【323332】2023八年级数学上册 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明13.2 命题与证明专
13.2 命题与证明
专题一 三角形中的计算与证明题
1.已知△ABC的高为AD,∠BAD=70º,∠CAD=20º,求∠BAC的度数。
2.如图,已知AB∥DE,试求证:∠A+∠ACD+∠D=3600(你有几种证法?)
3.在研究三角形内角和等于180°的证明方法时,小明和小虎分别给出了下列证法.
小明:在△ABC中,延长BC到D,
∴
∠ACD=∠A+∠B(三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角定义),
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等式的性质).
小虎:在△ABC中,作CD⊥AB(如图9),
∵CD⊥AB(已知),
∴∠ADC=∠BDC=90°(直角定义).
∴∠A+∠ACD=90°,∠B+∠BCD=90°(直角三角形两锐角互余).
∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°(等式的性质).
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
请你判断上述两名同学的证法是否正确,如果不正确,写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法,与同伴交流.
专题二 证明中的探究题
4.(1)如图①∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系?为什么?
(2)把图①△ABC沿DE折叠,得到图②,填空:∠1+∠2_______∠B+∠C(填“>”“<”“=”),当∠A=40°时,∠B+∠C+∠1+∠2=______.
(3)如图③,是由图①的△ABC沿DE折叠得到的,如果∠A=30°,则x+y=360°-(∠B+∠C+∠1+∠2)=360°- = ,猜想∠BDA+∠CEA与∠A的关系为
.
5.如图,已知
,探究
之间的关系,并写出证明过程.
【知识要点】
1.判断一件事情的语句叫命题,命题都由题设和结论两部分构成,分为真命题和假命题,都可以改写成“如果……那么……”的形式,任何一个命题都有逆命题.
2.三角形内角和等于180°,可利用平行线的有关知识证明.三角形三个外角的和等于360°,每个外角等于和其不相邻的两个内角的和,因此三角形的外角大于和它不相邻的任一个内角.
【温馨提示】
1.命题有逆命题,但定理不一定有逆定理.
2.要说明一个命题不成立,只要举出一个反例即可,反例满足命题的题设,但不满足结论.
3.“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”不能说成“三角形的一个外角大于一个内角”.
4.在证明一个命题的正确性时,每步都要有根据,根据可以是公理、定义、已知条件或已经证明的定理等.
【方法技巧】
1.要会判断一个语句是否为命题,需注意两点:(1)命题必须是一个完整的语句,通常是陈述句(包括肯定句和否定句);(2)必须对某件事情做出肯定或否定的判断.两者缺一不可.
2.在证明或计算三角形的角度大小关系时,要注意“三角形三个内角的和等于180°”这一隐含条件,合理地构造方程或方程组,以便正确求解.
3.要证明角的不等关系时,经常用三角形的外角性质来证明,在证明时,如果直接证明有难度,可连接两点,或延长某边,构造三角形,使求证的大角(或它的一部分)处于某个三角形的外角的位置上,小角处在内角的位置上,再结合不等式的性质证明.
参考答案
1.(1)当高AD在△ABC的内部时,因为∠BAD=70º,∠CAD=20º,所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70º+20º=90º;(2)当高AD在△ABC的外部时,因为∠BAD=70º,∠CAD=20º,所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70º-20º=50º.综合(1)、(2)可知∠BAC的度数为90º或50º.
2.证法一:如图1,过点C作CF∥AB。∵AB∥CD(已知),∴CF∥DE(两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),∴∠A+∠1=1800 ∠D+∠2=1800( 两直线平行,同旁内角互补),∴∠A+∠1 +∠2+∠D=3600(等式性质),即∠A+∠ACD+∠D =3600
证法二:如图2,过点C作CF∥AB。∵AB∥CD(已知),∴CF∥DE(两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),∴∠A=∠ACF ∠D=∠DCF( 两直线平行,内错角相等),∵∠ACD +∠ACF+∠DCF=3600( 周角定义),∴∠A+∠ACD+∠D =3600( 等式性质)
3.两名同学的证法都不对.因为“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和”与“直角三角形两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导的.
另
证:已知:如图10,△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°.
证明:过点A作EF∥BC,
∴∠EAB=∠B,∠FAC=∠C(两直线平行,内错角相等).
∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角定义),
∴∠B+∠BAC+∠C=180°.
4.(1)∵∠1+∠2+∠A=180°, ∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和等于180°),
∴∠1+∠2=∠B+∠C(等式的性质);
(2) = 280°
(3)300° 60° ∠BDA+∠CEA=2∠A
5
.
.
证明:如图6,连接
.∵
(已知),
∴
(两直线平行,同旁内角互补).
又∵
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),
∴
,
∴
,
也就是
,
即
.
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