【329437】1.2 第1课时 勾股定理1

1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）

第1课时 勾股定理

一、选择题(本大题共8小题)

1. 如图，带阴影的矩形面积是（　　）平方厘米．

A．9 B．24 C．45 D．51

第1题图 第8题图

2. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　）

A．13 B．13或 C．13或15 D．15

3. 等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（　　）

A．13 B．8 C．25 D．64

4. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为n²﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（　　）

A．2n B．n+1 C．n²﹣1 D．n²+1

5. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）

A．4，5，6 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，3

6. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）

A．25 B．7 C．5和7 D．25或7

7. 直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其斜边上的高为（　　）

A．6cm B．8.5cm C． cm D． cm

8. 如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）

A．6cm² B．8cm² C．10cm² D．12cm²

二、填空题(本大题共6小题)

9. 在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB²+AC²+BC²=　 　．

10. 如图，正方形B的面积是　 ．

第10题图 第11题图

11. 如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是　 　．

12. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为　 cm．

13. 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD的面积　 　．

第13题图 第14题图

14. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等于　 　．

三、计算题(本大题共2小题)

15. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是多少？

16. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.

参考答案：

一、选择题(本大题共8小题)

1. C

分析：根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．

解：∵ =15厘米，

∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．故选C．

2.B

分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．

解：当12是斜边时，第三边是= ；

当12是直角边时，第三边是= 13．故选B．

3. B

分析：先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．

解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：6²+x²=10²，

解得：x=8．故选B．

4. D

分析：根据勾股定理直接解答即可．

解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是： == = n²+1．故选D．

5. B

分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．

解：A、∵4²+5²≠6²，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；

B、∵3²+4²=5²，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；

C、∵2²+3²≠4²，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；

D、∵1²+2²≠3²，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；故选B．

6. D

分析：分两种情况：①当3和4为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．

解：分两种情况：

①当3和4为直角边长时，

由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=3²+4²=25；

②4为斜边长时，

由勾股定理得：第三边长的平方=4²﹣3²=7；

综上所述：第三边长的平方是25或7；故选：D．

7. D

分析：先根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．

解：∵直角三角形的两条直角边分别为5cm，12cm，

∴斜边== 13cm，

设斜边上的高为h，则直角三角形的面积=× 5×12=× 13•h，

∴h=c m．故选D．

8. A

分析：首先根据翻折的性质得到ED=BE，再设出未知数，分别表示出线段AE，ED，BE的长度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了．

解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，

∴ED=BE，

设AE=xcm，则ED=BE=（9﹣x）cm，

在Rt△ABE中，

AB²+AE²=BE²，

∴3²+x²=（9﹣x）²，

解得：x=4，

∴△ABE的面积为：3×4×= 6（cm²）．故选：A．

二、填空题(本大题共6小题)

9.分析：由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB的长，可得出AB的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．

解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，

∴AC²+BC²=AB²，又AB=2，

∴AC²+BC²=AB²=4，

则AB²+BC²+CA²=AB²+（BC²+CA²）=4+4=8．

故答案为：8

10. 分析：根据正方形的面积公式求出AC、AD的长，根据勾股定理求出CD的长，根据正方形的面积公式计算即可．

解：由正方形的面积公式可知，

AC=13，AD=5，

由勾股定理得，DC== 12，

则CD²=144，

∴正方形B的面积是144，

故答案为：144．

11. 分析：在直角三角形ABE中，由AE与BE的长，利用勾股定理求出AB的长，由正方形面积减去直角三角形面积求出阴影部分面积即可．

解：∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，

在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，

根据勾股定理得：AB== 5，

则 S_阴影=S_正方形﹣S_△ABE=5²﹣ ×3×4=25﹣6=19，

故答案为：19．

12.分析：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．

解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：

（2n﹣2）²+（2n）²=（2n+2）²，

解得：n₁=4，n₂=0（不合题意舍去），

即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．

所以，其周长为6+8+10=24cm．

13. 分析：由图可得出四边形ABCD的面积=网格的总面积﹣四个角的四个直角三角形的面积，该网格是5×5类型的且边长都是1的小正方形，面积为5×5；四个角的四个直角三角形的直角边分别为：1、2；4、3；3、2；3、2；根据直角三角形的面积等于×两直角边的乘积，分别求出四个直角三角形的面积，进而求出四边形ABCD的面积．

解 ：由题意可得：

四边形ABCD的面积=5×5﹣ ×1×2﹣ ×4×3﹣ ×2×3﹣ ×2×3=12，

所以，四边形ABCD的面积为12．

故答案为12．

14. 分析：根据线段垂直平分线的性质可求得BD的长，从而求得CD的长，再根据勾股定理即可求得AC的长．

解：∵AB垂直平分线交BC于D，AD=5，

∴BD=AD=5，

∵BC=8，

∴CD=BC﹣BD=3，

∴AC== 4，

故答案是：4．

三、计算题(本大题共2小题)

15. 分析：根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．

解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，

故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm²．

故答案为：49cm²．

16. 解：.∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠CBD=30°.

∴AD=DB.

又∵Rt△CBD中，CD=5 cm，

∴BD=10 cm.

∴BC= = =5 (cm).

∴AB=2BC=10 cm.