【330067】17.2.1 配方法

17.2.1配方法

教学目标

1．学会用直接开平方法解形如(x＋m)²＝n(n≥0)的一元二次方程；(重点)

2．理解配方法的思路，能熟练运用配方法解一元二次方程．(难点)

教学过程

一、情境导入

一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：h＝5x²，问石头经过多长时间落到地面？

二、合作探究

探究点一：用直接开平方法解一元二次方程

用直接开平方法解下列方程：

(1)x²－16＝0; (2)3x²－27＝0；

(3)(x－2)²＝9; (4)(2y－3)²＝16.

解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解．注意开方后，等式的右边取“正、负”两种情况．

解：(1)移项，得x²＝16.根据平方根的定义，得x＝±4，即x₁＝4，x₂＝－4；

(2)移项，得3x²＝27.两边同时除以3，得x²＝9.根据平方根的定义，得x＝±3，即x₁＝3，x₂＝－3；

(3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，即x－2＝3或x－2＝－3，即x₁＝5，x₂＝

－1；

(4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，即2y－3＝4或2y－3＝－4，即y₁＝，y₂＝－.

方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：①x²＝a(a≥0)；②(x＋a)²＝b(b≥0)；③(ax＋b)²＝c(c≥0)；④(ax＋b)²＝(cx＋d)²(|a|≠|c|)．

探究点二：用配方法解一元二次方程

【类型一】 用配方法解一元二次方程

用配方法解下列方程：

(1)x²－2x－35＝0；

(2)3x²＋8x－3＝0.

解析：当二次项系数是1时，先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配方成完全平方式，即为(x＋m)²＝n(n≥0)的形式，再用直接开平方法求解；当二次项系数不是1时，先将二次项系数化为1，再用配方法解方程．

解：(1)移项，得x²－2x＝35.配方，得x²－2x＋1²＝35＋1²，即(x－1)²＝36.直接开平方，得x－1＝±6.所以原方程的根是x₁＝7，x₂＝－5；

(2)方程两边同时除以3，得x²＋x－1＝0.移项，得x²＋x＝1.配方，得x²＋x＋()²＝1＋()²，即(x＋)²＝()².直接开平方，得x＋＝±.所以原方程的根是x₁＝，x₂＝－3.

方法总结：运用配方法解一元二次方程的关键是先把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，然后在方程两边同时添加常数项，使其等于一次项系数一半的平方．

【类型二】 利用配方法求代数式的值

已知a²－3a＋b²－＋＝0，求a－4的值．

解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于0的形式，得到这两个数都为0，从而可求出a，b的值，再代入代数式计算即可．

解：原等式可以写成：(a－)²＋(b－)²＝0.

∴a－＝0，b－＝0，解得a＝，b＝.

∴a－4＝－4×＝－.

方法总结：这类题目主要是配方法和平方的非负性的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．

【类型三】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的取值范围

请用配方法说明：不论x取何值，代数式x²－5x＋7的值恒为正．

解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式．

解：∵x²－5x＋7＝x²－5x＋()²＋7－()²＝(x－)²＋，而(x－)²≥0，

∴(x－)²＋≥.

∴代数式x²－5x＋7的值恒为正．

方法总结：对于代数式是一个关于x的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，就可以求出原代数式的最值．

三、板书设计

教学反思

本节课通过观察、思考、对比使学生掌握一元二次方程的解法：直接开平方法和配方法，领会降次—转化的数学思想．经历从简单到复杂的过程，从而培养学生从不同的角度进行探究的习惯和能力