【330352】2020年上海市中考数学试卷

2020年上海市中考数学试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1．（4分）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是 　　

A． B． C． D．

2．（4分）用换元法解方程 时，若设 ，则原方程可化为关于 的方程是 　　

A． B． C． D．

3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是 　　

A．条形图 B．扇形图

C．折线图 D．频数分布直方图

4．（4分）已知反比例函数的图象经过点 ，那么这个反比例函数的解析式是 　　

A． B． C． D．

5．（4分）下列命题中，真命题是 　　

A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形

B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形

C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形

6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是 　　

A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7．（4分）计算： 　　．

8．（4分）已知 ，那么 （3）的值是　　．

9．（4分）已知正比例函数 是常数， 的图象经过第二、四象限，那么 的值随着 的值增大而　　．（填“增大”或“减小”

10．（4分）如果关于 的方程 有两个相等的实数根，那么 的值是　　．

11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是　　．

12．（4分）如果将抛物线 向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　　．

13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为　　．

14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口 处立一根垂直于井口的木杆 ，从木杆的顶端 观察井水水岸 ，视线 与井口的直径 交于点 ，如果测得 米， 米， 米，那么井深 为　　米．

15．（4分）如图， 、 是平行四边形 的对角线，设 ， ，那么向量 用向量 、 表示为　　．

16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线 反映了小明从家步行到学校所走的路程 （米 与时间 （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行　　米．

17．（4分）如图，在 中， ， ， ，点 在边 上， ，联结 ．如果将 沿直线 翻折后，点 的对应点为点 ，那么点 到直线 的距离为　　．

18．（4分）在矩形 中， ， ，点 在对角线 上，圆 的半径为2，如果圆 与矩形 的各边都没有公共点，那么线段 长的取值范围是　　．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）计算： ．

20．（10分）解不等式组：

21．（10分）如图，在直角梯形 中， ， ， ， ， ．

（1）求梯形 的面积；

（2）联结 ，求 的正切值．

22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的 ．

（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；

（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．

23．（12分）已知：如图，在菱形 中，点 、 分别在边 、 上， ， 的延长线交 的延长线于点 ， 的延长线交 的延长线于点 ．

（1）求证： ；

（2）如果 ，求证： ．

24．（12分）在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 （如图）．抛物线 经过点 ．

（1）求线段 的长；

（2）如果抛物线 经过线段 上的另一点 ，且 ，求这条抛物线的表达式；

（3）如果抛物线 的顶点 位于 内，求 的取值范围．

25．（14分）如图， 中， ， 是 的外接圆， 的延长线交边 于点 ．

（1）求证： ；

（2）当 是等腰三角形时，求 的大小；

（3）当 ， 时，求边 的长．

2020年上海市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1．（4分）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是 　　

A． B． C． D．

【解答】解： 与 的被开方数不相同，故不是同类二次根式；

，与 不是同类二次根式；

，与 被开方数相同，故是同类二次根式；

，与 被开方数不同，故不是同类二次根式．

故选： ．

2．（4分）用换元法解方程 时，若设 ，则原方程可化为关于 的方程是 　　

A． B． C． D．

【解答】解：把 代入原方程得： ，转化为整式方程为 ．

故选： ．

3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是 　　

A．条形图 B．扇形图

C．折线图 D．频数分布直方图

【解答】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图，

故选： ．

4．（4分）已知反比例函数的图象经过点 ，那么这个反比例函数的解析式是 　　

A． B． C． D．

【解答】解：设反比例函数解析式为 ，

将 代入，得： ，

解得 ，

所以这个反比例函数解析式为 ，

故选： ．

5．（4分）下列命题中，真命题是 　　

A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形

B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形

C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形

【解答】解： 、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；

、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；

、正确；

、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；

故选： ．

6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是 　　

A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆

【解答】解：如图，平行四边形 中，取 ， 的中点 ， ，连接 ．

四边形 向右平移可以与四边形 重合，

平行四边形 是平移重合图形，

故选： ．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7．（4分）计算： 　 　．

【解答】解： ．

故答案为： ．

8．（4分）已知 ，那么 （3）的值是　1　．

【解答】解： ，

（3） ，

故答案为：1．

9．（4分）已知正比例函数 是常数， 的图象经过第二、四象限，那么 的值随着 的值增大而　减小　．（填“增大”或“减小”

【解答】解：函数 的图象经过第二、四象限，那么 的值随 的值增大而减小，

故答案为：减小．

10．（4分）如果关于 的方程 有两个相等的实数根，那么 的值是　4　．

【解答】解：依题意，

方程 有两个相等的实数根，

△ ，解得 ，

故答案为：4．

11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是　 　．

【解答】解： 从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，

取到的数恰好是5的倍数的概率是 ．

故答案为： ．

12．（4分）如果将抛物线 向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　 　．

【解答】解：抛物线 向上平移3个单位得到 ．

故答案为： ．

13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为　3150名　．

【解答】解： （名 ．

答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．

故答案为：3150名．

14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口 处立一根垂直于井口的木杆 ，从木杆的顶端 观察井水水岸 ，视线 与井口的直径 交于点 ，如果测得 米， 米， 米，那么井深 为　7　米．

【解答】解： ， ，

，

，

，

，

（米 ，

答：井深 为7米．

15．（4分）如图， 、 是平行四边形 的对角线，设 ， ，那么向量 用向量 、 表示为　 　．

【解答】解： 四边形 是平行四边形，

， ， ， ，

，

，

，

，

，

故答案为： ．

16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线 反映了小明从家步行到学校所走的路程 （米 与时间 （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行　350　米．

【解答】解：当 时，设 ，

将 、 代入，得：

，

解得： ，

；

当 时， ，

，

当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，

故答案为：350．

17．（4分）如图，在 中， ， ， ，点 在边 上， ，联结 ．如果将 沿直线 翻折后，点 的对应点为点 ，那么点 到直线 的距离为　 　．

【解答】解：如图，过点 作 于 ．

， ，

，

， ，

是等边三角形，

，

，

，

，

，

，

，

到直线 的距离为 ，

故答案为 ．

18．（4分）在矩形 中， ， ，点 在对角线 上，圆 的半径为2，如果圆 与矩形 的各边都没有公共点，那么线段 长的取值范围是　 　．

【解答】解：在矩形 中， ， ， ，

，

如图1，设 与 边相切于 ，连接 ，

则 ，

，

，

，

，

，

如图2，设 与 边相切于 ，连接 ，

则 ，

，

，

，

，

，

，

如果圆 与矩形 的各边都没有公共点，那么线段 长的取值范围是 ，

故答案为： ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）计算： ．

【解答】解：原式

．

20．（10分）解不等式组：

【解答】解： ，

解不等式①得 ，

解不等式②得 ．

故原不等式组的解集是 ．

21．（10分）如图，在直角梯形 中， ， ， ， ， ．

（1）求梯形 的面积；

（2）联结 ，求 的正切值．

【解答】解：（1）过 作 于 ，

， ，

，

，

四边形 是矩形，

， ，

，

，

，

梯形 的面积 ；

（2）过 作 于 ，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

的正切值 ．

22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的 ．

（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；

（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．

【解答】解：（1） （万元）．

答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．

（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为 ，

依题意，得： ，

解得： ， （不合题意，舍去）．

答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为 ．

23．（12分）已知：如图，在菱形 中，点 、 分别在边 、 上， ， 的延长线交 的延长线于点 ， 的延长线交 的延长线于点 ．

（1）求证： ；

（2）如果 ，求证： ．

【解答】（1）证明： 四边形 是菱形，

， ， ，

，

，

，

，

，

，

，

．

（2）证明： ，

，

，

，

，

， ，

，

即 ．

24．（12分）在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 （如图）．抛物线 经过点 ．

（1）求线段 的长；

（2）如果抛物线 经过线段 上的另一点 ，且 ，求这条抛物线的表达式；

（3）如果抛物线 的顶点 位于 内，求 的取值范围．

【解答】解：（1）针对于直线 ，

令 ， ，

，

令 ，则 ，

，

，

；

（2）设点 ，

，

，

，

，

，

点 在线段 上，

，

，

将点 ， 代入抛物线 中，得 ，

，

抛物线 ；

（3） 点 在抛物线 中，得 ，

，

抛物线的解析式为 ，

抛物线的顶点 坐标为 ，

将 代入 中，得 ，

顶点 位于 内，

，

；

25．（14分）如图， 中， ， 是 的外接圆， 的延长线交边 于点 ．

（1）求证： ；

（2）当 是等腰三角形时，求 的大小；

（3）当 ， 时，求边 的长．

【解答】（1）证明：连接 ．

，

，

，

，

，

，

．

（2）解：如图2中，延长 交 于 ．

①若 ，则 ，

，

，

，

，

，

．

②若 ，则 ，

，

，

，

．

③若 ，则 与 重合，这种情形不存在．

综上所述， 的值为 或 ．

（3）如图3中，作 交 的延长线于 ．

则 ，

，设 ， ，

，

，

，

，

．