【330030】16.1 第2课时 二次根式的性质

16.1 二次根式

第1课时 二次根式的性质

教学目标

1．理解和掌握()²＝a(a≥0)和＝|a|；(重点)

2．能正确运用二次根式的性质1和性质2进行化简和计算．(难点)

教学过程

一、情境导入

如果正方形的面积是3，那么它的边长是多少？若边长是，则面积是多少？

如果正方形的面积是a，那么它的边长是多少？若边长是，则面积是多少？你会计算吗？

二、合作探究

探究点一：利用二次根式的性质进行计算

【类型一】 利用()²＝a(a≥0)计算

计算：

(1)()^2; (2)(－)²；

(3)(2)^2; (4)(2)².

解析：(1)可直接运用()²＝a(a≥0)计算，(2)(3)(4)在二次根号前有一个因数，先利用(ab)²＝a²b²，再利用()²＝a(a≥0)进行计算．

解：(1)()²＝0.3；

(2)(－)²＝(－1)²×()²＝13；

(3)(2)²＝2²×()²＝12；

(4)(2)²＝2²×()²＝4(x－y)＝4x－4y.

方法总结：形如(n)²(m≥0)的二次根式的化简，可先利用(ab)²＝a²b²，化为n²·()²(m≥0)后再化简．

【类型二】 利用＝|a|计算

计算：

1. ；　(2)；　

(3)－.

解析：利用＝|a|进行计算．

解：(1)＝2；

(2)＝|－|＝；

(3)－＝－|－π|＝－π.

方法总结：＝|a|的实质是求a²的算术平方根，其结果一定是非负数．

【类型三】 利用二次根式的性质化简求值

先化简，再求值：a＋，其中a＝－2或3.

解析：先把二次根式化简，再代入求值，即可解答．

解：a＋＝a＋＝a＋|a＋1|，当a＝－2时，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1；当a＝3时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7.

方法总结：本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是先化简，再求值．

探究点二：利用二次根式的性质进行化简

【类型一】 与数轴的综合

如图所示为a，b在数轴上的位置，化简2－＋.

解析：由a，b在数轴上的位置确定a＜0，a－b＜0，a＋b＜0.再根据＝|a|进行化简．

解：由数轴可知－2＜a＜－1，0＜b＜1，则a－b＜0，a＋b＜0.原式＝2|a|－|a－b|＋|a＋b|＝－2a＋a－b－(a＋b)＝－2a－2b.

方法总结：利用＝|a|化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．

【类型二】 与三角形三边关系的综合

已知a、b、c是△ABC的三边长，化简－＋.

解析：根据三角形的三边关系得出b＋c＞a，b＋a＞c，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可．

解：∵a、b、c是△ABC的三边长，

∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b－c.

方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系(三角形中任意两边之和大于第三边)，得出不等关系，再结合二次根式的性质进行化简．

三、板书设计

教学反思

二次根式的性质是建立在二次根式概念的基础上，同时又为学习二次根式的运算打下基础．本节教学始终以问题的形式展开，使学生在教师设问和自己释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯．性质1和性质2容易混淆，教师在教学中应注意引导学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用