【330349】2020年山东省枣庄市中考数学试卷
2020年山东省枣庄市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．（3分）
的绝对值是
A．
B．
C．
D．2
2．（3分）一副直角三角板如图放置，点
在
的延长线上，
，
，则
的度数为
A．
B．
C．
D．
3．（3分）计算
的结果为
A．
B．
C．
D．
4．（3分）实数
，
在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是
A．
B．
C．
D．
5．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是
A．
B．
C．
D．
6．（3分）如图，在
中，
的垂直平分线交
于点
，交
于点
，连接
．若
，
，则
的周长为
A．8 B．11 C．16 D．17
7．（3分）图（1）是一个长为
，宽为
的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是
A．
B．
C．
D．
8．（3分）如图的四个三角形中，不能由
经过旋转或平移得到的是
A．
B．
C．
D．
9．（3分）对于实数
、
，定义一种新运算“
”为：
，这里等式右边是实数运算．例如：
．则方程
的解是
A．
B．
C．
D．
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，点
在第一象限，点
在
轴的正半轴上，
，
．将
绕点
逆时针旋转
，点
的对应点
的坐标是
A．
，
B．
C．
，
D．
11．（3分）如图，在矩形纸片
中，
，点
在边
上，将
沿直线
折叠，点
恰好落在对角线
上的点
处，若
，则
的长是
A．
B．4 C．5 D．6
12．（3分）如图，已知抛物线
的对称轴为直线
．给出下列结论：
①
；
②
；
③
；
④
．
其中，正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只填写最后结果，每小题填对得4分．
13．（4分）若
，
，则
．
14．（4分）已知关于
的一元二次方程
有一个根为
，则
．
15．（4分）如图，
是
的直径，
切
于点
，线段
交
于点
．连接
，若
，则
．
16．（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若
，
的长都为
，当
时，人字梯顶端离地面的高度
是 
．（结果精确到
，参考依据：
，
，
17．（4分）如图，
，
是正方形
的对角线
上的两点，
，
，则四边形
的周长是 ．
18．（4分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积
可用公式
是多边形内的格点数，
是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克
定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积
．
三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）解不等式组
并求它的所有整数解的和．
20．（8分）欧拉
，1707年
年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数
、棱数
、面数
之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 |
三棱锥 |
三棱柱 |
正方体 |
正八面体 |
图形 |
|
|
|
|
顶点数 |
4 |
6 |
8 |
|
棱数 |
6 |
|
12 |
|
面数 |
4 |
5 |
|
8 |
（2）分析表中的数据，你能发现
、
、
之间有什么关系吗？请写出关系式： ．
21．（8分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：
绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组 |
频数 |
|
|
|
12 |
|
|
|
10 |
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中
，
；
（2）样本成绩的中位数落在 范围内；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在
范围内的有多少人？
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数
和
的图象相交于点
，反比例函数
的图象经过点
．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数
的图象与反比例函数
的图象的另一个交点为
，连接
，求
的面积．
23．（8分）如图，在
中，
，以
为直径的
分别交
、
于点
、
，点
在
的延长线上，且
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
的直径为4，
，求
．
24．（10分）在
中，
，
是中线，
，一个以点
为顶点的
角绕点
旋转，使角的两边分别与
、
的延长线相交，交点分别为点
、
，
与
交于点
，
与
交于点
．
（1）如图1，若
，求证：
；
（2）如图2，在
绕点
旋转的过程中，试证明
恒成立；
（3）若
，
，求
的长．
25．（10分）如图，抛物线
交
轴于
，
两点，与
轴交于点
，
，
．
为线段
上的一个动点，过点
作
轴，交抛物线于点
，交
于点
．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点
作
，垂足为点
．设
点的坐标为
，请用含
的代数式表示线段
的长，并求出当
为何值时
有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点
在运动过程中，是否存在这样的点
，使得以
，
，
为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点
的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年山东省枣庄市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．（3分）
的绝对值是
A．
B．
C．
D．2
【解答】解：
的绝对值为
．
故选：
．
2．（3分）一副直角三角板如图放置，点
在
的延长线上，
，
，则
的度数为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可得：
，
，
，
，
．
故选：
．
3．（3分）计算
的结果为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
．
故选：
．
4．（3分）实数
，
在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
、
，故本选项错误；
、
，
，
，故本选项错误；
、
，故本选项错误；
、
，
，故本选项正确；
故选：
．
5．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中两次都是白球的有4种，
，
故选：
．
6．（3分）如图，在
中，
的垂直平分线交
于点
，交
于点
，连接
．若
，
，则
的周长为
A．8 B．11 C．16 D．17
【解答】解：
垂直平分
，
，
的周长
．
故选：
．
7．（3分）图（1）是一个长为
，宽为
的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是
，
则面积是
．
故选：
．
8．（3分）如图的四个三角形中，不能由
经过旋转或平移得到的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意，选项
，
，
可以通过平移，旋转得到，选项
可以通过翻折，平移，旋转得到．
故选：
．
9．（3分）对于实数
、
，定义一种新运算“
”为：
，这里等式右边是实数运算．例如：
．则方程
的解是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，得
，
去分母得：
，
解得：
，
经检验
是分式方程的解．
故选：
．
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，点
在第一象限，点
在
轴的正半轴上，
，
．将
绕点
逆时针旋转
，点
的对应点
的坐标是
A．
，
B．
C．
，
D．
【解答】解：如图，过点
作
轴于
．
在
△
中，
，
，
，
，
，
，
，
故选：
．
11．（3分）如图，在矩形纸片
中，
，点
在边
上，将
沿直线
折叠，点
恰好落在对角线
上的点
处，若
，则
的长是
A．
B．4 C．5 D．6
【解答】解：
将
沿直线
折叠，点
恰好落在对角线
上的点
处，
，
，
，
，
，
，
，
故选：
．
12．（3分）如图，已知抛物线
的对称轴为直线
．给出下列结论：
①
；
②
；
③
；
④
．
其中，正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：抛物线开口向下，
，对称轴为
，因此
，与
轴交于正半轴，因此
，
于是有：
，因此①正确；
由
，得
，因此③不正确，
抛物线与
轴有两个不同交点，因此
，②正确，
由对称轴
，抛物线与
轴的一个交点为
，对称性可知另一个交点为
，因此
，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④，
故选：
．
二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只填写最后结果，每小题填对得4分．
13．（4分）若
，
，则
1 ．
【解答】解：
，
．
，
，
，
故答案为：1．
14．（4分）已知关于
的一元二次方程
有一个根为
，则
．
【解答】解：把
代入
得
，解得
，
，
．
故答案为
．
15．（4分）如图，
是
的直径，
切
于点
，线段
交
于点
．连接
，若
，则
．
【解答】解：
切
于点
，
，
，
，
．
故答案为：
．
16．（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若
，
的长都为
，当
时，人字梯顶端离地面的高度
是 1.5 
．（结果精确到
，参考依据：
，
，
【解答】解：
，
，
，
，
故答案为1.5．
17．（4分）如图，
，
是正方形
的对角线
上的两点，
，
，则四边形
的周长是 
．
【解答】解：如图，连接
交
于点
，
四边形
为正方形，
，
，
，
，即
，
四边形
为平行四边形，且
，
四边形
为菱形，
，
，
，
由勾股定理得：
，
四边形
的周长
，
故答案为：
．
18．（4分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积
可用公式
是多边形内的格点数，
是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克
定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积
6 ．
【解答】解：
表示多边形内部的格点数，
表示多边形边界上的格点数，
表示多边形的面积，
，
，
该五边形的面积
，
故答案为：6．
三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）解不等式组
并求它的所有整数解的和．
【解答】解：
，
由①得，
，
由②得，
，
所以，不等式组的解集是
，
所以，它的整数解为：
，
，
，0，1，
所以，所有整数解的和为
．
20．（8分）欧拉
，1707年
年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数
、棱数
、面数
之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 |
三棱锥 |
三棱柱 |
正方体 |
正八面体 |
图形 |
|
|
|
|
顶点数 |
4 |
6 |
8 |
6 |
棱数 |
6 |
|
12 |
|
面数 |
4 |
5 |
|
8 |
（2）分析表中的数据，你能发现
、
、
之间有什么关系吗？请写出关系式： ．
【解答】解：（1）填表如下：
名称 |
三棱锥 |
三棱柱 |
正方体 |
正八面体 |
图形 |
|
|
|
|
顶点数 |
4 |
6 |
8 |
6 |
棱数 |
6 |
9 |
12 |
12 |
面数 |
4 |
5 |
6 |
8 |
（2）
，
，
，
，
，
．
即
、
、
之间的关系式为：
．
故答案为：6，9，12，6，
．
21．（8分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：
绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组 |
频数 |
|
|
|
12 |
|
|
|
10 |
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中
8 ，
；
（2）样本成绩的中位数落在 范围内；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在
范围内的有多少人？
【解答】解：（1）由统计图得，
，
，
故答案为：8，20；
（2）由中位数的意义可得，50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在
组内，
故答案为：
；
（3）补全频数分布直方图如图所示：
（4）
（人
，
答：该校1200名学生中立定跳远成绩在
范围内的有240人．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数
和
的图象相交于点
，反比例函数
的图象经过点
．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数
的图象与反比例函数
的图象的另一个交点为
，连接
，求
的面积．
【解答】解：（1）联立
①和
并解得：
，故点
，
将点
的坐标代入反比例函数表达式得：
，解得：
，
故反比例函数表达式为：
②；
（2）联立①②并解得：
或
，
当
时，
，故点
，
设
交
轴于点
，过点
、
分别作
轴的垂线交于点
、
，
则
．
23．（8分）如图，在
中，
，以
为直径的
分别交
、
于点
、
，点
在
的延长线上，且
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
的直径为4，
，求
．
【解答】（1）证明：连接
，
是
的直径，
，
．
，
．
，
即
是
的直径，
直线
是
的切线；
（2）解：过
作
于
，
，
的直径为4，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．（10分）在
中，
，
是中线，
，一个以点
为顶点的
角绕点
旋转，使角的两边分别与
、
的延长线相交，交点分别为点
、
，
与
交于点
，
与
交于点
．
（1）如图1，若
，求证：
；
（2）如图2，在
绕点
旋转的过程中，试证明
恒成立；
（3）若
，
，求
的长．
【解答】（1）证明：
，
，
是中线，
，
，
，
在
和
中，
，
；
（2）证明：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点
作
于
，
，
，
由（2）可知，
，
，
，
，
，
，即
，
解得，
，
由勾股定理得，
．
25．（10分）如图，抛物线
交
轴于
，
两点，与
轴交于点
，
，
．
为线段
上的一个动点，过点
作
轴，交抛物线于点
，交
于点
．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点
作
，垂足为点
．设
点的坐标为
，请用含
的代数式表示线段
的长，并求出当
为何值时
有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点
在运动过程中，是否存在这样的点
，使得以
，
，
为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点
、
的坐标代入抛物线表达式得
，解得
，
故抛物线的表达式为：
；
（2）由抛物线的表达式知，点
，
由点
、
的坐标得，直线
的表达式为：
；
设点
，则点
，点
，
，
，故
，
，
，
，故当
时，
有最大值为
；
（3）存在，理由：
点
、
的坐标分别为
、
，则
，
①当
时，过点
作
轴于点
，
则
，即
，
解得：
（舍去负值），
故点
，
；
②当
时，则
，
在
中，由勾股定理得：
，解得：
或0（舍去
，
故点
；
③当
时，则
，解得：
（舍去）；
综上，点
的坐标为
或
，
．
- 1【330924】综合平移的坐标表示
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- 7【330918】直角三角巷的性质和判定（Ⅰ）
- 8【330917】正方形
- 9【330916】正比例函数的图象和性质
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- 14【330912】一次函数知识点归纳
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