【324259】2024八年级数学下册 专题6.34 反比例函数（存在性问题）（培优篇）（新版）浙教版

专题6.34 反比例函数（存在性问题）（培优篇）

1．如图，直线y＝x＋b（b≠0）分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y＝ （x＞0）于点D，过点D分别作x轴、y轴的垂线DC、DE，垂足分别为C、E，连接OD．

(1)求证：AD平分∠CDE；

(2)对于任意非零的实数b，求证：AD•BD为定值，并求出该定值；

(3)是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明 理由．

2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 ( )的图象交于A，B两点，直线 与x轴交于点C，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求 的面积；

(3)在x轴上是否存在一点P，使 是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，直角三角形 在平面直角坐标系中，直角边 在y轴上， 的长分别是一元二次方程 的两个根， A，且 ，P为 上一点，且 ．

(1)求点A的坐标；

(2)求过点P的反比例函数解析式；

(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，已知一次函数 与反比例函数 的图象在第一、三象限分别交于 ， 两点，连接 ．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2) 轴上是否存在一点 ，能使 ，若存在，请求出 的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数 的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为 ．

(1)求反比例函数 的解析式和E点坐标；

(2)在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；

(3)若点M在反比例函数的图象上，点N在坐标轴上，是否存在以D、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标，若不存在，请说明理由．

6．如图，直线AD： 与坐标轴交于A、D两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，过C作CG⊥y轴于G点，过点C的反比例函数 与直线AD交于E、F两点．

(1)求反比例函数 表达式；

(2)根据图像，求出不等式 的解集；

(3)在x上是否存在一点Q使△CBQ为等腰三角形，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．

7．如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像相交于点 ， 两点，分别连接 ， ．

(1)求这个反比例函数的表达式；

(2)请根据函数图像的轴对称性，直接写出点 的坐标为____________，当 ，则自变量 的取值范围是______________；

(3)在平面直角坐标系内，是否存在一点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与y轴交于点B，与x轴交于点 ．

(1)求k与m的值；

(2)点 为x轴正半轴上的一点，且 的面积为 ，求a的值．

(3)在（2）的条件下，在平面内是否存在一点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；不存在，请说明理由．

9．如图，在 中， ， ， ．一次函数交 轴于点 ，交反比例函数于 、 两点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)求 的面积；

(3)问：在直角坐标系中，是否存在一点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图所示，反比例函数y （m≠0）的图象与一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象交于A（2，a＋2）、B（a﹣10，﹣1）两点，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D．

(1)分别求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)若P（t，0）（t≠2）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设MN的长为d，求出d与t之间的函数关系式；

(3)在第二象限内是否存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

11．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形， ， ，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．

(1)用含t的代数式表示： _______cm， _______cm；

(2)函数 的图像在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5 ，试求此时t的值：

(3)点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．

12．如图，点 是函数 图像上的任意一点，过点 作AB x轴，交另一个函数 的图像于点 ．

(1)若 ，则 ________．

(2)当 时，若点 的横坐标是1，则线段 ________．

(3)若无论点 在何处，函数 图像上总存在一点 ，使得四边形 为平行四边形，求 的值．

13．如图，直线 交反比例函数 的图象于点 和点B．

(1)求：m、k的值；

(2)若直线 ，交反比例函数另一支图象于点C，求C的坐标．

(3)在y轴上是否存在点D，使 ，若存在，求出点D坐标，不存在，说明理由．

14．已知如图，直线 与双曲线 的图象相交于A（2，﹣3）、B（﹣3，m）两点．

(1)求直线和双曲线的解析式．

(2)连接OA、OB，已知点P在x轴上，且 ，求点P的坐标．

(3)直线AB与x轴交于点C，在y轴上是否存在一点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

15．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 两点．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)连接 并延长交双曲线于点C，点D为y轴上一动点，点E为直线 上一动点，连接 ，求当 最小时点D的坐标；

(3)在（2）的条件下，连接 ，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

16．如图1，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上．已知点A（0，m），C（n，0），且m、n是关于x的方程x²－6x＋8＝0的两个根（m＜n）．点D是OC的中点，连接AD．

(1)求点B的坐标；

(2)若反比例函数 (k≠0)的图像经过点B，点Q为y轴上一点，点P为反比例函数图像上一点，是否存在点Q，使以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，若反比例函数 (k≠0)的图像恰好与四边形ABCD的边有两个交点，则k的取值范围是．

17．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数 的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为 ．

(1)求反比例和一次函数解析式．

(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．

(3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．

18．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点C．

(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；

(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形 ，点 恰好落在反比例函数的图象上，求此时点 的坐标；

(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、 、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

19．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数 （ 为常数， ）的图像经过点 ， 两点．

(1) 与 的数量关系是（   ）

A．             B．             C．             D．

(2)如图2，若点 绕 轴上的点 顺时针旋转90°，恰好与点 重合．

①求点 的坐标及反比例函数的表达式；

②连接 、 ，则 的面积为_________；

3. 若点 在反比例函数 的图像上，点 在 轴上，在（2）的条件下，是否存在以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．

20．如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，已知点 、 ，点 、 在第二象限内．

(1)点 的坐标_________；

(2)将正方形 以每秒2个单位的速度沿 轴向右平移 秒，若存在某一时刻 ，使在第一象限内点 、 两点的对应点 、 正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时 的值以及这个反比例函数的解析式；

(3)在（2）的情况下，问是否存在 轴上的点 和反比例函数图像上的点 ，使得以 、 、 、 四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点 的坐标；若不存在，请说明理由．

21．在平面直角坐标系中，点D是反比例函数y= 的一点，点D的纵坐标为6．

1. 当一次函数 的图象与x轴交于点 ，与反比例函数y= 的图象交于A，C两点，点 是x轴上一定点，已知点A的纵坐标为4．求一次函数和反比例函数的解析式；

2. 在（1）的条件下，在线段AB上找点Q使得 的面积为7时，求点Q的坐标；

3. 如图2，在第一象限内，在反比例函数上是否存在不同于点D的一点F，满足 ，且 ，若存在求出点D的坐标．若不存在，请说明理由．

22．如图，矩形 的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，已知顶点 ，反比例函数 的图像与 分别交于D，E， ．

(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；

(2)写出 与 的位置关系并说明理由；

(3)若点F在直线 上，点G在反比例函数 的图像上，是否存在合适的F、G点，使四边形 平行四边形，若存在，请求出点G的坐标．若不存在，请说明理由．

23．如图1，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 交于A、B两点（点A在点B左边），过A、O两点作直线，与双曲线的另一交点为D，过B作直线AO的平行线交双曲线于点C．

(1)则点A坐标为　，点B坐标为　；

(2)点M在x轴上，在平面内是否存在一点N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，点P在y轴上，连接PB，交直线AO于点E，连接CE、PA，且 ，求点P坐标．

24．如图1，一次函数 的图像与y轴交于点B，与反比例函数 的图像交于点 ，点C是线段AB上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，与x轴交于点H，连接OC、OD．

(1)一次函数表达式为_________；反比例函数表达式为_______；

(2)在线段CD上是否存在点E，使点E到OD的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)将 沿射线BA方向平移一定的距离后，得到 ．

①若点O的对应点 恰好落在该反比例函数图像上（如图2），求出点 、 的坐标；

②如图3，在平移过程中，射线 与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以 、 、F﹑Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点 的坐标．

参考答案

1．(1)见分析；(2)见分析，定值为10；(3)存在，理由见分析， ．

【分析】（1）求出点 、 的坐标分别为 、 ，得到 ，而 ，又 ，故 ，即可求解；

（2）设点 的坐标为 ，利用勾股定理求得 ，而 ，则 ，即可求解；

（3）四边形 为平行四边形，则 ，求出点 的坐标为 ，进而求解．

解：（1）证明：对于 ，

令 ，解得 ，令 ，则 ，

即点 、 的坐标分别为 、 ，

，

，

，又 ，

，

，即 平分 ；

（2）证明：设点 的坐标为 ，

，

，

， ，

，

，

即 为定值，该定值为10；

（3）解：存在，理由：

由（1）知， ，

四边形 为平行四边形，

，

当 时， ，解得 ，

故点 的坐标为 ，

将点 的坐标代入反比例函数表达式得： ，解得 （舍去正值），

故 ，

故直线 的表达式为 ，

即存在直线 ，使得四边形 为平行四边形，该直线的解析式的表达式为 ．

【点拨】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的性质、平行四边形的性质等，有一定的综合性，难度适中．

2．(1) ； ；(2) ；(3) 或

【分析】（1）先把点A的坐标为 代入反比例函数 求得 的值，再把点B的坐标为 代入反比例函数的解析式求得 ，最后把A，B两点代入 即可求解；

（2）利用一次函数的解析式求得点 的坐标，利用 即可求解；

（3）存在，分两种情况：①若 时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若 时，如图所示，过点 作 轴，垂足为点 ，即可求解．

（1）解：∵点A的坐标为 在反比例函数的图象上，

∴ ，

∴反比例函数的解析式为 ，

又∵点B的坐标为 也在 上，

∴ ，

∵A的坐标为 ，B的坐标为 都在一次函数 的图象上，

∴ ，解得 ，

∴一次函数的解析式为 ；

（2）解：∵直线 与 轴交于点 ，

∴ ，

∴ ，

∵A的坐标为 ，B的坐标为 ，

∴

（3）解：∵点 在 轴上，设点 ，则 ，

若 时，如图所示，

∵点A的坐标为 ，

∴ ， ，

∵ 是直角三角形，

∴ ，即 ，

解得 ，

∴点 的坐标为

若 时，如图所示，过点 作 轴，垂足为点 ，

∵点A的坐标为 ，

∴点 的坐标为 ，

综上可得点 的坐标为 或 ．

【点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键．

3．(1) ；(2) ；(3)存在． ， ，

【分析】（1）用因式分解法求出方程的两个根即可求解；

（2）根据 求出点P的坐标，然后用待定系数法求解即可；

（3）分3种情况，画出图形，结合图形特点求解即可．

解：（1） ，

，

， ．

∵ ，

∴ ．

∴ ．

（2）∵ ，

∴ ．

∴点P的坐标为 ．

设过点P的反比例函数解析式为 ．将点 代入，得 ．

∴过点P的反比例函数解析式为 ．

（3）存在．

如图1，当 为正方形 的对角线时，

过点M作 交 的延长线于点E，过点C作 交直线 于点F．

∵四边形 是正方形，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ，

∴ ．

，

∴ ．

设 ，则 ，

∴ ．

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， （舍去），

∴ ，

∴ ．

∵把 先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得 ，

∴把 先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得 ；

如图2，当 为正方形 的边时，

过点N作 于点H，

∵四边形 是正方形，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

如图3，当 为正方形 的边时，

由图2可知， ，

∵把 先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得 ，

∴把 先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得 ；

综上可知，点N的坐标为： ， ， ．

【点拨】本题考查了正方形的性质，解一元二次方程，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，以及平移的性质，作出辅助线构造全等三角形是解（3）的关键．

4．(1) ； ；(2)存在； 或 ，理由见分析

【分析】（1）将 代入 可求m的值，从而可得点B坐标，再根据待定系数法求解．

（2）设直线 交x轴于点C，由 求解；再设 轴上存在一点 ，表示出 的面积，利用 即可求解．

（1）解：（1）将 代入 得

，解得 ，

∴ ，

将 代入 ，

得 ，

解得 ，

∴点B坐标为 ，

将 ， 代入 得

，

解得 ，

∴ ．

（2）解：存在，

理由如下：设直线 交x轴于点C，再设 轴上存在一点 ，

对于直线 ，

当 时， ，解得 ，

∴ ，

∴ ，

又∵ ， ，

∴ ．

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

解得 或 ，

∴ 或

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程的关系．

5．(1) ； ；(2) ；(3) ， ，

【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到点D的坐标，再利用待定系数法求函数的解析式．

（2）周长最短，找到D的对称点 ，此时周长最短．

（3）若要形成平行四边形，则需要分类讨论对边相等即可．

解：(1) 是AB的中点，且

在反比例函数 的图象上

反比例解析式：

在反比例函数 的图象上

和 在直线DE： 上

解得：

的解析式为：

(2)作点D关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于点P，连接PD．

点D与点 关于y轴的对称

此时 的周长最小为：

设直线 的解析式：

和 在直线 上

解得：

直线 的解析式：

当 时，

的坐标为：

(3) 点M在反比例函数的图象上，点N在坐标轴上

①设 ，

（1）当DN和ME为对角线，即

，

解得：

此时： ， ，此时，DEMN四点共线，故舍去

不存在存在满足条件的平行四边形

（2）当DM和NE为对角线，即

，

解得：

此时： ， ，存在满足条件的平行四边形

（3）当MN和DE为对角线，即DN=ME

D(1,4)，E(2,2)

解得：

此时： ， ，存在满足条件的平行四边形

②设 ，

（1）当DE为对角线，即

解得：

此时： ， ，存在满足条件的平行四边形

（2）当DN和ME为对角线，即

解得：

此时： ， ，存在满足条件的平行四边形

（3）当DM和NE为对角线，即

，

解得：

此时： ， ，此时，DEMN四点共线，故舍去

不存在满足条件的平行四边形

综上， ， ，

【点拨】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，平行四边形的性质及判定，轴对称最短路线的问题，正确的理解题意是解题的关键．

6．(1) ；(2) ；(3)Q点的坐标为： ， ， ， ， ．

【分析】（1）首先证明 ，再根据直线AD求出点A、D的坐标，利用全等三角形的对应边相等，写出点C的坐标，将点C的坐标代入反比例函数的解析式，即可得出反比例函数的表达式；

（2）利用图像可以看出当 时，一次函数图象在A点之后，E点之前符合条件，所以将一次函数与反比例函数的表达式联立，求出点E的坐标，点A的坐标（1）中已求出，根据两点的横坐标，即可得到不等式 的解集；

（3）△DAO≌△ABM得到点B的坐标，然后设出Q点的坐标，分别讨论当CB=CQ，BC=BQ，QC=QB时，得出Q点的坐标．

解：（1）证明： 四边形 是正方形，

， ，

，

轴，

，

，

，

在 和 中，

，

；

对于直线 ，

令 ，则 ，

，

，

令 ，则 ，

，

，

， ，

，将点 代入反比例函数 中，得 ，

反比例函数的解析式为 ①．

（2）解： 直线 的解析式为 ②，

联立①②得， ，

解得， 或 ，

， ；

由图象可得不等式 的解集为 ．

（3）证明：如图，过点B作BM垂直于x轴垂足为M，

∵四边形 是正方形，

∴ ， ，

∵BM⊥x轴，x轴⊥y轴，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

∵在△DAO和△ABM中

∴△DAO≌△ABM（AAS），

∴OA BM 1，OD AM 3，

∴OM AM－OA 2，

∴B（2，－1），

设Q（a，0）

CB＝ ，CQ＝ ，BQ＝

①当△CBQ为等腰三角形，CB＝CQ时，

∴ ，

∴ ，

解得： ，

此时 ，

②当△CBQ为等腰三角形，BC＝BQ时，

∴ ，

∴ ，

解得： ， ，

此时 ， ，

③当△CBQ为等腰三角形，QC＝QB时，

∴ ，

∴

解得： ，

此时 ，

∴Q点的坐标为： ， ， ， ， ．

【点拨】此题是反比例函数的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，待定系数法，解方程组等知识点，正确理解题意是解题的关键．

7．(1) ；(2) ， 或 ；(3)存在，

【分析】（1）将点 ，代入一次函数解析式求得 ，待定系数法求解析式即可求解；

（2）根据函数图像的轴对称性，直接写出点 的坐标，结合函数图像的交点坐标，即可求得自变量 的取值范围；

（3）根据对称性可得 ，则在 的上方，找到 关于 的对称点 ，根据中点坐标公式即可求解．

解：（1）∵一次函数 经过点 ，

∴ ，

∴ ．

∴ ．

∵反比例函数 经过点 ，∴ ，

∴反比例函数的解析式为 ，

（2）如图，过点 分别作 轴的垂线，交于点 ，

与 关于 轴对称，

关于 轴对称，

，

设 ，则 ，

在 上，

，

，

解得 ，

，

， ，

当 ，则自变量 的取值范围是 或 ．

（3）存在， ．

如图，连接 交 于点 ，

四边形 是菱形，

，

由（2）可知 在 上，设 ，

， ，

，

解得 ，

．

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数综合，菱形的性质，中点坐标公式，掌握反比例函数图像的性质是解题的关键．

8．(1)3，6；(2) ；(3)存在，坐标为 或 或

【分析】（1）将 代入一次函数求出一次函数解析式，再将 代入一次函数求出n，代入反比例函数即可得到答案；

（2）求出B点坐标，连接 ，根据 列方程即可得到答案；

（3）根据平行四边形性质对角线互相平分，分 、 、 三个对角线讨论即可得到答案．

（1）解：将 代入一次函数得，

，解得： ，

∴ ，

将 代入 得，

，

将 代入反比例函数得，

，

故答案为：3，6；

（2）解： 当 时， ，

∴ ，

由题意可得，

，

解得： ；

（3）解：由（2）得， ， ， ，

当 是对角线时，根据对角线互相平分可得，

，

，

∴ ；

当 是对角线时，根据对角线互相平分可得，

，

，

∴ ；

当 是对角线时，根据对角线互相平分可得，

，

，

∴ ；

综上所述Q的坐标为： 或 或 ．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点，围成特殊图形及面积问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题，根据平行四边形对角线互相平分分类讨论．

9．(1)一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为 ；(2) 的面积为 ；(3)存在，点 的坐标为 ， ，

【分析】（1）作 垂直于 轴，根据等腰三角形的三线合一求出 ，再由等腰直角三角形OAB求出点A的坐标，最后用待定系数法求出两个函数解析式即可；

（2）将三角形的面积转化为 ，再根据三角形面积公式进行计算即可；

（3）分别考虑OP，AP，BP为对角线构成的平行四边形，再求出P点坐标即可．

解：（1）作 垂直于 轴，垂足为点 ，

∵ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ．

∴

∴点

设一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为

将点 和 代入 ，得 ， ，

∴一次函数的解析式为 ．

将点 代入 ，得 ．

∴反比例函数的解析式为 ，

即一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为 ；

（2）将两个函数联立得 ，整理得2 ，

解得 ， ，所以 ， ，所以点

，

即 的面积为 ；

（3）由（1），（2）可知 ， ，O(0，0)，

当OP为对角线时，点P ；

当DP为对角线时，点P ；

当AP为对角线时，点P

∴点 的坐标为 ， ， ．

【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．

10．(1)y ，y x＋3；(2) ；(3)（﹣3，9）或（﹣9，3）或（ ， ）

【分析】（1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线AB的解析式求解，即可求出一次函数解析式；

（2）由题意得，M（t， t＋3），N（t， ），得出PM t＋3，PN ，分两种情况得出答案；

（3）先求出OC，OD，再分三种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案．

（1）解：∵反比例函数y （m≠0）的图象经过A（2，a＋2）、B（a﹣10，﹣1）两点，

∴ ，

解得：

∴A（2，4）、B（﹣8，﹣1），反比例函数的解析式是y ，

把A（2，4）、B（﹣8，﹣1）分别代入y＝kx＋b得，

解得 ，

∴一次函数的解析式为y x＋3；

（2）解：由题意得，M（t， t＋3），N（t， ），

∴PM t＋3，PN ，

当t＞2时，d＝PM﹣PN ；

当0＜t≤2时，d＝PN﹣PM

（3）解：由（1）知，直线AB的解析式为y x＋3，

令x＝0，则y x＋3＝3，

令y＝0，则0 x＋3，

∴x＝﹣6，

∴C（﹣6，0），D（0，3），

∴OC＝6，OD＝3，

如图，

∵ 是等腰直角三角形，

∴①当∠CDQ＝90°时，CD＝QD，

过点Q作QH⊥y轴于H，

∴∠QDH＋∠DQH＝90°，

∵∠CDQ＝90°，

∴∠QDH＋∠CDO＝90°，

∴∠CDO＝∠DQH，

∴ ，

∴QH＝OD＝3，DH＝OC＝6，

∴OH＝OD＋DH＝9，

∴Q（﹣3，9）；

②当∠DCQ＝90°时，同理可得， （﹣9，3）；

③当∠CQD＝90°时，

同理可得， ，

∴ ，CL＝DK，

∴设 （﹣a，a），

∴ ＝a，

∴CL＝6﹣a，DK＝a﹣3，

∴6﹣a＝3﹣a，

∴a ，

∴ （ ， ），

即满足条件的点Q的坐标为（﹣3，9）或（﹣9，3）或（ ， ）．

【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法，属反比例综合题，解题关键是添加辅助线构造全等三角形．

11．(1) ， ；(2)2．5；(3)存在 或 时，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形

【分析】（1）先分别求出OC=AB=5，CD=8，再根据P、Q的运动速度进行求解即可；

（2）先求出点P的坐标为（t，4），则反比例函数解析式为 ，点M的坐标为（5， ，），则 ， ，再根据 ，列出方程求解即可；

（3）先求出点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（2t-3，0），则 ， ， ，然后根据菱形的性质进行分类讨论求解即可．

（1）解：∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（5，4），

∴OC=AB=5，

∵点D的坐标为（-3，0），

∴OD=3，

∴CD=8，

∵点Q的运动速度为每秒2cm，点P的运动速度为每秒1cm，

∴

故答案为： ， ；

（2）：如图1，连接PM，

由（1）可知点AP=t，点M的横坐标为5，

∴点P的坐标为（t，4），

∵点P在反比例函数 上，

∴ ，

∴反比例函数解析式为 ，

当 时， ，

∴点M的坐标为（5， ），

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

解得 （负值已舍去）；

（3）解：由题意得，DQ=2t，AP=t，点C的坐标为（5，0）

∴点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（2t-3，0），

∴ ， ， ；

当PQ=PC时，则 ，

解得 （不合题意，舍去）；

当PQ=CQ时， ，

解得 （负值已舍去）；

当PC=CQ时，

解得 （负值已舍去）；

综上所述，存在 或 时，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形．

【点拨】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，反比例函数与几何综合等等，熟知相关知识是解题的关键．

12．(1)－6；(2) ；(3)存在，

【分析】（1）如图：AB交y轴于M，根据反比例函数的比例系数的几何意义得 ， ，由于 ，则 ，即可得出k的值；

（2）由 可得出 ，再由 可得出 ，即可得出 的长度；

（3）如图，作 轴于点 ， 于点 ，证 ，得出D点的坐标即可得出 的值．

（1）解：如图：AB交y轴于M，

∵点 是函数 ，点 是函数 ，

∴由反比例函数的比例系数的几何意义得： ， ,

∵ ,

∴ ,

∴ ；

故答案为： ；

（2）由题意得：

当 时， ，

∴ ，

当 时， ，

当 时， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

故答案为： ；

（3）存在，点 在点 上方，

如图，作 轴于点 ， 于点 ，

设 ，则 ，则 ， ，

∵四边形 为平行四边形，

∴ ， ，

∴ ，

∵ 轴，

∴ ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

解得 ．

【点拨】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义和平行四边形的性质是解题的关键．

13．(1)m=6，k=6；(2)(-6,-1)；(3) 或者

【分析】（1）将A点坐标代入直线解析式即可求出m，再将求得的A点坐标代入反比例函数解析式即可求解k值；

（2）联立一次函数和反比例函数的解析式求出B点坐标，设直线AB分别交y轴、x轴于点M、N，直线AC交x轴于点E，过A点作AF⊥x轴于点F，易求得M点坐标为(0,7)，N点坐标为(7,0)，可得△MON是等腰直角三角形，再证明△AEN是等腰直角三角形，根据AF⊥x轴，有EF=FN，进而可得E点坐标为(-5,0)，用待定系数法即可求出直线AC的解析式，再与反比例函数解析式联立即可求出C点坐标；

（3）根据题意设D点坐标为(0,t)，∠BDC=90°，连接BC，可得△BDC是直角三角形，利用勾股定理即可求解．

解：（1）将A(1,m)代入 得，m=-1+7，

则m=6，

即A点坐标为(1,6)，

将A点坐标(1,6)代入 ，得 ，

即k=6，

故m=6，k=6；

（2）根据（1）的结果可知，反比例函数的解析式为 ；

联立： ，可得 ，

利用因式分解法，可得： ， ，

则可得B点坐标为(6,1)，

设直线AB分别交y轴、x轴于点M、N，直线AC交x轴于点E，过A点作AF⊥x轴于点F，如图，

根据直线AB的解析式 ，求得M点坐标为(0,7)，N点坐标为(7,0)，

∴OM=ON=7，

∴△MON是等腰直角三角形，

∴∠MNO=45°，

∵AB⊥AC，

∴∠EAN=90°，

∴∠AEN=45°=∠ANE，

∴△AEN是等腰直角三角形，

∵AF⊥x轴，

∴EF=FN，

∵A(1,6)，

∴OF=1，

∴FN=ON-OF=7-1=6，

∴EF=6，

∴OE=EF-OF=6-1=5，

∴E点坐标为(-5,0)，

设直线AC的解析式为 ，

∵A(1,6)，E点坐标为(-5,0)，

∴ ，解得 ，

直线AC的解析式为 ，

联立： ，可得 ，

利用因式分解法，可得： ， ，

∴C点坐标为(-6,-1)，

即C点坐标为(-6,-1)；

（3）存在，

根据题意设D点坐标为(0,t)，

∵∠BDC=90°，

∴连接BC，可得△BDC是直角三角形，

如图

即利用勾股定理有： ， ， ，

∵在Rt△BDC中，有 ，

∴ ，

解得 ，

∴D点坐标为 或者 ，

即D点坐标为 或者 ．

【点拨】本题是一次函数和反比例函数的综合题，考查了求解反比例函数解析式和一次函数解析式、勾股定理、求解反比例函数与一次函数交点坐标以及解一元二次方程等知识，难点在第二小问，根据直线AC的解析式判断其与坐标轴夹45°角，并构造等腰Rt△AEN是解答本题的关键．

14．(1) ， ；(2)（5，0）或（-5，0）；(3)

【分析】（1）先由点A坐标求出双曲线解析式，进而求出点B坐标，最后用待定系数法即可求出直线AB的解析式；

（2）先求出△ABO的面积，进而得出△PBO的面积设即可求出OP即可得出结论

（3）作点C关于y轴的对称点 ，则 ，连接 ，CD，求出直线 的解析式即可得出结论．

（1）解：把点A（2，﹣3）代入 得：

，解得： ，

∴反比例函数的解析式为 ，

把点B（﹣3，m）代入 得：

，

∴点B（-3，2），

把点A（2，﹣3），B（-3，2）代入 得：

，解得： ，

∴一次函数解析式为 ；

（2）解：如图，设直线AB交x轴于点C，

当 时，x=-1，

∴点C（-1，0），即OC=1，

∴ ，

设点P（n，0），

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴点P（5，0）或（-5，0）；

（3）解：存在，

如图，作点C关于y轴的对称点 ，则 ，连接 ，CD，

∴ ，

∴ ，

∴当点 三点共线时，△BCD的周长最小，

设直线 的解析式为 ，

把点B（-3，2）， 代入得：

，解得： ，

∴直线 的解析式为 ，

当x=0时， ，

∴点 ．

【点拨】此题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，最值的确定，利用数形结合思想解答是解题的关键．

15．(1)一次函数的解析式为 ；反比例函数解析式为 ；(2) ；(3) 或 或 或

【分析】（1）根据点 在反比例函数 的图象上，可求出反比例函数解析式为 ，从而得到点B的坐标，再把点A、B的坐标代入一次函数 ，即可求解；

（2）作点C关于y轴的对称点G，连接 ，过点G作 于点F，连接 交y轴于点J，设直线 交y轴于点H，交x轴于点L，则 ，可得当点E与点F重合时， 最小，最小值为 的长，再根据双曲线的对称性可得点 ，从而得到点G的坐标，再证得 是等腰直角三角形，可得点F与点L重合，从而得到此时点D与点J重合，即可求解；

（3）分两种情况讨论：当以 为边时， ，且 互相平分；当以 为对角线时， ，且 互相平分，即可求解．

（1）解：∵点 在反比例函数 的图象上，

∴ ，

∴反比例函数解析式为 ，

把点 代入得： ，

∴点 ，

把点 ， 代入 得：

，解得： ，

∴一次函数的解析式为 ；

（2）解：如图，作点C关于y轴的对称点G，连接 ，过点G作 于点F，连接 交y轴于点J，设直线 交y轴于点H，交x轴于点L，则 ，

∴ ，

即当点E与点F重合时， 最小，最小值为 的长，

对于 ，

当 时， ，当 时， ，

∴ ，

∴ ，

∵连接 并延长交双曲线于点C，点 ，

∴点 ，

∴点 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ 是等腰直角三角形，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴点F在 的垂直平分线上，

即点F与点L重合，

∴此时点D与点J重合，

∴当 最小时点D的坐标为 ；

（3）解：设点 ， ，

当以 为边时， ，且 互相平分，即

，解得： 或 ，

经检验：是原方程组的解，且符合题意，

∴点N的坐标为 或 ；

当以 为对角线时， ，且 互相平分，即

，解得： 或 ，

经检验：是原方程组的解，且符合题意；

∴点N的坐标为 或 ；

综上所述，点N的坐标为 或 或 或 ．

【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，矩形的性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象和性质，矩形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．

16．(1)（4，2）；(2)（0，6）或（0，-6）或（0，-2）；(3)1＜k＜8

【分析】（1）解方程x²-6x+8=0，得出m和n的值，可得点B的坐标；

（2）首先求出点D的坐标和反比例解析式，再分AD为边和对角线，分别画出图形，从而得到点Q的坐标；

（3）首先求出当直线AD与双曲线只有有个交点时k的值，从而得出k的范围．

（1）解：∵m、n是关于x的方程x²-6x+8=0的两个根，

∴m=2，n=4，

∴OA=2，OC=4，

∵四边形OABC是矩形，

∴B（4，2）；

（2）∵点B在反比例函数 上，

∴k=2×4=8，

∴ ；

∵点D是OC的中点，

∴D（2，0），

当AD为边时，若点P在第一象限，如图，

则DP∥y轴，

∴当x=2时，y=4，

∴PD=4，

∴Q（0，6），

当点P在第三象限时，由四边形ADQP是平行四边形可得，点P的横坐标为-2，

∴点P的纵坐标为-4，

∴点Q的纵坐标为-6，

∴点Q的坐标为（0，-6），

当AD为对角线时，如图，点P（2，4），

∴AQ=PD=4，

∴Q（0，-2），

综上：Q（0，6）或（0，-6）或（0，-2）；

（3）由题意知，直线AD的解析式为y=-x+2，

当 （k≠0）的图象与直线AD恰好有一个交点时，则-x+2= ，

∴x²-2x+k=0，

∴Δ=4-4k=0，

∴k=1，

∴反比例函数 （k≠0）的图象恰好与四边形ABCD的边有两个交点时，1＜k＜8，

故答案为：1＜k＜8．

【点拨】本题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，一元二次方程的解法，根的判定式，方程和函数的关系等知识，分AD为边或对角线是解题的关键．

17．(1) ， ；(2)0≤m≤ ；(3)点N坐标为（ ， ）；点M的坐标为（ ， ）

【分析】（1）延长AD交x轴于F，根据菱形的性质和勾股定理得到A、B的坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可；

（2）根据平移性质，只需求得点D平移后落在反比例函数图像上时的坐标即可求解；

（3）延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，证明△ONB≌△OFD（AAS）得到S_△ONB=S_△OFD，求出NH即可求得点N坐标，设M（x， ），利用中点坐标公式即可求出点M坐标．

（1）解：延长AD交x轴于F，

∵四边形ABCD是菱形，

∴OB=OD=AD，AD∥OB，

则AF⊥x轴，

∵点D坐标为（4，3），

∴OF=4，DF=3，

∴OD=5，即OB=AD=5，

∴A（4，8），B（0，5），

∴k=4×8=32，

∴反比例函数的解析式为 ；

将A、B坐标代入 中，得

，解得： ，

∴一次函数的解析式为 ；

（2）解：由题意知，将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在反比例函数的图像D′处，

∵点D平移后的坐标为D′（4+m，3），

∴ ，

∴m= ，

∴满足条件的m的取值范围为0≤m≤ ．

（3）解：存在，理由为：

如图，延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，则∠NHO=∠OFD=90°，

由题意，∠ONB=∠NOD=∠HOF=90°，

则∠NOB=∠FOD，

又∠ONB=∠OFD=90°，OB=OD，

∴△ONB≌△OFD（AAS），

∴S_△ONB=S_△OFD，则 ，

∴NH= ，

∵点N在直线AB上，

∴当x= 时， ，

∴点N坐标为（ ， ）；

设M（x， ），则x+0= +4，

解得：x= ， ，

∴点M的坐标为（ ， ）．

【点拨】本题是反比例函数与几何图形的综合题，涉及菱形的性质、矩形的性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平移性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，利用数形结合思想求解是解答的关键．

18．(1)C（9，3）， ；(2) ；(3)存在，（－3，6）或（12，6）或 或

【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=OB=3，即可确定点的坐标；

（2）利用（1）中方法确定D(6,9)，由点A’恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点D’的坐标；

（3）根据题意进行分类讨论：当OA’=OP时；当A’O=A’P时；当PO=PA’时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可．

（1）解：过点C作CH⊥x轴，交于点H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBH=90°，

∵∠ABO+∠OAB=90°，

∴∠OAB=∠CBH，

∴∆AOB≅∆BHC，

∴BH=OA=6，CH=OB=3，

∴OH=9，

∴C(9，3)

∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，

∴k=9×3=27，

∴ ；

（2）如图所示，过点D作 轴， ， ,

同（1）方法可得： ，

∵ ，

∴四边形OGEA为矩形，

∴AO=EG=6，DE=OB=3，AE=AO=6，

∴D(6，9)，

∵点A’恰好落在反比例函数图象上，

∴当y=6时，x= ，

∴m= ，

∴D’(6+ ，9)即D’( ，9)；

（3）当OA’=OP时，如图所示：

∵A’( ，6)，

OA’= ，

四边形OPQA’是菱形，

A’Q∥OP，A’Q=OP，

Q(12,6)，

当点Q’在第二象限时，Q’(-3,6)；

当A’O=A’P时，如图所示：

点A’与点Q关于x轴对称，

Q( ，-6)；

当PO=PA’时，如图设P（m,0），

则PO=PA’，

∴ ，

解得： ，

∴OP=A’Q= ，

∴Q( ，6)，

综上可得：Q( ，6)或( ，-6)或(12,6)或(-3,6) ．

【点拨】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，（3）中根据等腰三角形进行分类讨论是解题关键．

19．(1)A；(2)① ， ；②8；(3)存在， ，

【分析】（1）将点的坐标代入函数解析数即可求得m，n的数量关系．

（2）①过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，证得 ，得到等边，再根据坐标利用等边建立关系求解坐标，最后求得反比例函数关系式；

②借助割补法求面积，将 的面积补全在五边形中，利用“大-小”求得面积．

（3）将AB边分别看作平行四边形的边和对角线，进行分类讨论求得M坐标．

解：（1）将点 ， 分别代入 ，

得 ，

故选A．

（2）①由（1）得： ， ，设

过点A作 轴于点 ，过点B作 轴于点

∴

∴

∴

∵

∴

∴

即

∴

∴ ，

∴反比例函数的表达式为

②如图，作 轴， 轴， 轴，

由①知， ，

则

综上所述， 的面积为8．

故答案为：8．

（3） ，

图解：① 为边

即：

② 为对角线

即：

【点拨】本题考查反比例函数的图像及性质，割补法求面积，平行四边形的存在性问题，解决本题的关键在于各知识的综合应用．

20．(1)(﹣3，1)；(2) ， ；(3)存在， 或 或

【分析】对于（1），先求出OA=6，OG=7，DG=3，再判断△DGA≌△AHB，得DG=AH=3，BH=AG=1，即可得出答案；

对于（2），先根据运动表示出点 ， 的坐标，进而求出k，t，即可得出结论；

对于（3），先求出点 ， 的坐标，再分三种情况讨论，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出解，即可得出结论．

解：（1）过点B，D作BH⊥x轴，DG⊥x轴交于点H，G，

∵点A（-6，0），D（-7，3），

∴OA=6，OG=7，DG=3，

∴AG=OG-OA=1．

∵∠DAG+∠BAH=90°，∠DAG+∠GDA=90°，

∴∠GDA=∠BAH．

又∠DGA=∠AHB=90°，AD=AB，

∴△DGA≌△AHB，

∴DG=AH=3，BH=AG=1，

∴点B的坐标是（-3，1）；

（2）由（1），得点B（-3，1），D（-7，3），

∴运动t秒时，点 ， ．

设反比例函数的关系式为 ，

∵点 ， 在反比例函数图象上，

∴ ，

解得 ，k=6，

∴反比例函数的关系式为 ；

（3）存在，理由：由（2）知，点 ， ， ，

∴ ， ，反比例函数关系式为 ，

设点Q ，点P（0，s）．

以点PQ 四个点为顶点的四边形是平行四边形，

∴①当PQ与 是对角线时，

∴ ， ，

解得 ， ，

∴ ， ；

②当 与 是对角线时，

∴ ， ，

解得 ， ，

∴ ， ；

③当 与 是对角线时，

∴ ， ，

解得 ， ，

∴ ， ．

综上所述： 或 或 ．

【点拨】这是一道关于反比例函数的综合题目，主要考查了待定系数法，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．

21．(1)一次函数的表达式为 ，反比例函数的解析式为 ；(2)

；(3)存在，满足题意的点D的横坐标为 或

【分析】（1）将点B坐标代入直线AC的解析式中求出 ，进而得出一次函数解析式，进而求出点A坐标，最后将点A坐标代入反比例函数解析式中，即可求出反比例函数解析式；

（2）设点 ，利用 的面积为7，建立方程求解，即可得出答案；

（3）根据题意分两种情况①当点F在D下方时，过点D作 轴于点E，这点F作 于点N，②当点F在点D上方时，过点D作 轴于点G，过点F作 于点M，分别求解即可．

解：（1）∵点 在直线 上．

∴ ，

∴ ，

∴一次函数的解析式为 ；

∵点A在直线 上，且点A的纵坐标为4，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

∵点A在双曲线 上，

∴ ．

∴反比例函数的解析式为 ；

（2）由（1）知，直线 的解析式为 ，

设点 ，如图1，

∵ ，

∴ ，

∵ 的面积为7，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

（3）需要分两种情况：

①当点F在D下方时．如图，过点D作 轴于点E，这点F作 于点N，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，∴ ，

设点D的横坐标为n，则 ，

∴ ，∴ ，

∴ ，

解得 （负值舍去）．

即此时点D的坐标为： ．

②当点F在点D上方时，如图，过点D作 轴于点G，过点F作 于点M，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ．

∴ ，

设点D的横坐标为t，则 ，

∴ ，

∴ ．

∴ ．

解得 （负值舍去）．

即此时点D的横坐标为： ．

综上，满足题意的点D的横坐标为： 或 ．

【点拨】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，相似三角形的性质，正确理解题意是解题的关键．

22．(1) ， ；(2) ，理由见分析；(3)存在，点G的坐标为 或

【分析】（1）先求出点D坐标，代入解析式可求解析式；

（2）通过证明对应线段成比例即 ，从而证明 ；

（3）分两种情况进行讨论：①当点F在点C的下方时；②当点F在点C的上方时；然后分别进行求解即可．

（1）解：∵ ，则 ，而 ，

∴ ，故点 ，

将点D的坐标代入反比例函数表达式得：

解得 ，

故反比例函数表达式为 ，

当 时， ，

故点 ；

（2） ．理由如下：

由（1）知， ，点 ，点 ，

，

，

，

∴ ；

（3）①当点F在点C的下方时，此时点G在点F的右方，如下图，

过点F作 轴于点H，

∵四边形 为平行四边形，则 ，

∴设 ，

，

，

，

故点 ，则点 ；

②当点F在点C的上方时，得 ，

同理可得，点 ．

综上，点G的坐标为 或 ．

【点拨】此题是反比例函数综合题，考查了平行四边形的性质，待定系数法求解析式，矩形的性质，三角形一边平行线的判定定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

23．(1)(-6，4)，(-3，8)；(2)存在， 或 或 或（10，-6）；(3)（0，-4）或（0，28）

【分析】（1）联立 ，即可求解；

（2）先求出点D（6，-4），先求出直线AD的解析式为 ，可得到直线BC的解析式为 ，可得到点C（12，-2），设点M（a，0），点N（m，n），然后分三种情况讨论：当CD=CM且DM和CN的中点重合时；当DM=CD且CM和DN的中点重合时；当DM=DN且CD与MN的中点重合时，即可求解；

（3）连接AC，过点C作CG⊥y轴交AB于点G，设直线AB交y轴于点F，则点G的纵坐标为-2，可得点 ，再根据 ，可得 ，设点P（0，s），根据 ， ，可得到关于s的方程，即可求解．

（1）解：联立得： ，

解得： 或 ，

∴点A(-6，4)，B(-3，8)；

故答案为：(-6，4)，(-3，8)

（2）解：根据题意得：点D与点A关于原点对称，

∵点A(-6，4)，

∴点D（6，-4），

设直线AD的解析式为 ，

把点A(-6，4)代入得： ，

解得： ，

∴直线AD的解析式为 ，

∵ ，

∴可设直线BC的解析式为 ，

把点B(-3，8)代入得： ，

解得：b=6，

∴直线BC的解析式为 ，

联立得： ，

解得： 或 ，

∴点C（12，-2），

∴ ，

设点M（a，0），点N（m，n），

当CD=CM且DM和CN的中点重合时，

，

解得： 或 （舍去），

∴点N的坐标为（0，-2）；

当DM=CD且CM和DN的中点重合时，

∴ ，

解得： 或 ，

∴此时点N的坐标为 或 ；

当DM=DN且CD与MN的中点重合时，

∴ ，

解得： ，

∴此时点N的坐标为（10，-6）；

综上所述，点N的坐标为（0，-2）或 或 或（10，-6）；

（3）

解：连接AC，过点C作CG⊥y轴交AB于点G，设直线AB交y轴于点F，则点G的纵坐标为-2，

∴ ，

解得： ，

∴点 ，

∵ ，

∴ ，

当x=0时，y=12，

∴点F（0，12），

设点P（0，s），

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

解得： 或28，

∴点P坐标为（0，-4）或（0，28）．

【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象和性质，利用分类讨论思想和数形结合解答是解题的关键．

24．(1) ， ；(2)存在，点 坐标为 ；(3)①点 ， ，点 ， ；②点 的坐标为 ， 或 或 ．

【分析】（1）待定系数法求解析式即可；

（2）设点 ，根据 的面积列方程，求解即可；

（3）①连接 ，根据平行线的性质，可得直线 的解析式，联立直线 解析式与反比例函数解析式，求出点 坐标，根据平移的性质进一步即可求出点 坐标；

②根据平移的性质，先求出直线 的解析式，表示出 ， ， 的坐标，可得 ， ， ，以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：当 ， 为边时，当 、 为边时，当 、 为边时，分别列方程，求解即可．

（1）解：将点 代入一次函数 ，

得 ，

解得 ，

一次函数的表达式： ，

将点 代入反比例函数 ，

得 ，

反比例函数表达式： ，

故答案为： ， ；

（2） 点 的横坐标为3，过点 作 轴的平行线与该反比例函数的图像交于点 ，

点 ，点 ，

，

设点 ，

点 到 的距离等于它到 轴的距离，

，

解得 ，

点 坐标为 ；

（3）①连接 ，如图所示：

根据平移的性质可得 ，

直线 的解析式： ，

联立 ，

解得 或 （不合题意，舍去），

点 ， ，

根据平移的性质，可得点 ， ；

② 点 ，

设直线 的解析式： ，

代入点 ，

得 ，

解得 ，

直线 的解析式： ，

根据平移，可得 ，

设直线 的表达式为 ，

直线 的解析式为 ，

设平移后的点 为 ，则点 ，

将点 坐标代入 ，

得 ，

解得 ，

直线 的表达式为： ，

当 时， ，

点 ，

， ， ，

以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：

当 ， 为边时， ，

解得 或 （舍去），

点 ， ，

当 、 为边时， ，

解得 ，

点 ；

当 、 为边时， ，

解得 （舍 或 ，