【324289】2024八年级数学下册 专题22 反比例函数的综合问题（含解析）（新版）浙教版

专题22 反比例函数的综合问题

一．选择题（共9小题，满分18分，每小题2分）

1．（2分）（武进区模拟）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（　　）

A．（ ，0） B．（2，0） C．（ ，0） D．（3，0）

【思路点拨】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．

【规范解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，如图，

∵∠ACO+∠BCD＝90°，

∠OAC+∠ACO＝90°，

∴∠OAC＝∠BCD．

在△ACO与△BCD中，

．

∴△ACO≌△BCD（AAS）．

∴OC＝BD，OA＝CD，

∵A（0，2），C（1，0）

∴OD＝3，BD＝1，

∴B（3，1），

∴设反比例函数的解析式为y＝ ，

将B（3，1）代入y＝ ，

∴k＝3．

∴y＝ ．

∴把y＝2代入y＝ ，

∴x＝ ．

当顶点A恰好落在该双曲线上时，

此时点A移动了 个单位长度，

∴C也移动了 个单位长度．

此时点C的对应点C′的坐标为（ ，0）．

故选：A．

【考点评析】本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．

2．（2分）（罗湖区校级模拟）如图，已知点A是一次函数y＝2x的图象与反比例函数y＝﹣ 的图象在第一象限内的交点，AB⊥x轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且∠ACB＝∠OAB，△AOB的面积为4，则点C的坐标为（　　）

A．（﹣5，0） B．（﹣6，0） C．（﹣5.5，0） D．（﹣4，0）

【思路点拨】利用△AOB的面积为4即可求得k＝﹣8，然后解方程组 得到A点坐标，即OB，AB的长，再由∠ACB＝∠OAB得到Rt△BAO∽Rt△BCA，利用三角形相似的性质得OB：BA＝BA：BC，即2：4＝4：BC，求出BC，得到OC，从而确定C点坐标．

【规范解答】解：设A点坐标为（a，b），

∵△AOB的面积为4，

∴ ab＝4，即ab＝8，

而点A在反比例函数y＝﹣ 的图象上，

∴k＝﹣ab＝﹣8，即y＝ ，

解方程组 ，

解得 ， ，

∴A点坐标为（2，4）；

又∵∠ACB＝∠OAB，

∴Rt△BAO∽Rt△BCA，

∴OB：BA＝BA：BC，即2：4＝4：BC，

∴BC＝8，

∴OC＝6，

∴C点坐标为（﹣6，0）．

故选：B．

【考点评析】本题考查了有关反比例函数的综合题：利用几何性质得到反比例函数的解析式，再建立两函数的解析式得到它们函数图象的交点坐标，从而得到有关线段的长，然后利用三角形相似的性质求其他相关线段的长．

3．（2分）（聊城模拟）函数y＝ 和y＝ 在第一象限内的图象如图所示，点P是y＝ 的图象上一动点，作PC⊥x轴于点C，交y＝ 的图象于点A，作PD⊥y轴于点D，交y＝ 的图象于点B，给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④PA＝3AC，其中正确的结论序号是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

【思路点拨】设点P的坐标为（m， ）（m＞0），则A（m， ），C（m，0），B（ ， ），D（0， ）．①根据反比例函数系数k的几何意义即可得出S_△ODB＝S_△OCA，该结论正确；②由点的坐标可找出PA＝ ，PB＝ ，由此可得出只有m＝2是PA＝PB，该结论不成；③利用分割图形法求图形面积结合反比例系数k的几何意义即可得知该结论成立；④结合点的坐标即可找出PA＝ ，AC＝ ，由此可得出该结论成立．综上即可得出正确的结论为①③④．

【规范解答】解：设点P的坐标为（m， ）（m＞0），则A（m， ），C（m，0），B（ ， ），D（0， ）．

①S_△ODB＝ ×1＝ ，S_△OCA＝ ×1＝ ，

∴△ODB与△OCA的面积相等，①成立；

②PA＝ ﹣ ＝ ，PB＝m﹣ ＝ ，

令PA＝PB，即 ＝ ，

解得：m＝2．

∴当m＝2时，PA＝PB，②不正确；

③S_{四边形PAOB}＝S_矩形OCPD﹣S_△ODB﹣S_△OCA＝4﹣ ﹣ ＝3．

∴四边形PAOB的面积大小不会发生变化，③正确；

④∵PA＝ ﹣ ＝ ，AC＝ ﹣0＝ ，

∵ ＝3× ，

∴PA＝3AC，④正确．

综上可知：正确的结论有①③④．

故选：C．

【考点评析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及利用分割图形法求图形面积，解题的关键是找出各点坐标再结合反比例函数系数k的几何意义逐项分析各结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出各点的坐标是关键．

4．（2分）（滨州模拟）如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线y＝ 的图象经过点A，若△BEC的面积为6，则k等于（　　）

A．3 B．6 C．12 D．24

【思路点拨】先根据题意证明△BOE∽△CBA，根据相似比及面积公式得出BO•AB的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值．

【规范解答】解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，

∴BD＝DC＝ AC，

∴∠DBC＝∠ACB，

又∵∠DBC＝∠EBO，

∴∠EBO＝∠ACB，

又∵∠BOE＝∠CBA＝90°，

∴△BOE∽△CBA，

∴BO：BC＝OE：AB，

即BC•OE＝BO•AB．

又∵S_△BEC＝6，

∴ BC•EO＝6，

即BC•OE＝12，

∵|k|＝BO•AB＝BC•OE＝12．

又∵反比例函数图象在第一象限，k＞0．

∴k＝12．

故选：C．

【考点评析】此题主要考查了反比例函数y＝ 中k的几何意义、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．

5．（2分）（惠城区一模）如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝ 和y＝ 的一支上，分别过点A，C作x轴的垂线垂足分别为M和N，则有以下的结论：①ON＝OM；②△OMA≌△ONC；③阴影部分面积是 （k₁+k₂）；④四边形OABC是菱形，则图中曲线关于y轴对称，其中正确的结论是（　　）

A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①④

【思路点拨】先判断出CE＝ON，AD＝OM，再判断出CE＝AD，即可判断出①正确；由于四边形OABC是平行四边形，所以OA不一定等于OC，即可得出②错误；先求出三角形COM的面积，再求出三角形AOM的面积求和即可判断出③错误，根据菱形的性质判断出OB⊥AC，OB与AC互相平分即可得出④正确．

【规范解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于D，过点C作CE⊥y轴E，

∵AM⊥x轴，CM⊥x轴，OB⊥MN，

∴∠AMO＝∠DOM＝∠ADO＝∠CNO＝∠EON＝∠CEO＝90°，

∴四边形ONCE和四边形OMAD是矩形，

∴ON＝CE，OM＝AD，

∵OB是▱OABC的对角线，

∴△BOC≌△OBA，

∴S_△BOC＝S_△OBA，

∵S_△BOC＝ OB×CE，S_△BOA＝ OB×AD，

∴CE＝AD，

∴ON＝OM，故①正确；

在Rt△CON和Rt△AOM中，ON＝OM，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴OA与OC不一定相等，

∴△CON与△AOM不一定全等，故②错误；

∵第二象限的点C在双曲线y＝ 上，

∴S_△CON＝ |k₂|＝﹣ k₂，

∵第一象限的点A在双曲线y＝ 上，

S_△AOM＝ |k₁|＝ k₁，

∴S_阴影＝S_△CON+S_△AOM＝﹣ k₂+ k₁＝ （k₁﹣k₂），

故③错误；

∵四边形OABC是菱形，

∴AC⊥OB，AC与OB互相平分，

∴点A和点C的纵坐标相等，点A与点C的横坐标互为相反数，

∴点A与点C关于y轴对称，

∴k₂＝﹣k₁，即：四边形是菱形，则图中曲线关于y轴对称，故④正确，

∴正确的有①④，

故选：D．

【考点评析】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，判断出CE＝AD是解本题的关键．

6．（2分）（无棣县一模）如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线y＝ 过点F，交AB于点E，连接EF．若 ，S_△BEF＝4，则k的值为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．16

【思路点拨】由于 ，可以设F（m，n）则OA＝3m，BF＝2m，由于S_△BEF＝4，则BE＝ ，然后即可求出E（3m，n﹣ ），依据mn＝3m（n﹣ ）可求mn＝6，即求出k的值．

【规范解答】解：如图，过F作FC⊥OA于C，

∵ ，

∴OA＝3OC，BF＝2OC

∴若设F（m，n）

则OA＝3m，BF＝2m

∵S_△BEF＝4

∴BE＝

则E（3m，n﹣ ）

∵E在双曲线y＝ 上

∴mn＝3m（n﹣ ）

∴mn＝6

即k＝6．

故选：A．

【考点评析】此题主要考查了反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出E点坐标是解题关键．

7．（2分）（渠县校级期末）两个反比例函数 和 在第一象限内的图象如图所示，点P在 的图象上，PC⊥x轴于点C，交 的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交 的图象于点B，当点P在 的图象上运动时，以下结论：

①△ODB与△OCA的面积相等；

②四边形PAOB的面积不会发生变化；

③PA与PB始终相等；

④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．

其中一定正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④

【思路点拨】本题考查的是反比例函数中k的几何意义，无论如何变化，只要知道过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是个恒等值即易解题．

【规范解答】解：由反比例函数系数k的几何意义判断各结论：

①△ODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为 ；

②四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；

③PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA＝PB；

④连接OP，点A是PC的中点，

则△OAP和△OAC的面积相等，

∵△ODP的面积＝△OCP的面积＝ ，△ODB与△OCA的面积相等，

∴△OBP与△OAP的面积相等，

∴△OBD和△OBP面积相等，

∴点B一定是PD的中点．

故一定正确的是①②④．

故选：C．

【考点评析】本题考查了反比例函数y＝ （k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

8．（2分）（宣州区校级自主招生）如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y＝ 的图象在第一象限的分支交AB于点P，交BC于点E，直线PE交y轴于点D，交x轴于点F，连接AC．则下列结论：

①S_{四边形ACFP}＝k；

②四边形ADEC为平行四边形；

③若 ＝ ，则 ＝ ；

④若S_△CEF＝1，S_△PBE＝4，则k＝6．

其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①② C．②④ D．①③

【思路点拨】设点B的坐标为（b，a），得到A（0，a），C（b，0），进而求出P（ ，a），E（b， ），再求出直线PE的解析式为y＝﹣ x+ +a，进而求出F（ +b，0），进而判断出四边形ACFP是平行四边形，再用平行四边形的面积公式判断出①正确，由四边形ACFP是平行四边形，判断出AC∥DF，进而判断出②正确；由 ＝ ，判断出ab＝4k，再求出点D坐标，即可判断出③错误；先由S_△CEF＝1，判断出 ＝2，再由S_△PBE＝4，得出 （b﹣ ）•（a﹣ ）＝4，计算之后，判断出④正确，即可得出结论．

【规范解答】解：设点B的坐标为（b，a），

∵四边形ABCD为矩形，

∴A（0，a），C（b，0），

∵点P，E在反比例函数图形上，

∴P（ ，a），E（b， ），

∴直线PE的解析式为y＝﹣ x+ +a，

令y＝0，则﹣ x+ +a＝0，

∴x＝ +b，

∴F（ +b，0），

∴CF＝ +b﹣b＝ ，

∵P（ ，a），

∴AP＝ ，

∴AP＝CF，

∵四边形OABC是矩形，

∴OA∥BC，AB∥OC，

∴四边形ACFP是平行四边形，

∴S_{四边形ACFP}＝CF•OA＝ •a＝k，故①正确；

∵四边形ACFP是平行四边形，

∴AC∥DF，

∵OA∥∥BC，

∴四边形ADEC是平行四边形，故②正确；

∵ ＝ ，

∴ ＝ ，

∵B（b，a），

∴AB＝b，

∵P（ ，a），

∴AP＝ ，

∴ ＝ ，

∴ab＝4k，

∵直线PE的解析式为y＝﹣ x+ +a，

∴D（0， +a），

∵A（0，a），

∴AD＝ +a﹣a＝ ，

∴ ＝ ＝ ＝ ，故③错误；

∵S_△CEF＝1，

∴ × × ＝1，

∴ ＝2，

∵S_△PBE＝4，

∴ （b﹣ ）•（a﹣ ）＝4，

∴ab﹣k﹣k+ ＝8，

∴ k²﹣2k﹣6＝0，

∴k＝﹣2（舍）或k＝6，故④正确，

∴正确的有①②④，

故选：A．

【考点评析】此题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，三角形平行四边形的面积公式，平行四边形的判定和性质，待定系数法，判断出四边形APFC是平行四边形是解本题的关键．

9．（2分）（乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴， ＝ ．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝ 的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为 时，k的值是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．7

【思路点拨】设OA＝3a，则OB＝4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是y＝x，OA的中垂线的解析式是x＝ ，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为 ，即CD²＝ ，据此即可列方程求得a²的值，则k即可求解．

【规范解答】解：设OA＝3a，则OB＝4a，

∴A（3a，0），B（0，4a）．

设直线AB的解析式是y＝kx+b，

则根据题意得： ，

解得： ，

则直线AB的解析式是y＝﹣ x+4a，

直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y＝x．

根据题意得： ，

解得：

则D的坐标是（ ， ），

OA的中垂线的解析式是x＝ ，则C的坐标是（ ， ），

将C点坐标代入反比例函数y＝ ，

则k＝ ．

设OA的垂直平分线交x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，如图，

则OF＝CF＝ ，OE＝DE＝ a，

∵∠DOA＝45°，

∴△COF和△DOE为等腰直角三角形，

∴OC＝ OF＝ a，OD＝ OE＝ a，

∴CD＝OD﹣OC＝（ ）＝ （ ﹣ ）＝ a．

∵以CD为边的正方形的面积为 ，

∴ ＝ ，

则a²＝ ，

∴k＝ × ＝7．

故选：D．

【考点评析】本题考查了待定系数法求函数解析式，正确求得C和D的坐标是解决本题的关键．

二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

10．（2分）（舟山期末）如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线 （k＞0）经过A，E两点，若平行四边形AOBC的面积为24，则k＝　8　．

【思路点拨】设出点A的横坐标为x，根据点A在双曲线 （k＞0）上，表示出点A的纵坐标，从而表示出点A的坐标，再根据点B在x轴上设出点B的坐标为（a，0），然后过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，如图，根据平行四边形的性质对角线互相平分得到点E为AB的中点，又EF∥AD，得到EF为△ABD的中位线，可得EF为AD的一半，而AD为A的纵坐标，可得出EF的长，由OB﹣OD可得BD的长，根据F为BD的中点，得到FB的长，由OB﹣FB可得出OF的长，由E在第一象限，由EF和OF的长表示出E的坐标，代入反比例解析式中，得到a＝3x，再由BO与AD的积为平行四边形的面积，表示出平行四边形的面积，根据平行四边形AOBC的面积为24，列出等式，将a＝3x代入可得出k的值．

【规范解答】解：设A（x， ），B（a，0），过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，如图，

由平行四边形的性质可知AE＝EB，

∴EF为△ABD的中位线，

由三角形的中位线定理得：EF＝ AD＝ ，DF＝ （a﹣x），OF＝ ，

∴E（ ， ），

∵E在双曲线上，

∴ • ＝k，

∴a＝3x，

∵平行四边形的面积是24，

∴a• ＝3x• ＝3k＝24，

解得：k＝8．

故答案为：8

【考点评析】此题考查了反比例函数的应用，涉及的知识有：平行线的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行四边形及三角形的面积公式，以及点坐标与线段的关系，是一道综合性较强的题，本题的突破点是作出如图的辅助线，建立点坐标与线段长度的联系．

11．（2分）（大安市期末）两个反比例函数 和 在第一象限内的图象如图所示，点P在 的图象上，PC⊥x轴于点C，交 的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交 的图象于点B，当点P在 的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是　①②④　．

【思路点拨】设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），而A、B两点都在 的图象上，故有x₁y₁＝x₂y₂＝1，而S_△ODB＝ ×BD×OD＝ x₂y₂＝ ，S_△OCA＝ ×OC×AC＝ x₁y₁＝ ，故①正确；

由A、B两点坐标可知P（x₁，y₂），P点在 的图象上，故S_矩形OCPD＝OC×PD＝x₁y₂＝k，根据S_{四边形PAOB}＝S_矩形OCPD﹣S_△ODB﹣S_△OCA，计算结果，故②正确；

由已知得x₁y₂＝k，即x₁• ＝k，即x₁＝kx₂，由A、B、P三点坐标可知PA＝y₂﹣y₁＝ ﹣ ＝ ，PB＝x₁﹣x₂，＝（k﹣1）x₂，故③错误；

当点A是PC的中点时，y₂＝2y₁，代入x₁y₂＝k中，得2x₁y₁＝k，故k＝2，代入x₁＝kx₂中，得x₁＝2x₂，可知④正确．

【规范解答】解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁y₁＝x₂y₂＝1，

∵S_△ODB＝ ×BD×OD＝ x₂y₂＝ ，S_△OCA＝ ×OC×AC＝ x₁y₁＝ ，故①正确；

（2）由已知，得P（x₁，y₂），

∵P点在 的图象上，

∴S_矩形OCPD＝OC×PD＝x₁y₂＝k，

∴S_{四边形PAOB}＝S_矩形OCPD﹣S_△ODB﹣S_△OCA＝k﹣ ﹣ ＝k﹣1，故②正确；

（3）由已知得x₁y₂＝k，即x₁• ＝k，

∴x₁＝kx₂，

根据题意，得PA＝y₂﹣y₁＝ ﹣ ＝ ，PB＝x₁﹣x₂，＝（k﹣1）x₂，故③错误；

（4）当点A是PC的中点时，y₂＝2y₁，

代入x₁y₂＝k中，得2x₁y₁＝k，

∴k＝2，

代入x₁＝kx₂中，得x₁＝2x₂，故④正确．

故本题答案为：①②④．

【考点评析】本题考查了反比例函数性质的综合运用，涉及点的坐标转化，相等长度的表示方法，三角形、四边形面积的计算，充分运用双曲线上点的横坐标与纵坐标的积等于反比例系数k．

12．（2分）（镇海区校级自主招生）如图，△OAP、△ABQ均是等腰直角三角形，点P、Q在函数y＝ （x＞0）的图象上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为　（1+ ，0）　．

【思路点拨】若△OAP是等腰直角三角形，那么∠POA＝45°，即直线OP：y＝x，联立双曲线解析式可求得P（2，2），即A（2，0），然后结合直线OP的斜率求得直线AQ的解析式，联立反比例函数解析式即可得到点Q点坐标，由于B、Q的横坐标相同，即可得解．

【规范解答】解：∵△OAP是等腰直角三角形，

∴直线OP：y＝x，联立y＝ （x＞0）可得P（2，2），

∴A（2，0），

由于直线OP∥AQ，可设直线AQ：y＝x+h，则有：

2+h＝0，h＝﹣2；

∴直线AQ：y＝x﹣2；

联立y＝ （x＞0）可得Q（1+ ， ﹣1），即B（1+ ，0）．

故答案为：（1+ ，0）．

【考点评析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及函数图象交点坐标的求法，难度适中．

13．（2分）（深圳校级二模）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝3AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，则k的值等于　﹣24　．

【思路点拨】设点C坐标为（a， ），根据AC与BD的中点坐标相同，可得出点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式可得出k关于a的表达式，再由BC＝3AB＝3 ，可求出a的值，继而得出k的值．

【规范解答】解：设点C坐标为（a， ），（a＜0），点D的坐标为（x，y）．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AC与BD的中点坐标相同，

∴（a﹣1， +0）＝（x+0，y+2），

则x＝a﹣1，y＝ ，

代入y＝ ，可得：k＝2a﹣2a² ①；

在Rt△AOB中，AB＝ ＝ ，

∴BC＝3AB＝3 ，

故BC²＝（0﹣a）²+（ ﹣2）²＝（3 ）²，

整理得：a⁴+k²﹣4ka＝41a²，

将①k＝2a﹣2a²，代入后化简可得：a²＝9，

∵a＜0，

∴a＝﹣3，

∴k＝﹣6﹣18＝﹣24．

故答案为：﹣24．

方法二：

因为ABCD是平行四边形，所以点C、D是点A、B分别向左平移a，向上平移b得到的．

故设点C坐标是（﹣a，2+b），点D坐标是（﹣1﹣a，b），（a＞0，b＞0）

根据k的几何意义，|﹣a|×|2+b|＝|﹣1﹣a|×|b|，

整理得2a+ab＝b+ab，

解得b＝2a．

过点D作x轴垂线，交x轴于H点，在直角三角形ADH中，

由已知易得AD＝3 ，AH＝a，DH＝b＝2a．

AD²＝AH²+DH²，即45＝a²+4a²，

得a＝3．

所以D坐标是（﹣4，6）

所以|k|＝24，由函数图象在第二象限，

所以k＝﹣24．

【考点评析】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了平行四边形的性质、中点的坐标及解方程的知识，解答本题有两个点需要注意：①设出点C坐标，表示出点D坐标，代入反比例函数解析式；②根据BC＝3AB＝3 ，得出方程，难度较大，注意仔细运算．

14．（2分）（锦州模拟）如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2，G为矩形对角线的交点，经过点G的双曲线 与BC相交于点M，则CM：MB＝　1：3　．

【思路点拨】由于G为矩形对角线的交点，那么G是OB的中点，而OA＝4，OC＝2，由此可以确定D的坐标，然后可以求出函数的解析式，又双曲线 与BC相交于点M，所以M的纵坐标是2，代入解析式即可求出横坐标，也就求出CM的长度，这样就可以解决题目的问题．

【规范解答】解：∵G为矩形OABC对角线的交点，

而，OA＝4，OC＝2，

∴G的坐标为（2，1），

∴k＝2，

∴y＝ ，

∵双曲线 与BC相交于点M，

∴M的纵坐标是2，

∴M的横坐标x＝1，

∴CM＝1，

MB＝3，

∴CM：MB＝1：3．

故答案为：1：3．

【考点评析】此题主要考查了反比例函数图象和性质，也利用了点的坐标与线段长度的关系及矩形的性质，首先利用矩形的性质确定反比例函数解析式，然后利用图象和性质解决问题．

15．（2分）（瓯海区校级自主招生）直线y＝a分别与直线y＝ x和双曲线y＝ 交于D、A两点，过点A、D分别作x轴的垂线段，垂足为点B，C．若四边形ABCD是正方形，则a的值为　±1或± 　．

【思路点拨】先根据直线y＝a分别与直线y＝ x和双曲线y＝ 交于D、A两点用a表示出AD两点的坐标，再根据四边形ABCD是正方形可得出AB＝AD，由此即可求出a的值．

【规范解答】解：∵直线y＝a分别与直线y＝ x和双曲线y＝ 交于点D、A，

∴A（ ，a），D（2a，a），

当直线在x轴的正半轴时，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，即2a﹣ ＝a，解得a＝﹣1或a＝1．

当直线在x轴的负半轴时，

同理可得，2a﹣ ＝﹣a，解得a＝± ．

故答案为：±1或± ．

【考点评析】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意求出A、D两点的坐标是解答此题的关键．

16．（2分）（前进区期末）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA₁＝A₁A₂＝A₂A₃，…，过点A₁、A₂、A₃、…分别作x轴的垂线与反比例函数 的图象相交于点P₁、P₂、P₃、…，得直角三角形OP₁A₁、A₁P₂A₂、A₂P₃A₃、…，设其面积分别为S₁、S₂、S₃、…，则S_n的值为　 　．

【思路点拨】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S＝ ，由反比例函数解析式中k＝2，得出△OA₁P₁，△OA₂P₂，△OA₃P₃，…，△OA_nP_n的面积都为1，而A_n﹣1A_n为OA_n的 ，且△A_n﹣1A_nP_n与△OA_nP_n的高为同一条高，故△A_n﹣1A_nP_n的面积为△OA_nP_n的面积的 ，由△OA_nP_n的面积都为1，得出△A_n﹣1A_nP_n的面积，即为S_n的值．

【规范解答】解：连接OP₂，OP₃，…，OP_n，如图所示：

∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，

∴S＝ ＝1，即S_△OA1P1＝S_△OA2P2＝S_△OA3P3＝…＝S_△OAnPn＝1，

又OA₁＝A₁A₂＝A₂A₃＝…＝A_n﹣1A_n，∴A_n﹣1A_n＝ OA_n，

∴S_n＝S_{△An﹣1AnPn}＝ S_△OAnPn＝ ．

故答案为：

【考点评析】此题属于反比例函数的综合题，涉及的主要知识有：反比例函数y＝ （k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝ ．

17．（2分）（咸阳模拟）如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线 交OB于D，且OD：DB＝1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值是　 　．

【思路点拨】设C（x，y），BC＝a．过D点作DE⊥OA于E点．

根据DE∥AB得比例线段表示点D坐标；根据△OBC的面积等于3得关系式，列方程组求解．

【规范解答】解：方法一、设C（x，y），BC＝a．

则AB＝y，OA＝x+a．

过D点作DE⊥OA于E点．

∵OD：DB＝1：2，DE∥AB，

∴△ODE∽△OBA，相似比为OD：OB＝1：3，

∴DE＝ AB＝ y，OE＝ OA＝ （x+a）．

∵D点在反比例函数的图象上，且D（ （x+a）， y），

∴ y• （x+a）＝k，即xy+ya＝9k，

∵C点在反比例函数的图象上，则xy＝k，

∴ya＝8k．

∵△OBC的面积等于3，

∴ ya＝3，即ya＝6．

∴8k＝6，k＝ ．

方法二、过D点作DE⊥OA于E点．延长BC交y轴于点F，

∵点D，点C是y＝ 上的两点，

∴S_△ODE＝S_△OFC，

∵BC∥AO，AB⊥AO，∠AOF＝90°，

∴四边形ABFO是矩形，

∴S_△AOB＝S_△BOF，

∴S_△OBC＝S_{四边形ABDE}＝3，

∵DE∥AB，

∴△ODE∽△OBA，

∴ ＝（ ）²＝ ，

∴S_△OAB＝9S_△ODE，

∴S_{四边形ABDE}＝3＝8S_△ODE，

∴S_△ODE＝ ，

∴k＝ ，

故答案为： ．

【考点评析】此题考查了反比例函数的应用、平行线分线段成比例及有关图形面积的综合运用，综合性较强．

18．（2分）（•永嘉县校级期末）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（﹣1，0）、B（1，1），将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B₁、C₁正好落在反比例函数 的图象上，则k＝　6　．

【思路点拨】过C作CM垂直于x轴，过B作BN垂直于x轴，由AC与AB垂直，得到一对角互余，再由CM与MA垂直，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AB＝AC，且一对直角相等，利用AAS得出三角形ACM与三角形ABN全等，由全等三角形的对应边相等得到CM＝AN，AM＝BN，由A与B的坐标得出AM与CM的长，由OA+AM求出OM的长，确定出C的坐标，由平移的性质得到C₁和B₁的纵坐标不变，且横坐标相差3，设出C₁与B₁的坐标，分别代入反比例解析式中，得到两个关系式，消去k求出m的值，即可得到k的值．

【规范解答】解：过C作CM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，

∵∠CAB＝90°，

∴∠CAM+∠BAN＝90°，又∠MCA+∠CAM＝90°，

∴∠MCA＝∠NAB，

在△ACM和△BAN中，

，

∴△ACM≌△BAN（AAS），

∵A（﹣1，0）、B（1，1），

∴CM＝AN＝2，AM＝BN＝1，

∴C（﹣2，2），

设反比例函数为y＝ （k≠0），点C₁和B₁在该比例函数图象上，

由平移的性质，可设C₁（m，2），则B₁（m+3，1），

把点C₁和B₁的坐标分别代入y＝ ，得k＝2m；k＝m+3，

∴2m＝m+3，解得：m＝3，

则k＝6．

故答案为：6

【考点评析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，平移的性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．

19．（2分）（陕西校级模拟）如图，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为　2　．

【思路点拨】设M点坐标为（a，b），而M点在反比例函数图象上，则k＝ab，即y＝ ，由点M为矩形OABC对角线的交点，根据矩形的性质易得A（2a，0），C（0，2b），B（2a，2b），利用坐标的表示方法得到D点的横坐标为2a，E点的纵坐标为2b，而点D、点E在反比例函数y＝ 的图象上（即它们的横纵坐标之积为ab），可得D点的纵坐标为 b，E点的横坐标为 a，利用S_矩形OABC＝S_△OAD+S_△OCE+S_{四边形ODBE}，得到2a•2b＝ •2a• b+ •2b• a+6，求出ab，即可得到k的值．

【规范解答】解：设M点坐标为（a，b），则k＝ab，即y＝ ，

∵点M为矩形OABC对角线的交点，

∴A（2a，0），C（0，2b），B（2a，2b），

∴D点的横坐标为2a，E点的纵坐标为2b，

又∵点D、点E在反比例函数y＝ 的图象上，

∴D点的纵坐标为 b，E点的横坐标为 a，

∵S_矩形OABC＝S_△OAD+S_△OCE+S_{四边形ODBE}，

∴2a•2b＝ •2a• b+ •2b• a+6，

∴ab＝2，

∴k＝2．

故答案为2．

【考点评析】本题考查了反比例函数综合题：先设反比例函数图象上某点的坐标，然后利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特点表示其它有关点的坐标，然后利用面积公式建立等量关系，从而解决问题．

三．解答题（共8小题，满分62分）

20．（8分）（济南期末）如图，函数y＝ （x＞0）的图象过点A（n，2）和B（ ，2n﹣3）两点．

（1）求n和k的值；

（2）将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y＝ （x＞0）于点C，若S_△ACO＝6，求直线DE解析式；

（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（1）把A、B点坐标代入反比例函数解析式列出n、k的方程组便可求得n、k的值；

（2）由A点坐标求得直线OA的解析式，设C（m， ），过C作CH⊥x轴与OA交于点H，根据S_△ACO＝6，列出m的方程求得C点坐标，由平移性质设直线DE的解析式，再代入C点坐标便可求得结果；

（3）先求出D、E的坐标，再分三种情况：①当∠EDF＝90°，DE＝DF时，②当∠DEF＝90°，DE＝EF时，③当∠DFE＝90°，DF＝EF时，分别构造全等三角形求得F点坐标便可．

【规范解答】解：（1）∵函数y＝ （x＞0）的图象过点A（n，2）和B（ ，2n﹣3）两点．

∴ ，

解得， ；

（2）由（1）知，A（4，2），

设直线OA的解析式为y＝ax（a≠0），则

2＝4a，

∴a＝ ，

∴直线OA的解析式为：y＝ ，

由（1）知反比例函数的解析式为：y＝ ，

设C（m， ），过C作CH⊥x轴与OA交于点H，如图1，

则H（m， m），

∴CH＝ ，

∵S_△ACO＝6，

∴ ，

解得，m＝﹣8（舍），或m＝2，

∴C（2，4），

∵将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，

∴设直线DE的解析式为：y＝ x+c，

把C（2，4）代入y＝ x+c中，得4＝1+c，

解得，c＝3，

∴直线DE的解析式为：y＝ x+3；

（3）令x＝0，得y＝ x+3＝3，

令y＝0，得y＝ x+3＝0，解得x＝﹣6，

∴D（﹣6，0），E（0，3），

①当∠EDF＝90°，DE＝DF时，如图2，过F作FG⊥x轴于点G，

∵∠ODE+∠FDG＝∠ODE+∠OED＝90°，

∴∠OED＝∠GDF，

∵∠DOE＝∠FGD＝90°，DE＝FD，

∴△ODE≌△GFD（AAS），

∴DG＝0E＝3，FG＝DO＝6，

∴F（﹣9，6）；

②当∠DEF＝90°，DE＝EF时，如图3，过F作FG⊥y轴于点G，

∵∠ODE+∠DEO＝∠GEF+∠OED＝90°，

∴∠ODE＝∠GEF，

∵∠DOE＝∠FGE＝90°，DE＝EF，

∴△ODE≌△GEF（AAS），

∴EG＝DO＝6，FG＝EO＝3，

∴F（﹣3，9）；

③当∠DFE＝90°，DF＝EF时，如图4，过点F作FG⊥x轴于点G，作FH⊥y轴于点H，

∴∠DFE＝∠GFH＝90°，

∴∠DFG＝∠EFH，

∵∠DGF＝∠EHF＝90°，DF＝EF，

∴△DGF≌△EHF（AAS），

∴GF＝HF，DG＝EH，

∵∠FGO＝∠GOH＝∠OHF＝90°，

∴四边形OGFH为正方形，

∴OG＝OH，即6﹣DG＝3+EH，

∴DG＝EH＝ ，

∴OG＝OH＝ ，

∴F（ ）；

综上，第二象限内存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，其F点的坐标为（﹣9，6）或（﹣3，9）或（﹣ ）．

【考点评析】本题是反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积，平移的性质，一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，第（3）题的关键在于构造全等三角形和分情况讨论．

21．（6分）（姑苏区校级月考）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝ 的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；

（3）直线a经过点（0，1）且平行于x轴，点M在直线a上，点N在y轴上，以 A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由．

【思路点拨】（1）用待定系数法即可求解；

（2）由△AOB的面积＝S_△AOH﹣S_△BOH，即可求解；

（3）当AB是对角线时，由中点坐标公式列出函数关系式，即可求解；当AM（AN）是对角线时，同理可解．

【规范解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：6＝ ，解得：m＝6，

故反比例函数表达式为：y＝ ，

当x＝3时，y＝ ＝2，即点B（3，2），

由题意得： ，解得： ，

故一次函数的表达式为：y＝﹣2x+8；

（2）设AB交x轴于点H，

令y＝﹣2x+8＝0，解得：x＝4，即OH＝4，

则△AOB的面积＝S_△AOH﹣S_△BOH＝ ×4×6﹣ 4×2＝8；

（3）设点M、N的坐标别为（m，1）、（0，n），

当AB是对角线时，由中点坐标公式得： ，解得： ，

即点M、N的坐标分别为（4，1）、（0，7）；

当AM是对角线时，由中点坐标公式得： ，解得： ，

即点M、N的坐标分别为：（﹣2，1）、（0，5）；

当AN是对角线时，由中点坐标公式得： ，解得： ，

即即点M、N的坐标分别为：（﹣2，1）、（0，﹣3）；

综上，点M、N的坐标分别为（4，1）、（0，7）或（﹣2，1）、（0，5）或（﹣2，1）、（0，﹣3）．

【考点评析】本题考查的是反比例函数综合运用，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积、平行四边形性质等，其中，分类求解是本题解题的关键．

22．（6分）（封丘县期中）如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数 和 的图象上，AB⊥x轴于点A，DC⊥x轴于点C，O是线段AC的中点，AB＝3，DC＝2．

（1）求反比例函数 的表达式．

（2）连接BD，OB，OD，求△ODB的面积．

（3）P是线段AB上的一个动点，Q是线段OB上的一个动点，试探究是否存在点P，使得△APQ是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（1）先求出B点坐标，再求出D点坐标，即可求函数的解析；

（2）利用割补法可得S_△OBD＝S_梯形ACDB﹣S_△BAO﹣S_△OCD；

（3）设Q（t，﹣ t），分三种情况讨论：①当∠PAQ＝90°时，AP＝AQ，Q点与O点重合，此时P（﹣2，2）； ②当∠APQ＝90°时，AP＝PQ，t+2＝﹣ t，此时P（﹣2， ）；③当∠PQA＝90°时，PQ＝AQ，t+2＝﹣ t，此时P（﹣2， ）．

【规范解答】解：（1）∵AB＝3，

∴B点坐标轴为3，

∴3＝﹣ ，

∴x＝﹣2，

∴B（﹣2，3），

∵O是线段AC的中点，

∴C（2，0），

∴CD＝2，

∴D（2，2），

∴k＝4，

∴y＝ ；

（2）S_△OBD＝S_梯形ACDB﹣S_△BAO﹣S_△OCD

＝ ×（3+2）×4﹣ ×2×3﹣ ×2×2

＝10﹣3﹣2

＝5；

（3）存在点P，使得△APQ是等腰直角三角形，理由如下：

设直线OB的解析式为y＝kx，

∴﹣2k＝3，

∴k＝﹣ ，

∴y＝﹣ x，

设Q（t，﹣ t），

①当∠PAQ＝90°时，AP＝AQ，

∴Q点与O点重合，

此时P（﹣2，2）；

②当∠APQ＝90°时，AP＝PQ，

∴t+2＝﹣ t，

解得t＝﹣ ，

∴P（﹣2， ）；

③当∠PQA＝90°时，PQ＝AQ，

∴t+2＝﹣ t，

解得t＝﹣ ，

∴P（﹣2， ）；

综上所述：P点坐标为（﹣2，2）或（﹣2， ）或（﹣2， ）．

【考点评析】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，梯形的面积，分类讨论是解题的关键．

23．（6分）（吴兴区期末）矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点F的反比例函数 的图象与边AB交于点E（8，m），AB＝4．

（1）如图1，若BE＝3AE．

①求反比例函数的表达式；

②将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x，y轴交于点H，G，求线段OG的长度．

（2）如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积的最大值．

【思路点拨】（1）①首先求出AE的长，从而得出点E的坐标，即可得出k的值；

②利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF的长，设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，利用勾股定理列方程，从而解决问题；

（2）利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF＝2m，再利用矩形面积减去△OCF和△BEF的面积，从而表示出四边形OAEF的面积，再利用配方法求出最大值．

【规范解答】解：（1）①∵BE＝3AE，AB＝4，

∴AE＝1，BE＝3，

∴E（8，1），

∴k＝8×1＝8，

∴反比例函数表达式为y＝ ；

②当y＝4时，x＝2，

∴F（2，4），

∴CF＝2，

设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，

由勾股定理得，

（4﹣x）²+2²＝x²，

解得x＝ ，

∴OG＝ ；

（2）∵点E、F在反比例函数 的图象上，

∴CF×4＝8m，

∴CF＝2m，

∴四边形OAEF的面积为8×4﹣ ＝﹣m²+4m+16＝﹣（m﹣2）²+20，

∵0＜m＜4，

∴当m＝2时，四边形OAEF的面积最大为20．

【考点评析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，翻折的性质，勾股定理，配方法求代数式的最值等知识，表示出四边形OAEF的面积是解题的关键．

24．（8分）（镇巴县期末）如图，一次函数y＝k₁x+b（k₁≠0）与反比例函数y＝ （k₂≠0）的图象交于点A（2，3），B（a，﹣1），设直线AB交x轴于点C．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）若点P是反比例函数图象上的一点，且△POC是以OC为底边的等腰三角形，求P点的坐标．

【思路点拨】（1）根据点A、B都在反比例函数图象上，可得点B的坐标，再将A、B代入一次函数解析式，解方程即可；

（2）首先求出点C的坐标，由PC＝PO，可知点P在OC的垂直平分线上，从而解决问题．

【规范解答】解：（1）将点A（2，3）代入 得，k₂＝2×3＝6，

∴y＝ ，

将点B（a，﹣1）代入y＝ 得，a＝﹣6，

∴B（﹣6，﹣1），

将点A（2，3），B（﹣6，﹣1）代入y＝k₁x+b得，

，

解得 ，

∴一次函数的解析式为y＝ x+2；

（2）当y＝0时， x+2＝0，

∴x＝﹣4，

∴C（﹣4，0），

∵PC＝PO，

∴点P在OC的垂直平分线上，

∴点P的横坐标为﹣2，

∴P（﹣2，﹣3）．

【考点评析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，等腰三角形的性质等知识，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．

25．（8分）（达川区期末）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝ （k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在x轴的上方，且满足S_△PAO＝ S_矩形AOCB．

（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；

（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；

（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．

【思路点拨】（1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的纵坐标为m（m＞0），根据S_△PAO＝ ，构建方程即可解决问题；

（2）过点（0，2），作直线l⊥y轴．由（1）知，点P的纵坐标为2，推出点P在直线l上作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝4，连接AO′交直线l于点P，此时PO+PA的值最小；

（3）分四种情形分别求解即可解决问题；

【规范解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，

∴点B的坐标为（4，3），

∵点B在反比例函数y＝ （k≠0）的第一象限内的图象上

∴k＝12，

∴y＝ ，

设点P的纵坐标为m（m＞0），

∵S_△PAO＝ ．

∴ •OA•m＝OA•OC• ，

∴m＝2，

当点，P在这个反比例函数图象上时，则2＝ ，

∴x＝6

∴点P的坐标为（6，2）．

（2）过点（0，2），作直线l⊥y轴．

由（1）知，点P的纵坐标为2，

∴点P在直线l上

作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝4，

连接AO′交直线l于点P，此时PO+PA的值最小，

则PO+PA的最小值＝PO′+PA＝O′A＝ ＝4 ．

（3）

①如图2中，当四边形ABQP是菱形时，易知AB＝AP＝PQ＝BQ＝3，P₁（4﹣ ，2），P₂（4+ ，2），

∴Q₁（4﹣ ，5），Q₂（4+ ，5）．

②如图3中，当四边形ABPQ是菱形时，P₃（4﹣2 ，2），P₄（4+2 ，2），

∴Q₃（4﹣2 ，﹣1），Q₄（4+2 ，﹣1）．

综上所述，点Q的坐标为Q₁（4﹣ ，5），Q₂（4+ ，5），Q₃（4﹣2 ，﹣1），Q₄（4+2 ，﹣1）．

【考点评析】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会理由轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．

26．（10分）（姑苏区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，已知点A（0，﹣6）、C（﹣3，﹣7），点B在第三象限内．

（1）求点B的坐标；

（2）将△ABC以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使在第二象限内点B、C两点的对应点B'，C'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；

（3）在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、C'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（1）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，证明△ACF≌△BAE得出BE与OE的长度便可求得B点坐标；

（2）先用t表示B′和C′点的坐标，再根据“B'、C'正好落在某反比例函数的图象上”得B′和C′点的横、纵坐标的积相等，列出t的方程求得t，进而求得反比例函数的解析式；

（3）分各种情况：B'C'为平行四边形的边，B'C'为平行四边形的对角线．分别解答问题．

【规范解答】解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，则∠AFC＝∠AEB＝90°，

∵点A（0，﹣6），C（﹣3，﹣7），

∴CF＝3，AF＝1，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠CAF+∠BAE＝∠CAF+∠ACF＝90°，

∴∠ACF＝∠BAE，

∴△ACF≌△BAE（AAS），

∴CF＝AE＝3，AF＝BE＝1，

∴OE＝OA﹣AE＝6﹣3＝3，

∴B（﹣1，﹣3）；

（2）根据题意得，B′（﹣1，﹣3+2t），C′（﹣3，﹣7+2t），

设经过B'、C'的反比例函数解析式为：y＝ （k≠0），

∴k＝﹣1×（﹣3+2t）＝﹣3（﹣7+2t），

解得，t＝ ，

∴k＝﹣1×（﹣3+2t）＝3﹣9＝﹣6，

∴反比例函数的解析式为：y＝﹣ ；

（3）存在，

设P（n，0），

由（2）知B′（﹣1，6），C′（﹣3，2），

①当B'C'为平行四边形的边时，则B′C′∥QP，B′C′＝QP，

∴Q（n+2，4）或（n﹣2，﹣4），

把Q（n+2，4）代入y＝﹣ 中，得，4（n+2）＝﹣6，

解得，n＝﹣ ，

∴Q（﹣ ，4），

把Q（n﹣2，﹣4），代入y＝﹣ 中，得，﹣4（n﹣2）＝﹣6，

解得，n＝ ，

∴Q（ ，﹣4）；

②当B'C'为对角线时，则B'C'的中点坐标为（﹣2，4），

∴PQ的中点坐标为（﹣2，4），

∴Q（﹣4﹣n，8），

把Q点坐标代入y＝﹣ 中，得，8（﹣n﹣4）＝﹣6，

解得，n＝﹣ ，

∴Q（﹣ ，8），

综上，存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、C'四个点为顶点的四边形是平行四边形．Q点坐标为（﹣ ，4）或（ ，﹣4）或（﹣ ，8）．

【考点评析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，关键是证明全等三角形和分情况讨论．

27．（10分）（南海区期末）如图1，平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，3），反比例函数y＝ （k＜0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC、AB于E、F（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D重合．

（1）当点E为AC中点时，求点F的坐标，并直接写出EF与对角线BC的关系；

（2）如图2，连接CD，

①△CDE的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；

②当CD平分∠ACO时，直接写出k的值．

【思路点拨】（1）连接BC，求出E（﹣2，3），即得k＝﹣2×3＝﹣6，从而F（﹣4， ），可知EF是△ABC的中位线，故EF∥BC，EF＝BC；

（2）连接BC，AD，求出AF＝3+ ＝ ，AE＝ +4＝ ，可得 ＝ ，从而△AFE∽△ABC，∠AFE＝∠ABC，即得EF∥BC，又A，D关于EF对称，故AD⊥EF，D在过A且与BC垂直的直线上；①△CDE的周长有最小值，根据C_△CDE＝CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝CD+AC＝CD+4，知当CD⊥AD时，CD取最小值，C_△CDE也取最小值，由△ACD∽△BCA，有 ＝ ，即可得△CDE的周长的最小值为 +4＝ ；

②当D'在x轴上时，由△ABD'∽△CAB，得BD'＝ ，D'（﹣ ，0），可求出直线AD'解析式为y＝﹣ x﹣ ，直线CD解析式为y＝x+3，联立 ，解得D（﹣ ， ），即得AD的中点坐标为（﹣ ， ），求出直线BC解析式为y＝ x+3，设直线EF解析式为y＝ x+m，把（﹣ ， ）代入得m＝ ，故F（﹣4， ），k＝﹣4× ＝﹣ ．

【规范解答】解：（1）连接BC，如图：

∵E为AC的中点，

∴E（﹣2，3），

∴k＝﹣2×3＝﹣6，

把x＝﹣4代入y＝﹣ 得：y＝ ，

∴F（﹣4， ），

∵A（﹣4，3），B（﹣4，0），

∴F是AB的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥BC，EF＝ BC；

（2）连接BC，AD，如图：

将y＝3代入y＝ 得：x＝ ，

将x＝﹣4代入y＝ 得，y＝﹣ ，

∴AF＝3+ ＝ ，AE＝ +4＝ ，

∴ ＝ ， ＝ ，

∴ ＝ ，

∵∠A＝∠A，

∴△AFE∽△ABC，

∴∠AFE＝∠ABC，

∴EF∥BC，

∵A，D关于EF对称，

∴AD⊥EF，

∴AD⊥BC，

∴D在过A且与BC垂直的直线上；

①△CDE的周长有最小值，

如图：

∵C_△CDE＝CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝CD+AC＝CD+4，

∴当CD⊥AD时，CD取最小值，C_△CDE也取最小值，

此时，点D在BC上，

∵∠CAD＝90°﹣∠ACB＝∠ABC，∠ADC＝90°＝∠BAC，

∴△ACD∽△BCA，

∴ ＝ ，即 ＝ ，

解得CD＝ ，

∴△CDE的周长的最小值为 +4＝ ；

②当D'在x轴上时，如图：

∵AD⊥BC，

∴∠BAD'＝90°﹣∠CAD'＝∠ACB，

∵∠ABD'＝90°＝∠BAC，

∴△ABD'∽△CAB，

∴ ＝ ，即 ＝ ，

∴BD'＝ ，

∴D'（﹣ ，0），

由A（﹣4，3），D'（﹣ ，0）可得直线AD'解析式为y＝﹣ x﹣ ，

当CD平分∠ACO时，由C（0，3）可得CD与x轴的交点坐标为（﹣3，0），

∴直线CD解析式为y＝x+3，

联立 ，解得 ，

∴D（﹣ ， ），

∴AD的中点坐标为（﹣ ， ），

由B（﹣4，0），C（0，3）可得直线BC解析式为y＝ x+3，设直线EF解析式为y＝ x+m，

把（﹣ ， ）代入得： ＝ ×（﹣ ）+m，

解得m＝ ，

∴F（﹣4， ），

∴k＝﹣4× ＝﹣ ．

【考点评析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形周长，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形判定定理