【325111】福建省2024八年级数学下册 第十七章 勾股定理学情评估（新版）新人教版

第十七章学情评估

一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．下列四组线段中，能构成直角三角形的是(　　)

A．3，4，5 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6

2．如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，若AB＝2.5 m，AC＝2 m，则BC的长为(　　)

A．1.5 m B．2 m C．2.5 m D．3 m

INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-4.tif" * MERGEFORMATINET (第2题)　　 INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-6.tif" * MERGEFORMATINET (第6题)

3．在平面直角坐标系中，点P(，)到原点的距离是(　　)

A. B. C. D.

4．把命题“如果x＝y，那么＝”作为原命题，则下列结论正确的是(　　)

A．原命题和逆命题都是真命题

B．原命题和逆命题都是假命题

C．原命题是真命题，逆命题是假命题

D．原命题是假命题，逆命题是真命题

5．若直角三角形的两边长a，b满足(a－4)²＋＝0，则第三边的长是(　　)

A．5 B. C．5或7 D．5或

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，则CD的长是(　　)

A．5 B. C. D.

7．如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C分别在格点上，则∠ABC的度数为(　　)

A．30° B．45° C．50° D．60°

INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-7.tif" * MERGEFORMATINET (第7题)　　　 INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\TP115.tif" * MERGEFORMATINET (第8题)

8．如图，福州某小巷左右两侧都是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左端墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为(　　)

A．0.7 m B．1.5 m C．2.2 m D．2.4 m

9．如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个正方形的面积和为(　　)

A．11 B．15 C．10 D．22

INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-8.tif" * MERGEFORMATINET (第9题)　 INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\A35.tif" * MERGEFORMATINET (第10题)

10．如图是一个长、宽、高分别是6 cm、4 cm、3 cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的顶点A处沿着长方体的表面到顶点B处吃食物，那么它需爬行的最短路程是(　　)

A．(3＋2 ) cm B. cm

C. cm D. cm

二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)

11．等腰三角形腰长10 cm，底长16 cm，则底边上的高是____________．

12．如图，在Rt△OBC中，OC＝1，OB＝2，∠BOC＝90°，以B为圆心，BC长为半径作弧，交BO于A，若点A在数轴上所表示的数为a，则a的值是__________．

INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-9.tif" * MERGEFORMATINET (第12题) INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\03.tif" * MERGEFORMATINET (第13题)

13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4 ，CD＝8，则∠ADC＝________度．

14．我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图(如图)，可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a＋b)²的值是____________．

INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-10.tif" * MERGEFORMATINET (第14题)　 INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\OO12.tif" * MERGEFORMATINET (第15题)

15．把两个同样大小的含45°角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的一个锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝________．

16．如图，Rt△OA₀A₁在平面直角坐标系内，∠OA₀A₁＝90°，∠A₀OA₁＝30°，以OA₁为直角边向外作Rt△OA₁A₂，使∠OA₁A₂＝90°，∠A₁OA₂＝30°，以OA₂为直角边向外作Rt△OA₂A₃，使∠OA₂A₃＝90°，∠A₂OA₃＝30°，按此方法进行下去，得到Rt△OA₃A₄，Rt△OA₄A₅，…，Rt△OA_{2 024}A_{2 025}，若点A₀(－1，0)，则点A_{2 025}的纵坐标为________．

INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\新加+4.tif" * MERGEFORMATINET

三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(8分)如图，马路一边有一根5.4 m长的电线杆(AC)被一辆货车从离地面1.5 m处(点B处)撞断裂，倒下的电线杆顶部C₁是否会落在离它底部3.8 m远的快车道上？说明理由．

INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-11.tif" * MERGEFORMATINET

18．(8分)如图，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2 .

(1)求证：△ACD是直角三角形；

(2)求四边形ABCD的面积．

INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\05.tif" * MERGEFORMATINET

19．(8分)在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水，在河边新建了一个取水点H(A，H，B在一条直线上)，并新修了一条路CH，测得CB＝3 km，CH＝2.4 km，HB＝1.8 km.

(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？(即问：CH与AB是否垂直？)请通过计算说明理由；

(2)求原来的路线AC的长．

INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-12.tif" * MERGEFORMATINET

20．(8分)如图，一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间(∠ACB＝90°)，已知AB＝20 cm，AD为三块砖的厚度，BE为两块砖的厚度，求砌墙所用的砖每块的厚度(每块砖的厚度均相同)．

INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\S+15.tif" * MERGEFORMATINET

21．(10分)我们已经知道了一些特殊的勾股数，如三个连续整数中的勾股数：3，4，5；三个连续偶数中的勾股数6，8，10，由此发现勾股数的正整数倍仍然是勾股数．

(1)如果a，b，c是一组勾股数，即满足a²＋b²＝c²，求证：ka，kb，kc(k为正整数)也是一组勾股数．

(2)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式a＝2n＋1，b＝2n²＋2n，c＝2n²＋2n＋1(n为正整数)是一组勾股数，证明满足以上公式的a，b，c是一组勾股数．

(3)值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当a＝(m²－n²)，b＝mn，c＝(m²＋n²)(m，n为正整数，m>n)时，a，b，c构成一组勾股数．请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数．

22．(10分)综合与实践：构图法求三角形的面积

答案

一、1.A　 2.A　3.C　4.D　5.D　6.B　 7.B　8.C

9．B　10.C

二、11.6 cm　12.－＋2　13.150　14.24　15.－1

16．－　点拨：∵∠OA₀A₁＝90°，∠A₀OA₁＝30°，∴A₀A₁＝OA₁，设OA₁＝x，则A₀A₁＝x，

由题意得OA₀＝1，∴x²＝＋1²，解得x＝.∴OA₁＝.

同理可得OA₂＝，…，OA_n＝.

∴OA_{2 025}＝.

∵2 025÷(360÷30)＝168……9，

∴OA_{2 025}所在直线与OA₉所在直线重合，即点A_{2 025}在y轴负半轴上，

∴A_{2 025}的纵坐标为－＝－.

三、17.解：不会落在离它底部3.8 m远的快车道上，理由如下：

∵AB＝1.5 m，AC＝5.4 m，

∴BC＝BC₁＝AC－AB＝3.9 m，

在Rt△ABC₁中，AC₁＝＝＝3.6 (m)，

∵3.6＜3.8，

∴倒下的电线杆顶部不会落在离它底部3.8 m远的快车道上．

18．(1)证明：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝，

∴AC＝＝＝2，

∵CD＝2，AD＝2 ，

∴AC²＋CD²＝2²＋2²＝8，AD²＝(2 )²＝8，

∴AC²＋CD²＝AD²，

∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.

(2)解：S_{四边形ABCD}＝S_△ABC＋S_△ACD＝×1×＋×2×2＝＋2.

19．解：(1)是．理由：在△CHB中，

∵CH²＋BH²＝2.4²＋1.8²＝9，BC²＝9，

∴CH²＋BH²＝BC²，

∴△CHB是直角三角形，∠CHB＝90°，

∴CH是从村庄C到河边的最近路．

(2)设AC＝x km，∵AB＝AC，∴AB＝x km.

在Rt△ACH中，AH＝(x－1.8)km，CH＝2.4 km，

∴x²＝(x－1.8)²＋2.4²，

解得x＝2.5.

答：原来的路线AC的长是2.5 km.

20．解：设砌墙所用的砖每块的厚度为x cm，则BE＝2x cm，AD＝3x cm，过点B作BF⊥AD于点F，易得AF＝x cm.

∵∠ACB＝90°，∠BEC＝90°，

∴∠ACD＋∠ECB＝90°，∠ECB＋∠CBE＝90°，

∴∠ACD＝∠CBE.

由题意易得AC＝BC.

在△ACD和△CBE中，

∴△ACD≌△CBE.

∴AD＝CE，CD＝BE，

∴BF＝DE＝5x cm.

在Rt△AFB中，AF²＋BF²＝AB²，

∴x²＋25x²＝400，解得x＝(负值已舍去)．

∴砌墙所用的砖每块的厚度为 cm.

21．(1)证明：∵(ka)²＋(kb)²＝k²(a²＋b²)＝k²c²＝(kc)²，

∴ka，kb，kc(k为正整数)也是一组勾股数．

(2)证明：∵(2n＋1)²＋(2n²＋2n)²＝4n²＋4n＋1＋4n⁴＋8n³＋4n²＝4n⁴＋8n³＋8n²＋4n＋1，

(2n²＋2n＋1)²＝4n⁴＋8n³＋8n²＋4n＋1，

∴(2n＋1)²＋(2n²＋2n)²＝(2n²＋2n＋1)²，

∴满足以上公式的a，b，c是一组勾股数．

(3)解：5，12，13构成一组勾股数．(答案不唯一)

22．解：(1)

(2)如图①所示．

S_△KMN＝2×4－×2×1－×2×2－×1×4＝8－1－2－2＝3.

(3)如图②所示．

改造后的六边形花圃QRDEFG的面积为7×4－×2×2－×1×4－1－×2×1－×2×1－×2×2＝19.