【323334】2023八年级数学上册 第14章 勾股定理 勾股定理的逆定理课时练习(新版)华东师大版
1
A.2
B.2
C.
D.
知识点:转化的数学思想、勾股定理
知识点的描述:在解决有关求线段长度问题时,常通过添加辅助线,把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题,利用勾股定理解决问题。勾股定理的内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
答案:C
详细解答:作BC边上的高AD,
ABC中,∠BAC=75°,∠C=45°,那么∠B=60°,从而∠BAD=30°
在
Rt△ABD中,∠BAD=30°,AB=2,所以BD=1,AD=
在Rt△ACD中,∠C=45°,AD=
,所以CD=AD=
,
利用勾股定理可得AC=
。
1
.已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,∠A=60°,CD=
,线段AB长为(
)。
A.2 B.3
C.4
D.3
答案:C
分析:欲求AB,可由AB=BD+AD,分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角,求出BD和AD。或欲求AB,可由
,分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角,求出AC和BC。
详细解答:在Rt△ACD中,∠A=60°,那么∠ACD=30°,又已知CD=
,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出AD=1。
在Rt△ACB中,∠A=60°,那么∠B=30°。
在Rt△BCD中,∠B=30°,又已知CD=
,所以BC=2
,利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出BD=3。
因此AB=BD+CD=3+1=4,
小结:本题是“双垂图”的计算题,“双垂图”是中考重要的考点,所以要求对图形及性质掌握非常熟练,能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有:3个直角三角形,三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2,两对相等锐角,四对互余角,及30°或45°特殊角的特殊性质等。
2.已知a,b,c为△ABC三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,则它的形状为
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
知识点:综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状
知识点的描述:这类问题常常用到代数中的配方、因式分解,再结合几何中的有关定理不难作出判断。
答案:D
详细解答:∵
a2c2-b2c2=a4-b4,∴左右两边因式分解得
∴
∴
或
,
即
或
,所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。
2.若△ABC的三边a,b,c满足(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0,则△ABC是( )
(A)等腰三角形 (B)直角三角形
(C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形
答案:C
详细解答:∵(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0,∴c-b
=0且a2-b2-c2=0
即
且
,
所以三角形的形状为等腰直角三角形。
3.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )
知识点:勾股定理的逆定理
知识点的描述:在三角形中,如果某两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,最大的边就是斜边。
满足a2 +b2=c2的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.最好能记住常见的几组勾股数:3、4、5;5、12、13;6、8、10;7、24、25;8、15、17等。
答案:C
详细解答:A图和B图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方,不是直角三角形。D图中两个的三角形三边都不存在某两边的平方和等于第三边的平方,都不是直角三角形。只有C图中的两个三角形都是直角三角形。
3.在下列说法中是错误的( )
A.在△ABC中,
(
为正整数,且
),则△ABC为直角三角形.
B.在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=3:4:5,则△ABC为直角三角形.
C.在△ABC中,若
,则△ABC为直角三角形.
D.在△ABC中,若a:b:c=5:12:13,则△ABC为直角三角形.
答案:B
详细解答:
在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=3:4:5,那么最大角∠C=
不是直角三角形。
△ABC三条边的比为a:b:c=5:12:13,则可设a=5k,b=12k,c=13k,a2+b2=25k2+144k2=169k2,c2=(13k)2=169k2,所以,a2+b2=c2,△ABC是直角三角形.
4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )
A.两直线平行,同旁内角互补; B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C.对顶角相等 D.如果a2=b2,那么a=b
知识点:互逆命题
知识点的描述:如果一个命题的题设是另一个命题的结论,而结论又是另一个命题的题设,那么这样的两个命题是互逆命题。一个命题和它的逆命题的真假没有什么联系。
答案:C
详细解答:“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”,显然这是一个假命题。
4.下列命题的逆命题成立的是( )
(A)若a=b,则
(B)全等三角形的周长相等
(C)同角(或等角)的余角相等 (D)若a=0,则ab=0
答案:C
详细解答:(A)的逆命题是:若
,则a=b。不一定成立,也可能a=-b
(B)的逆命题是:周长相等的三角形全等。不一定成立,两个三角形周长相等,形状不一定就相同。
(D)的逆命题是:若ab=0,则a=0。不一定成立,也可能是b=0,而a≠0。
5
.如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,
离开港口2小时后,两船相距( )
A.25海里 B.30海里
C.35海里 D.40海里
知识点:勾股定理的实际应用题
知识点的描述:求距离或某个长度是很常见的实际应用题,这种问题一般转化为几何中的求线段长度问题,通常是在现有的直角三角形或构建的直角三角形中,利用勾股定理求出线段的长度,从而解决实际问题。
答
案:D
详细解答:画出答题图,由题意知,三角形ABC是直角三角形,
AC=32海里,AB=24海里,
根据勾股定理得BC2=AC2+AB2=322+242=1600,
所以BC=40(海里)
5.有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱,在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)要求木条不能露出木箱.请你算一算,能放入的细木条的最大长度是( )
A.
B.
C.
D.
答
案:C
详细解答:画出如图所示的木箱图,图中AD的长度就是能放入的细木条的最大长度,由题意知CB=5cm、CA=4cm、BD=3cm
在Rt△ACB中,AC和BC 是直角边,AB是斜边,AB2=AC2+CB2=41,
在Rt△ADB中,AB和BD 是直角边,AD是斜边,AD2=AB2+BD2
=41+9=50,所以AD=
6
.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是(
)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.以上答案都不对
知识点:网格问题,勾股定理和逆定理
知识点的描述:网格问题是常见的问题,解决这种问题要充分的利用正方形网格。
勾股定理的内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理:在三角形中,如果某两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形
答案:A
详细解答:把△ABC的各边分别放在不同的直角三角形中,给出必须的点的名称,画出图形。
在
Rt△BCD中,
CD=1,DB=8,那么CB2=CD2+BD2=65,
在Rt△ACE中, AE=2,CE=3,那么AC2=AE2+CE2=13,
在Rt△ABF中, AF=6,BF=4,那么AB2=AF2+BF2=52,
所以,在△ABC中, AC2+AB2=13+52=65,
又CB2=65,所以,AC2+AB2= CB2,根据勾股定理的逆定理可知三角形ABC是直角三角形
6
.如图,图中的小方格都是边长为1的正方形网格,则图中四边形的面积是
( )
A.25 B.12.5
C. 9 D.8.5
答
案:B
详细解答:S四边形EFGH =SABCD -S△DEF -S△CFG -S△BGH -S△AEH
=5×5-
×1×2-
×3×3-
×2×3-
×2×4=12.5
7
.如图,已知四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求得四边形ABCD的面积.(
)
A. 36 B. 25
C. 24 D. 30
知识点:勾股定理和逆定理在数学问题中的应用
知识点的描述:勾股定理的内容:直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理:在三角形中,如果某两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
答案:A
分析:根据题目所给数据特征,联想勾股数,连接AC,可实现四边形向三角形转化,并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形.
详
细解答:连接AC,在Rt△ABC中,
AC2=AB2+BC2=32+42=25, ∴ AC=5.
在△ACD中,∵ AC2+CD2=25+122=169,
又∵ AD2=132=169,
∴ AC2+CD2=AD2,∴ ∠ACD=90°.
故S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=
AB·BC+
AC·CD
=
×3×4+
×5×12=6+30=36.
7.在四边形ABCD中,AB=2,BC=
,CD=5,DA=4,∠B=90°,那么四边形ABCD的面积是(
)。
A
.
10 B.
C.
D.
答案:B
详细解答:连接AC,在Rt△ABC中,AB=2,,BC=
所
以
=
+
=9
所以AC=3
又因为
,
所以
所以∠CAD=90°
所以
=
×2×
+
×3×4=
8.已知:如图,四边形ABCD,AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3。
那
么四边形ABCD的面积是(
)。
A. 24 B. 36
C. 18 D. 20
知识点:勾股定理和逆定理在数学问题中的应用
知识点的描述:勾股定理的内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理:在三角形中,如果某两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
答案:C
详细解答:如图,作DE∥AB,连结BD,可以证明△ABD≌△EDB(ASA);
所
以DE=AB=4,BE=AD=3,EC=BC-EB=6-3=3;
在△DEC中,EC=3;DE=4,CD=5,
3、4、5勾股数,所以△DEC为直角三角形,DE⊥BC;
利用梯形面积公式可得:四边形ABCD的面积是
(3+6)×4=18
8.已知,△ABC中,AB中,AB=17cm,BC=16cm,BC边上的中线AD=15cm,求AC得( )。
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
答案:C
详细解答:如图,∵AD是BC边上的中线,BC=16cm
∴
BD=8cm
∴在△ABD中:AB=17cm,AD=15cm,BD=8cm
则有:
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC,即∠ADC=90°
在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=15cm,CD=8cm
根据勾股定理得:AC=
=17
(cm)
9
.已知:如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD,△ABC是(
)。
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 不等边三角形 D. 等边三角形
知识点:勾股定理和逆定理在数学问题中的应用
知识点的描述:勾股定理的内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理:在三角形中,如果某两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
答案:A
详细解答:∵AC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2
又∵CD2=AD·BD
∴AC2+BC2=AD2+2AD·BD+BD2
=(AD+BD)2=AB2
所以△ABC是直角三角形。
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90º,AC=BC,P是△ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3,求得∠BPC的度数( ).
A
.
115° B. 125°
C. 135° D. 120°
答案:C
详细解答:如答图,
将
△APC绕点C旋转,使CA与CB重合,即△APC≌△BEC,
∴△PCE为等腰Rt△,∴∠CPE=45°,PE2=PC2+CE2=8.
又∵PB2=1,BE2=9,
∴PE2+ PB2= BE2,则∠BPE=90°,
∴∠BPC=135°.
1
0.已知:如图正方形ABCD中,E是AD的中点,点F在DC上且DF=
DC,判断△BEF为(
)。
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 不等边三角形 D. 等边三角形
知识点:勾股定理和逆定理在数学问题中的应用
知识点的描述:勾股定理的内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理:在三角形中,如果某两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
答案:A
详细解答: 设DF=a,则DE=AE=2a,CF=3a,AB=BC=4a。
在Rt△ABE中,BE2=AB2+AE2=(4a)2+(2a)2=20a2
在Rt△DEF中,EF2=DE2+DF2=(2a)2+a2=5a2
在Rt△BCF中,BF2=BC2+CF2=(4a)2+(3a)2=25a2
所以BE2+EF2=BF2
所以∠BEF=90°
所以△BEF为直角三角形。
1
0.如图,△ABC中,D是AB的中点,AC=12,BC=5,CD=
。△ABC为(
)
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
答案:A
详细解答:
延长CD到点E,使得DE=CD,连接AE
∵CD=
,DE=CD
∴CE=13
∵在△ADE和△BDC中
∴△ADE≌△BDC
∴AE=BC=5
在△AEC中:AE=5,AC=12,CE=13
即
,∴∠EAC=90°
∵∠EAB=∠CBA
∴∠CAB+∠CBA=∠CAB+∠EAB=90°
∴∠ACB=90°
∴△ACB为直角三角形
- 1【330924】综合平移的坐标表示
- 2【330923】专题练习2:用计算器求平均数
- 3【330921】轴对称的坐标表示
- 4【330922】专题练习1:用计算器求平均数
- 5【330920】中心对称和中心对称图形
- 6【330919】直角三角形全等的判定
- 7【330918】直角三角巷的性质和判定(Ⅰ)
- 8【330917】正方形
- 9【330916】正比例函数的图象和性质
- 10【330915】长丰县2018-2019学年度第二学期期末考试八年级数学参考答案
- 11【330914】用待定系数法确定一次函数表达式
- 12【330913】一次函数知识点总结
- 13【330911】一次函数与一次方程的联系
- 14【330912】一次函数知识点归纳
- 15【330908】新人教版初中数学八年级下册同步练习试题及答案_第20章 数据的分析(22页)
- 16【330910】一次函数的图象和性质
- 17【330909】一次函数
- 18【330907】新人教版八年级数学下第18章《平行四边形》单元试卷
- 19【330906】新人教版八年级数学下第16章《二次根式》单元试卷
- 20【330904】湘教版八年级数学下《第5章数据的频数分布》单元试卷含答案
- 【330905】湘教版八年级数学下册全册综合测试题
- 【330903】湘教版八年级数学下《第3章图形与坐标》单元试卷含答案
- 【330901】湘教版八年级数学下《第1章直角三角形》单元试卷含答案
- 【330902】湘教版八年级数学下《第2章四边形》单元试卷含答案
- 【330900】五种类型一次函数解析式的确定
- 【330899】同步练习试题及答案_第19章 一次函数(10页)
- 【330898】同步练习试题及答案_第18章 平行四行形(40页)
- 【330897】同步练习试题及答案_第17章 勾股定理(20页)
- 【330896】同步练习试题及答案_第16章 二次根式(19页)
- 【330894】思想方法专题:直角三角形中的思想方法
- 【330895】特殊平行四边形知识点归纳
- 【330893】思想方法专题:矩形中的折叠问题
- 【330892】思想方法专题:勾股定理中的思想方法
- 【330891】数学培优辅差工作计划3
- 【330890】数学培优辅差工作计划2
- 【330889】数学培优辅差工作计划1
- 【330888】三角形的中位线
- 【330887】人教版数学八年级上同期末达标检测卷2
- 【330886】人教版数学八年级上同期末达标检测卷1
- 【330885】人教版数学八年级上册期中达标测试卷