【330100】18.2 第1课时 勾股定理的逆定理

18.2勾股定理的逆定理

第1课时 勾股定理的逆定理

教学目标

1．掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用；(难点)

2．理解勾股数的定义，探索常用勾股数的规律．(重点)

教学过程

一、情境导入

据说几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，这样围成的三角形中最长边所对的角就是直角，你知道为什么吗？

二、合作探究

探究点一：勾股定理的逆定理

【类型一】 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形

判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形．

(1)在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°；

(2)在△ABC中，AC＝7，AB＝24，BC＝25；

(3)△ABC的三边长a、b、c满足(a＋b)(a－b)＝c².

解析：(1)已知两角可以求出另外一个角；(2)使用勾股定理的逆定理验证；(3)将式子变形即可使用勾股定理的逆定理验证．

解：(1)在△ABC中，∵∠A＝20°，∠B＝70°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，即△ABC是直角三角形；

(2)∵AC²＋AB²＝7²＋24²＝625，BC²＝25²＝625，∴AC²＋AB²＝BC².根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形；

(3)∵(a＋b)(a－b)＝c²，∴a²－b²＝c²，即a²＝b²＋c².根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形．

方法总结：在运用勾股定理的逆定理时，要特别注意找到最大边，定理描述的是最大边的平方等于另外两边的平方和．

【类型二】 利用勾股定理的逆定理求角的度数

如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．

解析：根据已知条件PA＝3，PB＝4，PC＝5，易知PA²＋PB²＝PC²，但PA、PB、PC不在同一个三角形中，可构造边长分别为3、4、5的直角三角形来解决问题．

解：在△ABC所在的平面内，以A为顶点，AC为边在△ABC外作∠DAC＝∠PAB，且AD＝AP.连接DC，PD，则△ADC≌△APB，所以DC＝PB，∠APB＝∠ADC.因为PA＝AD，∠PAD＝∠BAC＝60°，所以△APD为等边三角形．所以PD＝PA＝AD＝3，∠ADP＝60°.又因为DC＝BP＝4，PC＝5，且PD²＋DC²＝3²＋4²＝5²＝PC²，所以△PDC为直角三角形且∠PDC＝90°.所以∠APB＝∠ADC＝∠ADP＋∠PDC＝60°＋90°＝150°.

方法总结：解答本题的关键是构建全等三角形．把长度分别为3、4、5的线段转化为同一个三角形的三边，利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形，进而求出角度．

【类型三】 利用勾股定理的逆定理解决面积问题

如图所示，已知AD是△ABC边BC上的中线，BC＝10cm，AC＝4cm，AD＝3cm，求S_△ABC.

解析：由△DAC的三边长，易判定该三角形是直角三角形，再由面积公式求出DC边上的高，进而可求△ABC的面积，也可根据中线等分三角形面积求解．

解：过点A作AE⊥BC交BC于点E.∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝×10＝5(cm)．∵CD²＝5²＝25，AD²＋AC²＝3²＋4²＝25，∴AD²＋AC²＝CD²，∴△DAC是直角三角形．∵S_△ADC＝AD·AC＝DC·AE，∴AE＝＝＝(cm)．∴S_△ABC＝BC·AE＝×10×＝12(cm²)．

方法总结：先用勾股定理的逆定理判定直角三角形，再用面积法求AE的长，进而求出△ABC的面积．还可先求出S_△ADC，再由AD是中线，得S_△ABD＝S_△ADC，即S_△ABC＝2S_△ADC，从而得解．

【类型四】 利用勾股定理的逆定理证垂直

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC＝5，BD＝12，两底AD、BC的和为13.求证：AC⊥BD.

解析：由于两底的和已知，且对角线长度已知，应先将对角线平移，再寻找解题途径，由勾股定理的逆定理可以判定DB⊥DE，从而证明AC⊥BD.

证明：过D作DE∥AC交BC的延长线于E点．又∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形．∴DE＝AC＝5，CE＝AD.在△BDE中，BD＝12，DE＝5，BE＝BC＋CE＝BC＋AD＝13，且5²＋12²＝13²，DE²＋BD²＝BE²，∴△BDE为直角三角形，即∴∠BDE＝90°，则DE⊥BD.又∵DE∥AC，∴AC⊥BD.

方法总结：利用三角形三边的数量关系来判定直角三角形，从而推出两线的垂直关系．

探究点二：勾股数

下列几组数中是勾股数的是________(填序号)．

①3²，4²，5²；②9，40，41；③，，；④0.9，1.2，1.5.

解析：第①组不符合勾股数的定义，不是勾股数；第③④组不是正整数，不是勾股数；只有第②组的9，40，41是勾股数．故填②.

方法总结：判断勾股数的方法：必须满足两个条件：一要符合等式a²＋b²＝c²；二要都是正整数．

三、板书设计

教学反思

本节课采用以学生为主体，引导发现、操作探究的教学实验，符合学生的认知规律和认知水平，最大限度地调动了学生学习的积极性，有利于培养学生动手、观察、分析、猜想、验证、推理的能力，切实使学生在获取知识的过程中得到能力的培养.