【323402】2023八年级数学上册 专题突破 第07讲 等腰三角形中的分类讨论(含解析)(新版)浙
第7讲
等腰三角形中的分类讨论
【知识点睛】
在等腰三角形中,没有明确指明边是腰还是底时,要进行分类讨论,且求出未知边的长后,一定要看这三边能否组成三角形;
没有明确指明角是顶角或底角时,也要进行分类讨论
动态环境下的等腰三角形存在性问题
设等腰三角形中有一个角为α时 |
对应结论 |
当α为顶角时 |
底角= |
当α为直角或钝角时 |
不需要分类讨论,该角必为顶角 |
当α为锐角时 |
α可以为顶角;也可以为底角 |
当等腰三角形的一个外角为α时 |
对应结论 |
若α为锐角、直角 |
α必为顶角的外角 |
若α为钝角 |
α可以是顶角的外角,也可以是底角的外角 |
【类题训练】
1.△ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD把三角形的周长分为9cm和12cm两部分,则此三角形的腰长是 8cm或6cm .
【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为12厘米和18厘米两部分,但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长,哪个是9cm,哪个是12cm,因此,有两种情况,需要分类讨论.
【解答】解:根据题意画出图形,如图,
设等腰三角形的腰长AB=AC=2x,BC=y,
∵BD是腰上的中线,
∴AD=DC=x,
若
AB+AD的长为12,则2x+x=12,解得x=4cm,
则x+y=9,即4+y=9,解得y=5cm;
若AB+AD的长为9,则2x+x=9,解得x=3cm,
则x+y=12,即3+y=12,解得y=9cm;
所以等腰三角形的腰长为8cm或6cm.
故答案为:8cm或6cm.
2.(1)等腰三角形中有一个角是70°,则它的顶角是 70°或40° .
(2)等腰三角形中有一个角是100°,则它的另两个角是 40°,40° .
(3)等腰三角形的一个内角为70°,它一腰上的高与底边所夹的度数为 35°或20° .
【分析】(1)等腰三角形一内角为70°,没说明是顶角还是底角,所以有两种情况.
(2)由于等腰三角形的两底角相等,所以100°的角只能是顶角,再利用三角形的内角和定理可求得另两底角.
(3)题中没有指明已知角是底角还是顶角,故应该分情况进行分析从而求解.
【解答】解:(1)①当70°角为顶角,顶角度数即为70°;
②
当70°为底角时,顶角=180°﹣2×70°=40°.
(2)∵等腰三角形的两底角相等
∴两底角的和为180°﹣100°=80°
∴两个底角分别为40°,40°.
(3)①当∠A=70°时,则∠ABC=∠C=55°,因为BD⊥AC,所以∠DBC=90°﹣55°=35°;
②当∠C=70°时,因为BD⊥AC,所以∠DBC=90°﹣70°=20°
故答案为:70°或40°;40°,40°;35°或20°.
3.如果等腰三角形的周长是35cm,一腰上中线把三角形分成两个三角形,其周长之差是4cm,则这个等腰三角形的底边长是
9cm或
cm .
【分析】根据题意画出图形,设等腰三角形的腰长为xcm,则底边长为(19﹣2x)cm,再根据两个三角形的周长差是4cm求出x的值即可.
【解答】解:如图所示,等腰△ABC中,AB=AC,点D为AC的中点,设AB=AC=xcm,
∵
点D为AC的中点,
∴AD=CD=
,BC=25﹣(AB+AC)=35﹣2x,
当△ABD的周长大于△BCD的周长时,
AB+AD+BD﹣(BC+CD+BD)=4,即x+
﹣(35﹣2x)﹣
=4,解得x=13,
底边长为35﹣13×2=9(cm);
当△BCD的周长大于△ABD的周长时,
则BC+CD+BD﹣(AB+AD+BD)=4,即35﹣2x+
﹣(x+
)=4,解得x=
,
底边长为35﹣
×2=
(cm).
综上所述,这个等腰三角形的底边长为9cm或
cm.
故答案为:9cm或
cm.
4.已知△ABC中,CA=CB,AD⊥BC于D,∠CAD=50°,则∠B= 70°或20° .
【分析】利用直角三角形两锐角互余可求得∠C,再利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求得∠B.
【
解答】解:若△ACB是锐角三角形,如图1.
∵AD⊥BC,∠CAD=50°,
∴∠C=90°﹣∠CAD=90°﹣50°=40°,
∵CA=CB,
∴∠B=∠CAB,且2∠B+∠C=180°,
∴∠B=70°,
若
△ACB是钝角三角形,如图2.
∵AD⊥BC,∠CAD=50°,
∴∠DCA=90°﹣∠CAD=90°﹣50°=40°,
∵CA=CB,
∴∠B=∠CAB,且∠DCA=∠B+∠CAB
∴∠B=20°
故答案为:70°或20°.
5.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB是等腰三角形,则符合条件的P点有( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
【分析】根据等腰三角形的判定定理,结合图形即可得到结论.
【解答】解:如图,第1个点在CA延长线上,取一点P,使BA=AP;
第
2个点在CB延长线上,取一点P,使AB=PB;
第3个点在AC延长线上,取一点P,使AB=PB;
第4个点在BC延长线上,取一点P,使AB=PA;
第5个点在AC延长线上,取一点P,使AB=AP;
第6个点在AC上,取一点P,使∠PBA=∠PAB;
∴符合条件的点P有6个点.
故选:B.
6.用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形,则方案的种数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【分析】设等腰三角形的腰为x,底边为y,根据三角形的周长求出y=21﹣2x,根据三角形三边关系定理得出x+x>y,求出x+y>21﹣2x,再求出不等式组的解集即可.
【解答】解:设等腰三角形的腰为x,底边为y,则x>0,y>0,x+x>y,
则x+x+y=21,
即①y=21﹣2x>0,
所以②x+x>21﹣2x,
解①②得:5
<x<10.5,
所以整数x可以为6,7,8,9,10,共5种,
故选:A.
7.如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形,那么∠OEC的度数为 120°或75°或30° .
【分析】求出∠AOC,根据等腰得出三种情况,OE=CE,OC=OE,OC=CE,根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可.
【解答】
解
:∵∠AOB=60°,OC平分∠AOB,
∴∠AOC=30°,
①当E在E1时,OE=CE,
∵∠AOC=∠OCE=30°,
∴∠OEC=180°﹣30°﹣30°=120°;
②当E在E2点时,OC=OE,
则∠OEC=∠OCE=
(180°﹣30°)=75°;
③当E在E3时,OC=CE,
则∠OEC=∠AOC=30°;
故答案为:120°或75°或30°.
8.如图,∠AOB=60°,C是BO延长线上一点,OC=12cm,动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动,如果点P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间,当t= 4或12 s时,△POQ是等腰三角形.
【分析】根据等腰三角形的判定,分两种情况:(1)当点P在线段OC上时;(2)当点P在CO的延长线上时.分别列式计算即可求.
【解答】解:分两种情况:(1)当点P在线段OC上时,
设t时后△POQ是等腰三角形,
有OP=OC﹣CP=OQ,
即12﹣2t=t,
解得,t=4s;
(2)当点P在CO的延长线上时,此时经过CO时的时间已用6s,
当△POQ是等腰三角形时,∵∠POQ=60°,
∴△POQ是等边三角形,
∴OP=OQ,
即2(t﹣6)=t,
解得,t=12s
故答案为4s或12s.
9.如图,是四张形状不同的纸片,用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次),不能够得到两个等腰三角形纸片的是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,据此进行判断即可.
【解答】解:A、如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形;
B、如图所示,△ABC不能够分成两个等腰三角形;
C、如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形;
D、如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形;
故选:B.
10.已知△ABC的三条边长分别为3,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )
A.5条 B.6条 C.7条 D.8条
【
分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB,AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可.
【解答】解:如图所示:
当BC1=AC1,AC=CC2,AB=BC3,AC4=CC4,AB=AC5,AB=AC6,BC7=CC7时都能得到符合题意的等腰三角形.
故选:C.
11.如图,△ABC中,∠B=60°,∠C=90°,在射线BA上找一点D,使△ACD为等腰三角形,则∠ADC的度数为 75°或120°或15° .
【分析】分三种情形分别求解即可.
【解答】解:∵△ABC中,∠B=60°,∠C=90°,
∴
∠BAC=180°﹣60°﹣90°=30°,
如图,有三种情形:
①当AC=AD时,∠ADC=
=75°.
②当CD′=AD′时,∠AD′C=180°﹣30°﹣30°=120°.
③当AC=AD″时,∠AD″C=
=15°,
故答案为:75°或120°或15°.
12.如图,等边△ABC的边长为6,点P沿△ABC的边从A→B→C运动,以AP为边作等边△APQ,且点Q在直线AB下方,当点P、Q运动到使△BPQ是等腰三角形时,点Q运动路线的长为 3或9 .
【分析】如图,连接CP,BQ,由“SAS”可证△ACP≌△ABQ,可得BQ=CP,可得点Q运动轨迹是A→H→B,分两种情况讨论,即可求解.
【
解答】解:如图,连接CP,BQ,
∵△ABC,△APQ是等边三角形,
∴AP=AQ=PQ,AC=AB,∠CAP=∠BAQ=60°,
∴△ACP≌△ABQ(SAS)
∴BQ=CP,
∴当点P运动到点B时,点Q运动到点H,且BH=BC=6,
∴当点P在AB上运动时,点Q在AH上运动,
∵△BPQ是等腰三角形,
∴PQ=PB,
∴AP=PB=3=AQ,
∴点Q运动路线的长为3,
当点P在BC上运动时,点Q在BH上运动,
∵△BPQ是等腰三角形,
∴BQ=PB,
∴BP=BQ=3,
∴点Q运动路线的长为3+6=9,
故答案为:3或9.
13.如图,在△ABC中,∠ACB=2∠A,过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形,则∠A的度数为 45°或36°或
或
.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论.
【解答】解:∵过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形,
①
如图1,∵∠ACB=2∠A,
∴AD=DC=BD,
∴∠ACB=90°,
∴∠A=45°;
②如图2,AD=DC=BC,
∴
∠A=∠ACD,∠BDC=∠B,
∴∠BDC=2∠A,
∴∠A=36°,
③AD=DC,BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD,∠A=∠ACD,
∴∠BCD=∠BDC=2∠A,
∴∠BCD=2∠A,
∵∠ACB=2∠A,故这种情况不存在.
④如图3,AD=AC,BD=CD,
∴
∠ADC=∠ACD,∠B=∠BCD,
设∠B=∠BCD=α,
∴∠ADC=∠ACD=2α,
∴∠ACB=3α,
∴∠A=
α,
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴
α+α+3α=180°,
∴α=
,
∴∠A=
,
⑤
如图4,AC=CD=DB,
∴∠A=∠CDA,∠B=∠DCB,
∵∠CDB=180°﹣∠CDA=180°﹣∠A,
∴∠B=∠DCB=
=
,
∴∠ACB=
∠A=180°﹣
,
∵∠ACB=2∠A,
∴180°﹣
=2∠A,
∴
综上所述,∠A的度数为45°或36°或
或
.
故答案为:45°或36°或
或
.
14.已知等边△ABC的边长为3,点E在直线AB上,点D在直线CB上,且ED=EC,若AE=6,则CD的长为 3或9 .
【分析】①E在线段AB的延长线上时,过E点作EF⊥CD于F,②当E在线段AB的延长线时,过E点作EF⊥CD于F,根据等边三角形的性质求出BE长和∠ABC=60°,解直角三角形求出BF,求出CF,即可求出答案.
【解答】解:点E在直线AB上,AE=6,点E位置有两种情况:
①E在线段AB的延长线上时,过E点作EF⊥CD于F,
∵△ABC是等边三角形,△ABC的边长为3,AE=6,
∴
BE=6﹣3=3,∠ABC=60°,
∴∠EBF=60°,
∴∠BEF=30°,
∴BF=
BE=
,
∴CF=
+3=
,
∵ED=EC,
∴CF=DF,
∴CD=
×2=9;
②如图2,当E在线段AB的延长线时,过E点作EF⊥CD于F,
∵
△ABC是等边三角形,△ABC的边长为3,AE=6,
∴BE=6+3=9,∠ABC=60°,
∴∠EBF=60°,
∴∠BEF=30°,
∴BF=
AE=
,
∴CF=
﹣3=
,
∵ED=EC,
∴CF=DF,
∴CD=
×2=3;
即C=9或3,
故答案为:3或9.
15.△ABC的高AD、BE所在的直线交于点M,若BM=AC,求∠ABC的度数.
【分析】分两种情况考虑:当∠ABC为锐角时,如图1所示,由AD垂直于BC,BE垂直于AC,利用垂直的定义得到一对直角相等,再由一对对顶角相等,得到∠CAD=∠MBD,根据一对直角相等,再由BM=AC,利用AAS得出三角形BMD与三角形ACD全等,由全等三角形对应边相等得到AD=BD,得到三角形ABD为等腰直角三角形,可得出∠ABC=45°;当∠ABC为钝角时,如图2所示,同理利用AAS得出三角形ADC与三角形DBM全等,由全等三角形对应边相等得到AD=BD,得出三角形ABD为等腰直角三角形,求出∠ABD=45°,利用邻补角定义即可求出∠ABC=135°.
【解答】解:分两种情况考虑:
当∠ABC为锐角时,如图1所示,
∵AD⊥DB,BE⊥AC,
∴
∠MDB=∠AEM=90°,
∵∠AME=∠BMD,
∴∠CAD=∠MBD,
在△BMD和△ACD中,
,
∴△BMD≌△ACD(AAS),
∴AD=BD,即△ABD为等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°;
当∠ABC为钝角时,如图2所示,
∵BD⊥AM,BE⊥AC,
∴∠BDM=∠BEC=90°,
∵∠DBM=∠EBC,
∴∠M=∠C,
在△BMD和△ACD中,
,
∴△BMD≌△ACD(AAS),
∴AD=BD,即△ABD为等腰直角三角形,
∴∠ABD=45゜,
则∠ABC=135゜.
16.已知点P为线段CB上方一点,CA⊥CB,PA⊥PB,且PA=PB,PM⊥BC于M,若CA=1,PM=4.求CB的长.
【分析】根据全等三角形的判定得出△PMB≌△PNA,进而分类讨论得出答案即可.
【解答】解:此题分以下两种情况:
①如图1,过P作PN⊥CA于N,
∵PA⊥PB,
∴∠APB=90°,
∵∠NPM=90°,
∴∠NPA=∠BPM,
在△PMB和△PNA中,
,
∴△PMB≌△PNA,
∴PM=PN=4=CM,BM=AN=3,
∴BC=7;
②如图2,过P作PN⊥CA于N,
∵PA⊥PB,
∴∠APB=90°,
∵∠NPM=90°,
∴∠NPA=∠BPM,
在△PMB和△PNA中,
,
∴△PMB≌△PNA,
∴PM=PN=4=CM,BM=AN=5,
可得BC=9.
综合上述CB=7或9.
17.如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D在BC所在的直线上,点E在射线AC上,且AD=AE,连接DE.
(1)如图①,若∠B=∠C=35°,∠BAD=80°,求∠CDE的度数;
(2)如图②,若∠ABC=∠ACB=75°,∠CDE=18°,求∠BAD的度数;
(3)当点D在直线BC上(不与点B、C重合)运动时,试探究∠BAD与∠CDE的数量关系,并说明理由.
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°,根据三角形的外角的性质即可得到结论;
(2)根据三角形的外角的性质得到∠E=75°﹣18°=57°,于是得到结论;
(3)设∠ABC=∠ACB=y°,∠ADE=∠AED=x°,∠CDE=α,∠BAD=β,①如图1,当点D在点B的左侧时,∠ADC=x°﹣α,②如图2,当点D在线段BC上时,∠ADC=x°+α,③如图3,当点D在点C右侧时,∠ADC=x°﹣α,根据题意列方程组即可得到结论.
【解答】解:(1)∵∠B=∠C=35°,
∴∠BAC=110°,
∵∠BAD=80°,
∴∠DAE=30°,
∴∠ADE=∠AED=75°,
∴∠CDE=180°﹣35°﹣30°﹣75°=40°;
(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°,
∴∠E=75°﹣18°=57°,
∴∠ADE=∠AED=57°,
∴∠ADC=39°,
∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°,
∴∠BAD=36°;
(3)设∠ABC=∠ACB=y°,∠ADE=∠AED=x°,∠CDE=α,∠BAD=β
①如图1,当点D在点B的左侧时,∠ADC=x°﹣α,
∴
,
(1)﹣(2)得2α﹣β=0,
∴2α=β;
②如图2,当点D在线段BC上时,∠ADC=x°+α,
∴
,
(2)﹣(1)得α=β﹣α,
∴2α=β;
③如图3,当点D在点C右侧时,∠ADC=x°﹣α,
∴
,
(2)﹣(1)得2α﹣β=0,
∴2α=β.
综上所述,∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD.
18.定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.
(1)图①是顶角为36°的等腰三角形,这个三角形的三分线已经画出,请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数.(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种)
(2)图③是顶角为45°的等腰三角形,请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数 .
(3)△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE=CE,设∠C=x°,则x所有可能的值为 .
【分析】(1)在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线即可;
(2)在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线即可;
(3)分两种情况:AD为等腰三角形的腰或底作图即可得结论.
【解答】解:
(1)在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线;
(2)在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线.
每个等腰三角形顶角的度数为:90°、135°、45°.
故答案为:90°、135°、45°.
(3)如下图作△ABC,
①如图1:当AD=AE时,
∵2x+x=30+30,
∴x=20.
②如图2:当AD=DE时,
∵2x+x+30+30=180.
∴x=40.
所以x的所有可能的值为20°或40°.
故答案为20°或40°.
19.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AE交BC于点P,交DC的延长线于点E,点P为AE的中点.
(1)求证:点P也是BC的中点;
(2)若CB⊥AB,且DP=
,CD=
,AB=4,求AP的长;
(3)在(2)的条件下,若线段AE上有一点Q,使得△ABQ是等腰三角形,求AQ的长.
【分析】(1)由平行线的性质得出∠CEP=∠BAP,∠ECP=∠ABP,由点P为AE的中点,得出PE=PA,由AAS证得△CEP≌△BAP,即可得出结论;
(2)由CB⊥AB,AB∥CD,得出∠DCP=∠ABP=90°,在Rt△DCP中,CP=
=3,由(1)得CP=PB=3,在Rt△ABP中,AP=
=5;
(3)①当AQ=AB时,AQ=AB=4;
②当BA=BQ时,过点B作BN⊥AQ于N,则AN=NQ,由S△ABP=
AB•BP=
AP•BN,求出BN=
,在Rt△ABN中,AN=
=
,则AQ=2AN=
;
③当AQ=QB时,证明QB=AQ=QP,则AQ=
AP=
.
【解答】(1)证明:∵AB∥CD,
∴∠CEP=∠BAP,∠ECP=∠ABP,
∵点P为AE的中点,
∴PE=PA,
在△CEP和△BAP中,
,
∴△CEP≌△BAP(AAS),
∴PC=PB,
∴点P也是BC的中点;
(2)解:∵CB⊥AB,AB∥CD,
∴∠DCP=∠ABP=90°,
在Rt△DCP中,CP=
=
=3,
由(1)得:CP=PB=3,
在Rt△ABP中,AP=
=
=5;
(3)解:①当AQ=AB时,AQ=AB=4;
②当BA=BQ时,过点B作BN⊥AQ于N,如图1所示:
则AN=NQ,
S△ABP=
AB•BP=
AP•BN,
即4×3=5BN,
∴BN=
,
在Rt△ABN中,AN=
=
=
,
∴AQ=2AN=
;
③当AQ=QB时,如图2所示:
∵AQ=QB,
∴∠QAB=∠QBA,
∵∠QAB+∠QPB=90°,∠QBA+∠QBP=90°,
∴∠QPB=∠QBP,
∴QB=QP,
∴QB=AQ=QP,
∴AQ=
AP=
;
综上所述,△ABQ是等腰三角形,AQ的长为4或
或
.
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