【330020】15.3 等腰三角形

课后训练

1．下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是(　　)．

A．两边之和大于第三边 B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边

C．有两个锐角的和等于90° D．内角和等于180°

2．等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为(　　)．

A．40° B．80° C．100° D．100°或40°

3．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD等于(　　)．

(第3题图)

A．3 cm　　　 　　B．4 cm C．1.5 cm D．2 cm

4．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是(　　)．

A．40° B．50° C．60° D．30°

5．(如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是(　　)．

A．100° B．80° C．70° D．50°

(第5题图)

6．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2 cm，则AB的长度是(　　)．

A．2 cm　　　 　B．4 cm C．8 cm　 D．16 cm

7．如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是(　　)．

(第7题图)

A．AB＝BE B．AD＝DC C．AD＝DE D．AD＝EC

8．一个等腰三角形的一个外角等于150°，则这个三角形的三个角应该为________．

9．如图，等边△ABC中，F是AB的中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE＝________.

(第9题图)

10．在一次数学课上，王老师在黑板上画出下图，并写出了四个等式：①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠CDE.

(第10题图)

要求同学们从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由(写出一种即可)．

已知：

求证：△AED是等腰三角形．

证明：

11．如图所示，某次“海上搜救”活动演习中，一救护船在A处测得海岛B在北偏东35°，上午11时，该船从A处出发，以每小时20海里的速度，向正北航行到C处，再观测海岛B在北偏东70°，且船距离海岛20海里，求该船到达C点的时间．

(第11题图)

12．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E.如果DE＝1，求BC的长．

(第12题图)

13．如图，已知△ABC为等边三角形，D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且△DEF也是等边三角形．除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的．

(第13题图)

答案与解析

1．B

2．C　解析：这个等腰三角形的顶角为：180°－2×40°＝100°，故选C.

3．A　解析：∵OC平分∠AOB，∴∠DOC＝∠BOC.又∵CD∥OB，∴∠DCO＝∠BOC.∴∠DOC＝∠DCO.∴CD＝OD＝3 cm.

4．A　解析：顶角80°，底角50°，要求的角为底角的余角，即40°.

5．A　解析：∵DA＝DB，∴∠DAB＝∠DBA＝20°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝30°.

∴∠DBC＋∠DCB＝180°－(∠DAB＋∠DAC＋∠DBA＋∠DCA)＝180°－40°－60°＝80°，

∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB＝100°.故选A.

6．C　解析：易证AB＝4AD.

7．B　解析：由题意易知，AB＝BE，AD＝DE.在Rt△ABC中，∵∠C＝45°，∠DEC＝90°，∴∠CDE＝45°，∴∠C＝∠CDE.∴DE＝EC.∴AD＝EC.∴选项A，C，D正确；在Rt△EDC中，显然有DE＜DC，

∴AD＜DC，即选项B错误.故选B.

8．30°，30°，120°或30°，75°，75°　解析：由题意知，与150°角相邻的内角是30°，而这个30°角可能是底角也可能是顶角，∴这个三角形的三个角应该为30°，30°，120°或30°，75°，75°.

9． 　解析：在△AFE中，∵∠AEF＝90°，∠A＝60°，∴∠AFE＝30°，∴AF＝2AE.又∵F是AB的中点，∴AB＝4AE.又∵△ABC的边长为10，∴4AE＝10，∴ .

10．解：已知：①③(或①④，或②③，或②④)．

证明：在△ABE和△DCE中，

∵

∴△ABE≌△DCE.(AAS)

∴AE＝DE，

故△AED是等腰三角形．

解析：欲推出△AED是等腰三角形，只要能推出AE＝DE即可．在△ABE和△DCE中，由于∠AEB＝∠DEC(对顶角相等)，∴所选的条件只要是一边一角对应相等，即可保证两个三角形全等，从而可推出△AED是等腰三角形．

11．解：∵在△ABC中，∠MCB是△ABC的外角，

∴∠MCB＝∠CAB＋∠B.

又∵∠MCB＝70°，∠CAB＝35°，

∴∠B＝∠CAB＝35°.

∴AC＝BC＝20(海里)．

∴航行时间为 ．

∴船到达C点的时间为当天上午12时．

12．解：如图，连接AD，

(第12题答图)

∵DE垂直平分AB，

∴AD＝BD，∠DEB＝90°.

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°.

在Rt△BDE中，

∵∠B＝30°，

∴ .

又∵DE＝1，

∴BD＝2.

∵AD＝BD，

∴∠BAD＝∠B＝30°.

∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝120°－30°＝90°，

而∠C＝30°，

∴ ，

即CD＝2AD＝2BD＝4.

故BC＝CD＋BD＝4＋2＝6.

13．解：图中相等的线段是：AE＝BF＝CD，AF＝BD＝CE.

证明：∵△ABC与△DEF都是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∠EDF＝∠DEF＝∠EFD＝60°，DE＝EF＝FD.

又∵∠CED＋∠AEF＝120°，∠CDE＋∠CED＝120°，

∴∠AEF＝∠CDE.

同理∠CDE＝∠BFD.

∴△AEF≌△BFD≌△CDE.(AAS)

∴AE＝BF＝CD，AF＝BD＝CE.