【329466】1.3 直角三角形全等的判定2

1.3 直角三角形全等的判定

要点感知 斜边、直角边定理：斜边和__________条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简称“斜边、直角边”或“HL”.

预习练习 如图,AB=CD,AE⊥BC于点E,DF⊥BC于点F,若BE=CF,则△ABE≌△__________,其依据是________.

知识点1 直角三角形全等的判定

1.如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，则△ABC≌△DCB的依据是( )

A.HL B.ASA C.AAS D.SAS

第1题图 第3题图 第4题图

2.在下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )

A.两条直角边对应相等

B.两个锐角对应相等

C.一个锐角和它所对的直角边对应相等

D.一条斜边和一条直角边对应相等

3.如图所示,AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF,则图中全等的三角形有( )

A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

4.已知：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE=DF，AB=DC，则△ABE≌△__________.

5.如图,已知BD⊥AE于点B,C是BD上一点,且BC=BE,要使Rt△ABC≌Rt△DBE,应补充的条件是∠A=∠D或__________或__________或__________.

第5题图 第6题图 第7题图

6.已知：如图，BE、CD为△ABC的高，且BE=CD，BE、CD交于点P，若BD=2，则CE=__________.

7.已知：如图，AB=CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=__________.

8.已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB⊥BE，DE⊥BE，垂足分别为B、E且AC=DF，连接AC、DF.求证：∠A=∠D.

9.已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE=BF.求证：AB∥CD.

知识点2 作直角三角形

10.已知一条斜边和一条直角边，求作直角三角形，作图的依据是__________.

11.已知Rt△ABC，∠ACB=90°，请利用直角三角形全等的判定HL，求作三角形Rt△DEF，使Rt△DEF≌Rt△ABC.

12.用三角尺可按下面方法画角平分线：如图，在已知∠AOB两边上分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.作图过程用到了△OPM≌△OPN，那么△OPM≌△OPN的依据是__________.

第12题图 第13题图 第14题图

13.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加一个条件__________.

14.如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E,则有( )

A.DE=DB B.DE=AE C.AE=BE D.AE=BD

15.如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2.

求证：△ADE≌△BEC.

16.如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，若有BF=AC，FD=CD，试探究BE与AC的位置关系.

17.用尺规作一个直角三角形，使其中一条边长为a，这条边所对的角为30°.

18.已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等,且OB＝OC.

(1)如图1,若点O在边BC上,求证：∠ABO＝∠ACO；

(2)如图2,若点O在△ABC的内部,求证：∠ABO=∠ACO.

参考答案

要点感知 一

预习练习 DCF HL

1.A 2.B 3.C 4.DCF 5.AB=DB AC=DE ∠ACB=∠DEB 6.2 7.30°

8.证明：∵BF=CE，

∴BF+FC=CE+FC.即BC=EF.

∵AB⊥BE，DE⊥BE，

∴∠B=∠E=90°.

在Rt△ABC与Rt△DEF中，∵AC=DF，BC=EF，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).

∴∠A=∠D.

9.证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠AFB＝∠CED＝90°.

在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,DE=BF，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).

∴∠ACD=∠CAB.

∴AB∥CD.

10.HL

11.作法：(1)作∠MFN=90°.

(2)在FM上截取FD，使FD=CA.

(3)以D为圆心，以AB为半径画弧，交FN于点E，连接DE.则△DEF为所求作的直角三角形.

12.HL 13.AB=AC 14.B

15.证明：∵∠1=∠2，∴DE=CE.

∵AD∥BC，∠A=90°，

∴∠B=90°.

∴△ADE和△EBC是直角三角形.

而AD=BE，DE=CE，

∴△ADE≌△BEC(HL).

16.BE与AC垂直.

理由：∵AD是△ABC的高，

∴∠BDF=∠ADC=90°.

∴在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF=AC，FD=CD.

∴Rt△BDF≌△Rt△ADC(HL).

∴∠DBF=∠DAC.

∵∠ADC=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°.

∴∠DBF+∠ACD=90°.

∴∠BEC=90°.

∴BE⊥AC.

17.已知：线段a，

求作：Rt△ABC，使BC=a，∠ACB=90°，∠A=30°.

作法：(1)作∠MCN=90°.

(2)在CN上截取CB，使CB=a.

(3)以B为圆心，以2a为半径画弧，交CM于点A，连接AB.

则△ABC为所求作的直角三角形.

18.证明：(1)过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,E、F分别是垂足，再利用“HL”证明Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠ABO=∠ACO.

(2)过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,E、F分别是垂足,再利用“HL”证明Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠ABO=∠ACO.