n²＋n＋1，n²＋2n＋2)．

8．解：(1)6

(2)n

(3)(2n＋1)²－(2n－1)²＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n×2＝8n.