【324270】2024八年级数学下册 专题07 动态几何问题（一元二次方程的应用）（含解析）（新版）

专题07 动态几何问题（一元二次方程的应用）

姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人 得分

一、选择题(每题2分，共20分)

1．(本题2分)（河南郑州·九年级校考期中）如图，矩形 中， ，点E从点B出发，沿 以 的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿 以 的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 是以 为底边的等腰三角形时，则点 运动时间为(       )

A． B． C．6 D．

【答案】B

【思路点拨】设点E运动的时间是 ．根据题意可得 ，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到结论．

【规范解答】解：∵ ，

∴ ，

设点E运动的时间是 ．

根据题意可得 ，

解得 ， ，

∵ ，

∴两点运动了 后停止运动．

∴ ．

故选∶B．

【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理的运用．

2．(本题2分)（山东德州·九年级统考阶段练习）如图，在 中， ， cm， cm．现有动点 从点 出发，沿 向点 方向运动，动点 从顶点 出发，沿线段 向点 方向运动，如果点 的速度是2cm/s，点 的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，当 ， 两点运动 　　 秒时， 的面积等于5cm²．

A．1 B．3 C．3或5 D．1或5

【答案】D

【思路点拨】由题意可得 ， ，则利用三角形的面积公式即可求解．

【规范解答】解：设运动的时间为 ，

由题意得： ， ，

，

解得： ， ，

即当 或 时， 的面积等于 ．

故选：D．

【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，正确地列出方程是解题的关键．

3．(本题2分)（广东韶关·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm²的是（    ）

A．2秒钟 B．3秒钟 C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟

【答案】B

【思路点拨】设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，由三角形的面积公式结合△PBQ的面积为15cm²，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【规范解答】解：设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，

依题意，得： ×2t•（8-t）=15，

解得：t₁=3，t₂=5，

∵2t≤6，

∴t≤3，

∴t=3．

故选：B．

【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

4．(本题2分)（全国·九年级专题练习）如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（    ）

A．2s或 s B．1s或 s C． s D．2s或 s

【答案】D

【思路点拨】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．

【规范解答】解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，

根据题意得：（16-2x-3x）²+8²=10²，

解得：x₁=2，x₂= ，

答：当P、Q两点从出发开始到2s或 s时，点P和点Q的距离是10cm．

故选：D．

【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．

5．(本题2分)（八年级课时练习）如图，在 中， ，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 ，点Q的速度为 ，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当 的面积为 时，则点P运动的时间是（    ）

A． B． 或 C． D．

【答案】A

【思路点拨】设出动点P，Q运动t秒，能使 的面积为 ，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．

【规范解答】解：设动点P，Q运动t秒，能使 的面积为 ，

则BP为(8-t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积公式列方程得

(8-t)×2t=15，

解得t1=3，t2=5（当t2=5，BQ=10，不合题意，舍去）

∴动点P，Q运动3秒，能使 的面积为 ．

故选A．

【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用．借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．

6．(本题2分)（九年级课时练习）如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，同时另一个点 从点 开始沿 以 的速度移动，当 的面积等于 时，经过的时间是（   ）

A． 或 B． C． D．

【答案】B

【思路点拨】本题已知了 、 的速度，设 秒后， 的面积等于 ，根据路程 =速度 时间，可用时间 表示出 和 的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值．

【规范解答】解：设 秒后， 的面积等于 ，

依题意得： ，

∴ ，

∴ ， ，

当 时， ，即 不合题意，舍去．

所以10秒后， 的面积等于 ．

故选B．

【考点评析】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；解题的关键是准确表示出AP、PC、BQ、CQ关于时间x的代数式，再根据等量关系列出方程来求解．

7．(本题2分)（浙江·八年级专题练习）在 中， ，动点P从点A沿线段 向点B移动，一动点Q从点B沿线段 向点C移动，两点同时开始移动，点 的速度为 ，点 的速度为 ，当 到达点 时两点同时停止运动．若使 的面积为 ，则点P运动的时间是（　　）

A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s

【答案】A

【思路点拨】设点 运动的时间为 ，则 ， ，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 的值，再结合当 到达点 时两点同时停止运动，即可得出点 运动的时间．

【规范解答】解：设点 运动的时间为 ，则 ， ，

依题意得： ，

整理得： ，

解得： ， ，

当 到达点 时两点同时停止运动，

，

，

．

故选：A．

【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8．(本题2分)（浙江·八年级专题练习）如图，在 中， ，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 ，点Q的速度为 ，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当 的面积为 时，则点P运动的时间是（    ）

A． B． 或 C． D．

【答案】A

【思路点拨】当运动时间为t秒时， cm， cm，根据 的面积为 ，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．

【规范解答】解：当运动时间为ts时， cm， cm，

∴ cm．

依题意得： ，

即 ，

整理得： ，

解得： ， ．

当 时， ，符合题意；

当 时， ，不符合题意，舍去．

答：当 的面积为 时，点P运动的时间是2s．

故选：A．

【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

9．(本题2分)（九年级课时练习）在平面直角坐标系中，一次函数 的图像上有一点P，过点P分别向坐标轴作垂线段，若两垂线段与坐标轴围成面积为5的矩形，则符合条件的点P个数为 （    ）

A．2 B．3 C．4 D．无数个

【答案】A

【思路点拨】设点P的坐标为（ ， ），根据题意列出方程组，再根据 的取值不同，分 、 、 三种情况进行讨论，即可求解．

【规范解答】解：设点P的坐标为（ ， ），根据题意得： ，

∵点P 的位置不确定，分三种情况进行讨论：

①当 时，则 ，

则 ，解得： ， （舍去）；

②当 时， ，

则 ，即 ，此时 ，此方程无解；

③当 时， ，

则 ，即 ，解得： （舍去）， ；

故符合条件的P点坐标有2个，分别是（ ， ）、（ ， ）．

【考点评析】本题考查一元二次方程在坐标中的运用，难度一般，根据题意列出方程组，再分情况讨论是顺利解题的关键．

10．(本题2分)（九年级课时练习）如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程(　　)

A．2x·x＝24

B．(10－2x)(8－x)＝24

C．(10－x)(8－2x)＝24

D．(10－2x)(8－x)＝48

【答案】D

【规范解答】设x秒后，螳螂走了2x,蝉走了x,MB=10-2x,NC=8-x,

由题意知 (10－2x)(8－x)＝24,

(10－2x)(8－x)＝48,选D.

评卷人 得分

二、填空题(每题2分，共20分)

11．(本题2分)（福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点 从A点开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从 点开始沿 边向点 以 的速度移动，则 、 分别从A、 同时出发，经过________秒钟，使 的面积等于 ．

【答案】2或4##4或2

【思路点拨】设经过 秒， 的面积等于 ，得出 ， ，根据三角形的面积公式，得出关于 的一元二次方程，解出即可得出结论．

【规范解答】解：设经过 秒， 的面积等于 ，则 ， ，

根据题意，可得： ，

即 ，

解得： ， ，

∴经过 或 ， 的面积等于 ，

故答案为：2或4．

【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在利用数形结合思想，找准等量关系，正确列出方程．

12．(本题2分)（八年级课时练习）如图， cm，OC是一条射线， ，一只蚂蚁由A点以1cm/s速度向B点爬行，同时另一只蚂蚁由O点以2cm/s的速度沿OC方向爬行，则_______秒钟后，两只蚂蚁所处位置与O点组成的三角形面积为100 ．

【答案】10或

【思路点拨】可以分两种情况进行讨论：（1）当蚂蚁在 上运动；（2）当蚂蚁在 上运动．根据三角形的面积公式即可列方程求解．

【规范解答】解：有两种情况：

（1）如图1，当蚂蚁在 上运动时，

设xs后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为100 ，

由题意，得 ，

整理，得 ，

解得 ；

（2）如图2，当蚂蚁在 上运动时，

设x秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为100 ，

由题意，得 ，

整理，得 ，

解得 ， （舍去）．

答：10s或 s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为100 ．

故答案为：10或 ．

【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用．分两种情况进行讨论是难点．

13．(本题2分)（甘肃武威·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形 中， ，点 从点 出发沿 以 的速度向点 运动，同时点 从点 出发沿 以 的速度向点 运动，点 到达终点后， 、 两点同时停止运动，则__秒时， 的面积是 ．

【答案】2或3##3或2

【思路点拨】设t秒后 的面积是 ，则 ， ，列方程即可求解．

【规范解答】解：设运动时间为 秒，则 ， ，

依题意得： ，

整理得： ，

解得： ， ．

或3秒时， 的面积是 ．

故答案为：2或3．

【考点评析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．

14．(本题2分)（九年级课时练习）如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿 边向点C以 的速度移动，同时另一个点 从点C开始沿 以 的速度移动，当△PCQ的面积等于450m²时，经过的时间是____．

【答案】

【思路点拨】设当△PCQ的面积等于450m²时，经过的时间是 ，根据题意得： ， ，从而得到 ，再由 ，可得到关于 的方程，即可求解．

【规范解答】解：设当△PCQ的面积等于450m²时，经过的时间是 ，

根据题意得： ， ，

∵ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵△PCQ的面积等于450m²，

∴ ，

解得： ，

∵点 从点C开始沿 以 的速度移动，

∴ ，

∴ ，

即当△PCQ的面积等于450m²时，经过的时间是 ．

故答案为：

【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，得到关于 的方程是解题的关键．

15．(本题2分)（全国·九年级专题练习）如图，在等腰 中， ，动点P从点A出发沿折线 向点终B以 的速度运动， 于点Q．设运动时间为 ，当 _______s时， 的面积为 ．

【答案】 或

【思路点拨】利用等腰直角三角形的性质求出AB，设时间为 秒，分 和 两种情况结合三角形面积分别计算．

【规范解答】解：∵在等腰 中， ， ，

∴ ， ， ．

∵ 于点 ．

∴设当时间为 秒时， 的面积为 ．

当 时， ， ，

，即 ，

解得： 或 （舍去）．

当 时， ， ，

，即 ，

解得： 或 （舍去）．

综上所述：当 或 秒时， 的面积为 ．

故答案为： 或 ．

【考点评析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解一元二次方程，解题的关键是理解点的运动情况，注意分类讨论．

16．(本题2分)（山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点 从 出发沿 向 点以 厘米 秒的速度匀速挪动；点 从 出发沿 向 点以 厘米 秒的速度匀速挪动点 、 分别从起点同时出发，挪动到某一位置时所需时间是为 秒，当 ______时， 的面积等于 ．

【答案】2

【思路点拨】首先用 分别表示 ， 的长度，然后利用三角形的面积公式即可列出关于 的方程，解方程即可解决问题．

【规范解答】解： ， 、 ，

，

， ，

当 时， ，故舍去，

当 时， 的面积等于 ，

故答案为： ．

【考点评析】此题考查了一元二次方程、三角形的面积公式，也是一个动点问题，用 分别表示 ， 的长度是解决问题的关键．

17．(本题2分)（辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发，沿 方向运动，动点 从点 出发，沿 方向运动，如果点 ， 同时出发， ， 的运动速度均为 ．那么运动 _____秒时，它们相距 ．

【答案】9或12

【思路点拨】设运动 秒时， ， 两点相距15厘米，利用勾股定理结合 厘米，可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出结论．

【规范解答】解：设运动 秒时， ， 两点相距15厘米，

依题意，得： ，

解得： ， ，

运动9秒或12秒时， ， 两点相距15厘米；

故答案为：9或12．

【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

18．(本题2分)（山东淄博·八年级校考期中）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过______小时它就会进入台风影响区．

【答案】7

【思路点拨】首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可．

【规范解答】解：由题意，作图如下：

设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： ，AB⊥AC，

∵在Rt△ABC中，BC=500km，AB=300km，

∴ ，

∴ ，

∴在 中，由勾股定理得： ，

∴

解得： ， （不符合题意，舍去）．

故答案为：7．

【考点评析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键．

19．(本题2分)（浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，问：经过_________________秒后△PBQ的面积等于4cm²．

【答案】2或4或

【思路点拨】过点 作 于点 ，设时间 ，根据面积列方程即可求出答案．

【规范解答】解：如图，过点 作 于点 ，则 ，

，

，

设经过 秒后 的面积等于 ，

则 ， ， ，

当点 在线段 上运动时， ，

根据题意： ，

， ，

当点 在 的延长线上运动时， ，

根据题意： ，

， （舍 ，

故经过2秒或4秒或 秒后， 的面积等于 ．

故答案为：2秒或4秒或 秒．

【考点评析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是要对 分类讨论．

20．(本题2分)（八年级课时练习）如图，已知AG CF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为_____．

【答案】 或

【思路点拨】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE，即可得E点坐标为(2t,0)，CQ=t，BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，Q点坐标为(t-2,0)，根据Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，进而有BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有： ， ， ，根据△PQE是以 PE为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，当QE=PE时两种情况，即可求解．

【规范解答】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，

∵ ，AB⊥CF，

∴AB⊥AG，

∴∠GAB=∠ABF=90°，

∵D点为AB中点，

∴AD=BD，

∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，

∴AP=BE，

∵AP=2t，

∴BE=2t，

∴E点坐标为(2t,0)，

∵AB=BC=3，

∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，

∴Q点坐标为(t-3,0)，

∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，

∴0＜t＜3，

∵BE=2t，BQ=3-t，

∴QE=BQ+EB=3+t，

∴利用勾股定理有： ， ， ，

根据△PQE是以 为腰的等腰三角形，分类讨论：

当PQ=PE时，有 ，

整理： ，

解得 （负值舍去），

当QE=PE时，有 ，

整理： ，

解得 （0舍去），

综上所述：t的值可以为 ， ．

故答案为： ， ．

【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质、构建直角坐标系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，构建直角坐标系是快速解答此题的关键．解答时，需注意分类讨论的思想．

评卷人 得分

三、解答题(共60分)

21．(本题6分)（浙江·八年级专题练习）如图，在 中， 厘米， 厘米，点 从点 开始沿 边向点 以 厘米 秒的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 厘米 秒的速度移动，如果 ， 分别是从 ， 同时出发，设时间为 秒．

(1)经过几秒时， 的面积等于 平方厘米？

(2)经过几秒时， 的面积等于直角三角形面积的 ？

【答案】(1) 秒或 秒

(2) 秒或 秒

【思路点拨】（1）设经过 秒时， 的面积等于8平方厘米，则 厘米， 厘米，根据三角形的面积公式结合 的面积等于8平方厘米，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出结论；

（2）设经过 秒时， 的面积等于矩形面积的 ，则 厘米， ，根据三角形、矩形的面积公式及 的面积等于矩形面积的 ，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出结论．

【规范解答】（1）设经过 秒时， 的面积等于8平方厘米，

则 厘米 ， 厘米，

根据题意，得 ，

整理，得                ，

解得    ， ．

故经过2秒或4秒时， 的面积等于8平方厘米．

（2）设经过 秒时， 的面积等于矩形面积的 ，

则 厘米， 厘米，

根据题意，得          ，

整理，得 ，

解得    ， ．

故经过 秒或 秒时， 的面积等于直角三角形面积 ．

【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

22．(本题6分)（江西南昌·九年级校联考期中）如图，在矩形ABCD中， ， ．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）．那么当t为何值时， 的面积等于8 ？

【答案】2s或4s

【思路点拨】当运动时间为ts时， ， ，利用三角形面积公式结合 的面积等于8 ，列出关于t的一元二次方程解得即可．

【规范解答】解：当运动时间为ts时， ， ，

依题意得： ，

整理得： ，

解得： ， ，

答：当t为2s或4s时， 的面积等于8 ．

【考点评析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

23．(本题8分)（山东济南·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，点P在 上，从点B到点C运动（不包括点C），点P运动的速度为 ；点Q在 上从点C运动到点A（不包括点A），速度为 ．若点P，Q分别从B，C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．

(1)经过几秒，P，Q两点的距离为 ？

(2)经过几秒， 的面积为 ？

【答案】(1)经过1秒，P，Q两点的距离为

(2)经过 秒或 秒， 的面积为

【思路点拨】（1）设经过 秒，P，Q两点的距离为 ，勾股定理列式求解即可；

（2）利用 ，列式计算即可．

【规范解答】（1）解：设经过 秒，P，Q两点的距离为 ，

由题意，得： ，

∵在 中， ， ，

∴ ，

由勾股定理，得： ，即： ，

解得： ， （舍去）；

∴经过1秒，P，Q两点的距离为 ；

（2）解：设经过 秒， 的面积为 ，

此时： ，则： ，

∴ ，

解得： ，

∴经过 秒或 秒， 的面积为 ．

【考点评析】本题考查一元二次方程的应用，勾股定理．熟练掌握勾股定理，列出一元二次方程，是解题的关键．

24．(本题8分)（江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，已知等腰三角形 ， ， ，点 从点 出发，沿 的方向以 的速度向终点 运动，同时点 从点 出发，沿 的方向以 的速度向终点 运动，当点 运动到点 时，两点均停止运动，运动时间记为 秒，请解决下列问题：

(1)若点 在边 上，当 为何值时， ？

(2)是否存在这样的 值，使 的面积为 ？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)，当 时

(2)存在；当 或 时， 的面积为

【思路点拨】（1）先根据已知条件求出 的长度，再设经过 秒， 是直角三角形，此时 ， ，当 ， ，解方程即可；

（2）设经过 秒， 的面积为 ，连接 ，作 于 ，分类讨论点 在 边上和点 在 边上， ，即可求解．

【规范解答】（1）解：过点 作 ，如图所示：

∵等腰三角形 ， ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

设经过 秒， 是直角三角形，则

， ，

当 时，如图所示：

∴ ，

∴ ，

解得： ，

若点 在边 上，当 时

（2）存在，理由如下：

当点 在边 上，连接 ，过点 作 于 ，如图所示：

设经过 秒， 的面积为 ，则

， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

解得： ， （舍），

当点 在边 上，连接 ， ，作 于 ，如图所示：

设经过 秒， 的面积为 ，则

， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

解得： ， （舍去），

∴当 或 时， 的面积为 ．

【考点评析】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的应用和三角形与动点问题的综合，分类讨论思想和数形结合的思想是解决本题的关键．

25．(本题8分)（八年级课时练习）如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿射线 向点 以 的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动．如果 、 分别从 、 同时出发，运动的时间为 秒．当点 运动到点 时，两点停止运动．

(1)当点 在线段 上运动时， 、 两点之间的距离为______ ．（用含 的代数式表示）

(2)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得 的面积是 面积的 ．若存在，求 的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)当 时， 的面积是 面积的 ．

【思路点拨】（1）利用勾股定理求出 ，然后根据 即可得出答案；

（2）分两种情况：①当点 在线段 上，即 时，②当点 在线段 的延长线上，即 时，分别根据 的面积是 面积的 列方程求解即可．

【规范解答】（1）解：∵在 中， ， ， ，

∴ ，

∵点P从点A开始沿射线 向点 以 的速度移动，

∴ ，

∴当点 在线段 上运动时， 、 两点之间的距离为 ，

故答案为： ；

（2）解： ，

①当点 在线段 上，即 时，

∵ ， ，

∴ ，

整理得： ，

∵ ，

∴该一元二次方程无实数根，

∴此情况不存在；

②当点 在线段 的延长线上，即 时，

∵ ， ，

∴ ，

整理得： ，

解得： 或 （舍去），

综上所述，存在，当 时， 的面积是 面积的 ．

【考点评析】本题考查了勾股定理，列代数式，一元二次方程的应用，解答时利用三角形的面积公式建立一元二次方程是关键．

26．(本题8分)（全国·八年级专题练习）如图，矩形 ， cm， cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．

(1)问两动点运动几秒，使四边形 的面积是矩形 面积的 ；

(2)问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为 ？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) 秒

(2) 秒或 秒

【思路点拨】（1）要使四边形 的面积是矩形 面积的 ，此时点P应在 上，才是四边形．根据路程=速度 时间，分别用t表示 、 的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；

（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况讨论．

【规范解答】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形 的面积是矩形 面积的

， ，

，

解得：

∴两动点运动 秒，使四边形 的面积是矩形 面积的 ．

（2）设两动点经过t秒运动后，使点P与点Q之间的距离为 ，

①当 时，

当点 在点 上方时，则 ，即 ，

过 点作 于点 ，

则 ， ， ，

∴ ，

在Rt 中，

∵ ， ， ，

∴ ，

∴ ，

解得 （舍）， ．

当点 在点 下方时，则 ，即 ，

过 点作 于点 ，

则 ， ， ，

∴ ，

在Rt 中，

∵ ， ， ，

∴ ，

∴ ，

解得 ， （舍）．

②当 时，则

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

在Rt 中，

∵ ， ， ，

∴

有 ，

得方程： ，

，

此方程无实根．

综上所述，当点P运动 s或 s时，点P与点Q之间的距离为 ．

【考点评析】本题考查一元二次方程动点问题，涉及到一元二次方程和勾股定理的相关知识，注意分类讨论思想的运用．

27．(本题8分)（江苏常州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，过原点O及点 、 作矩形OABC， 的平分线交AB于点D，点P从点O出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，求当t为多少秒时， 为直角三角形．

【答案】 ， 或

【思路点拨】根据运动特点先求出 ， ， ，即有 ， ， ；再根据直角三角形的特点，分类三种情况讨论即可作答．

【规范解答】根据运动特点可得： ， ，

∴ ，

∵射线OD是 的平分线，

∴OD也是第一象限的角平分线，

∵第一象限的角平分线的点的横纵坐标相等，

∵点P从点O出发射线OD方向移动，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

根据矩形的性质易得 ，

则 ； ； ；

当 为直角三角形时，

时， ，

解得 ； (舍去)；

时， ，

解得： ，

时，

解得： (舍去)，

综上， ， 或 秒时， 为直角三角形．

【考点评析】本题考查了两点之间的距离公式，勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握两点之间的距离公式，一元二次方程的解法，直角三角形的判定是解题的关键．

28．(本题8分)（广东清远·九年级统考期中）如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿 向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿 向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为 秒．

(1)当 时，直接写出P，Q两点间的距离．

(2)是否存在 ，使得 是等腰三角形，若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．

(3)是否存在 ，使得 的面积等于 ，若存在，请求出 的值：若不存在，请说明理由．

【答案】(1) ；

(2) 或 ；

(3) 或 ．

【思路点拨】（1）求出 ， ，再利用勾股定理即可求出 ；

（2）因为 ，所以当 是等腰三角形时，只有 ，表示出 ，当 时， ；当 时， ；当 时， ；利用 ，即可求出t的值；

（3）由（2）可知： ，当 时， ；当 时， ；当 时， ；利用 ，解关于t的方程即可．

【规范解答】（1）解：当 时，由题意可知： ， ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ；

（2）解：∵ ，

∴ 是等腰三角形时，只有 ，

由题意可知： ，

∵Q从点B出发以每秒2cm的速度沿 向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，

∴当 时， ；当 时， ；当 时， ；

∵

∴ ，解得： ，故不符合题意；

，解得： ，符合题意；

，解得： ，符合题意；

综上所述： 或 ；

（3）解：假设存在t使得 的面积等于 ，

由（2）可知： ，当 时， ；当 时， ；当 时， ；

∴当 时， ；解得： 或 （舍去）

当 时， ，解得： 或 （舍去）；

当 时， ，因为 ，故无解，

综上所述，当 或 时 的面积等于 ．

【考点评析】本题考查动点问题，等腰三角形的定义，勾股定理，一元二次方程的几何应用，解题的关键是理解题意，结合图形表示出 的值．