【325468】陕西省2024八年级数学上册 第1章 勾股定理学情评估卷（新版）北师大版

第一章　学情评估卷

一、选择题(每小题3分，共24分)

1．下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是 　　(　　)

A.3，5，7 B.5，7，9 C.3，5，4 D.2，2，3

2．在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB²＋AC²＋BC²的值为 　　(　　)

A.15 B.25 C.50 D.无法计算

3．如图，阴影长方形的面积是 　　(　　)

(第3题)

A.9cm² B.24cm² C.45cm² D.51cm²

4．[新考法分类讨论法]已知直角三角形的两条边长分别为3和5，那么这个三角形的第三条边长的平方为 　　(　　)

A.16 B.256 C.34 D.16或34

5．[新考向数学文化]《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为 　　(　　)

A. x²－6＝(10－x)² B. x²－6²＝(10－x)²

C. x²＋6＝(10－x)² D. x²＋6²＝(10－x)²

6．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距(　　)

(第6题)

A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里

7．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－5)²＋(b－12)²＋｜c－13｜＝0，则△ABC的面积是 　　(　　)

A.65 B.60 C.30 D.26

8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形.若S₁＋S₄＝100，S₃＝36，则S₂＝(　　)

(第8题)

A.136 B.64 C.50 D.81

二、填空题(每小题3分，共15分)

9．[2024·太原阶段练习新视角·结论开放]请你写两个数，使得它们与8可以组成一组勾股数：　　　　.

10．三角形三条边长分别为8，15，17，那么最短边上的高是　　　　.

11．[新考法折叠法]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为　　　　.

(第11题)

12．一个透明的圆柱形玻璃杯，测得其底面半径为3cm，高为8cm，今有一根长度为12cm的细吸管斜放在杯子中，则吸管露出杯口外的长度最少为　　　　.(玻璃杯厚度不计)

13．[2024·雅安期末新视角·新定义题]对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AB＝5，CD＝4，则AD²＋BC²＝　　　　.

(第13题)

三、解答题(共61分)

14．(6分)[2024盐城亭湖区月考]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，边BC上的中线AD长为13，求边BC的长.

15．(6分)[2024西安铁一中期末]如图，直线l为一条公路，A，D处有两个村庄，AB⊥l于点B，DC⊥l于点C，AB＝8千米，BC＝16千米，CD＝12千米.现需要在BC上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出此时E到B的距离.

16．(8分)[2024泉州安溪期末]如图，在△ABC中，D是BC上一点，且AB＝10，AD＝8，BD＝6，AC＝17.

(1)求∠ADB的度数；

(2)求△ABC的面积.

17．(10分)[情景题生活应用]如图，A，B，C，D，E是某地区五个县(市)，实线是原来连接五个县(市)的普通公路.为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接A，C，E三县(市)的高速公路(虚线)，已知∠B＝∠D＝90°，AB＝30km，BC＝40km，CD＝50km，DE＝120km.

(1)若修建高速公路的建设成本为5000万元/km，则该高速公路的造价预计多少万元(用科学记数法表示)？

(2)在高速公路奠基仪式上，发言人说“高速公路修成后，开车从A地到E地可以节约2h”.若汽车走普通公路的平均速度为60km/h，走高速公路的平均速度为90km/h，请你通过计算判断发言人的说法是否正确.

18．(10分)勾股定理神秘而美妙，探索方法多样、巧妙，各有不同，其中的面积法给了小聪灵感，他惊喜地发现，当两个完全一样的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用面积法来说明勾股定理.下面是小聪利用图①说明勾股定理的过程：

如图①，其中∠DAB＝90°，试说明a²＋b²＝c².

解：如图①，连接CD，DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a.

因为S_{四边形ADCB}＝S_△ACD＋S_△ABC＝ b²＋ ab，

S_{四边形ADCB}＝S_△ADB＋S_△DCB＝ c²＋ a(b－a)，

所以 b²＋ ab＝ c²＋ a(b－a).

所以a²＋b²＝c².

请参照上述方法，利用图②(∠DAB＝90°)说明勾股定理.

19．(10分)(1)如图①，圆柱的高为12cm，底面圆的周长为18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

(2)如图②，是一个无盖的圆柱形罐头盒，盒高6cm，盒底周长为18cm，盒外一只蚂蚁在底部A处，想吃到盒内与A相对的点B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程.

20．(11分)阅读理解：课堂上学习了勾股定理后，知道了“勾三、股四、弦五”.王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决.

(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，　　　　，　　　　；

(2)若第一个数用字母a(a为奇数，且a≥3)表示，则后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：4＝ ，12＝ ，24＝ ，…，于是他很快表示出了第二个数为 ，则用含a的代数式表示第三个数为　　　　；

(3)用所学知识说明(2)中用a表示的三个数是勾股数.

参考答案

一、1．C　2．C　3．B　4．D　5．D　6．D　7．C　8．B

二、9．6和10(答案不唯一)　10．15

11． 　12．2cm　13．41

三、14．解：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，边BC上的中线AD长为13，

所以BD＝CD，CD＝ ＝5.

所以BC＝2CD＝10.

15．解：设BE＝x千米，则CE＝(16－x)千米.

因为AB⊥l，DC⊥l，

所以EA²＝AB²＋BE²，ED²＝CD²＋CE².

因为E到A，D两个村庄距离相等，

所以EA＝ED，

所以EA²＝ED²，

所以AB²＋BE²＝CD²＋CE²，

即8²＋x²＝12²＋(16－x)²，

解得x＝10.5，则此时E到B的距离为10.5千米.

16．解：(1)因为BD²＋AD²＝6²＋8²＝10²＝AB²，

所以△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.

(2)在Rt△ACD中，CD＝ ＝15，

所以BC＝BD＋CD＝21.

所以S_△ABC＝ BC·AD＝84.

17．解：(1)由勾股定理，得AC＝ ＝50km，CE＝ ＝130km，

所以该高速公路的造价预计(50＋130)×5000＝9×10⁵(万元).

(2)因为AB＋BC＋CD＋DE＝30＋40＋50＋120＝240(km)，AC＋CE＝50＋130＝180(km)，

所以汽车走普通公路从A地到E地需 ＝4(h)，走高速公路需 ＝2(h).因为4－2＝2(h)，

所以发言人的说法正确.

18．解：连接BD，BE，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a.因为S_{五边形ACBED}＝S_△ACB＋S_△ABE＋S_△ADE＝ ab＋ b²＋ ab，S_{五边形ACBED}＝S_△ACB＋S_△ABD＋S_△BDE＝ ab＋ c²＋ a(b－a)，

所以 ab＋ b²＋ ab＝ ab＋ c²＋ a(b－a).

所以a²＋b²＝c².

19．解：(1)如图①，圆柱的侧面展开图为长方形ACDE，连接AB，

所以∠AEB＝90°.由题意可知，BE＝ DE＝9cm，AE＝12cm，

所以在Rt△ABE中，AB²＝AE²＋BE²＝225＝15²，

所以AB＝15cm.

即蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm.

(2)其侧面展开图的一半如图②.因为盒高6cm，盒底周长为18cm，

所以AB＝9cm.

易得蚂蚁爬行的路程是AC＋BC，且当C为ED的中点时AC＋BC最小，

所以AC＝BC＝ ＝ (cm).

所以蚂蚁爬行的最短路程是 ×2＝15(cm).

20．解：(1)60；61　(2)

(3)因为a²＋ ＝ ，

＝ ，

所以a²＋ ＝ .

又因为a为奇数，且a≥3，

所以a， ， 是勾股数.