【324256】2024八年级数学下册 专题6.31 反比例函数（动点问题）（培优篇）（新版）浙教版

专题6.31 反比例函数（动点问题）（培优篇）

一、单选题

1．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数 上一个动点， 轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会 　　

A．先增后减 B．先减后增 C．逐渐减小 D．逐渐增大

2．如图，一次函数与反比例函数的图像交于A（1，12）和B（6，2）两点．点P是线段AB上一动点（不与点A和B重合），过P点分别作x、y轴的垂线PC、PD交反比例函数图像于点M、N，则四边形PMON面积的最大值是（　  　）

A． B． C．6 D．12

3．如图，已知A、B是反比例函数 （ ， ）图象上的两点， 轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C．过P作 轴， 轴，垂足分别为M、N．设四边形 的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（  ）

A． B．

C． D．

4．如图，A、B是函数 上两点， 为一动点，作 轴， 轴，下列说法正确的是(    )

① ；② ；③若 ，则 平分 ；④若 ，则

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④

5．如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标是 ，点B是函数 图象上的一个动点，过点B作 轴交函数 的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧，且 ，连接 ．有如下四个结论：①四边形 可能是菱形；②四边形 可能是正方形；③四边形 的周长是定值；④四边形 的面积是定值．所有正确结论的序号是（    ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

6．已知反比例函数y= 和正比例函数y= 的图像交于点M，N，动点P(m，0)在x轴上.若△PMN为锐角三角形，则m的取值为(  )

A．-2＜m＜ 且m≠0 B．- ＜m＜ 且m≠0

C．- ＜m＜- 或 ＜m＜ D．-2＜m＜- 或 ＜m＜2

7．函数 和 在第一象限内的图像如图，P是 的图象上一动点， PC⊥ x轴于点 C，交  的图象于点 A，PD ⊥y 轴于点D，交 的图像于点B，当点P在 的图像上运动时，下列结论错误的是（    ）

A．△ODB与△OCA的面积相等 B．当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点

C． D．当四边形 OCPD 为正方形时，四边形 PAOB 的面积最大

8．如图，已知动点P在函数 的图象上运动， 轴于点M， 轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB： 交于点E，F，则 的值为（    ）

A．4 B．2 C．1 D．

9．如图，在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上有动点A，连接OA，y＝ （x＞0）的图象经过OA的中点B，过点B作BC∥x轴交函数y＝ 的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y＝ 的图象于点D，交x轴点E，连接AC，OC，BD，OC与BD交于点F．下列结论：①k＝1；②S_△BOC＝ ；③S_△CDF＝ S_△AOC；④若BD＝AO，则∠AOC＝2∠COE．其中正确的是（　　）

A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④

10．函数 和 在第一象限内的图象如图，点P是 的图象上一动点 轴于点C，交 的图象于点A， 轴于点D，交 的图象于点B．给出如下结论：

① 与 的面积相等；

② 与 始终相等；

③四边形 的面积大小不会发生变化；

④ ．

其中所有正确结论有（    ）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

11．如图，点A为反比例函数y＝ （k＜0．x＜0）图象上的动点，过点A分别作x轴，y轴的平行线交反比例函数y＝ 于点B、点C，若AB•AC＝9，则k的值为_____．

12．如图，点P是直线y＝3上的动点，连接PO并将PO绕P点旋转90°到PO′，当点O′刚好落在双曲线 （x＞0）上时，点P的横坐标所有可能值为_____．

13．如图，已知点 是双曲线 在第一象限上的一动点，连接 ，以 为一边作等腰直角三角形 （ ），点 在第四象限，随着点 的运动，点 的位置也不断的变化，但始终在某个函数图像上运动，则这个函数表达式为______．

14．如图，点A是双曲线y= 在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为_____．

15．点A（1，3）是双曲线y 上一点，点C是双曲线y 上动点，直线AC交y轴于点E，交x轴于点N，直线AO交另一支曲线于点B，直线BC分别交x轴于点M，交y轴于点F，则EF＝_____．

16．在直角坐标系中有过点 的反比例函数 ，在 轴上有一点 ，在反比例函数图象上有一个动点 ，以 为一边作一个正方形 ，当正方形 有两个顶点在坐标轴上时，点 坐标为__________．

17．如图，点P是反比例函数 的图象上的动点，点P绕着定点 顺时针旋转45°，得到一个新的点 ，过点 作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，若 的面积是 ，则k的值为______．

18．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与版比例函数 （x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（－4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．

（1）求反比例函数的解析式为_____________．

（2）根据图象直接写出kx＋b＜ 的x的取值范围为_____________．

（3）点D为反比例函数图象上使得四边形BCPD为菱形的一点，点E为y轴上的动点，当|DE－PE|最大时，求点E的坐标为_____________．

三、解答题

19．如图一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式

(2)求 的面积．

(3)根据图象直接写出 时, 的取值范围;

(4)已知点 ,设点 是坐标平面内一个动点,当点 , , , 为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出符合条件的所有点 的坐标.

20．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 两点．

1. 求一次函数和反比例函数的表达式；

2. 连接 并延长交双曲线于点C，点D为y轴上一动点，点E为直线 上一动点，连接 ，求当 最小时点D的坐标；

3. 在（2）的条件下，连接 ，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

21．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ， ．

(1)求函数 的表达式；

(2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围；

(3)点C是反比例函数 的图象上第一象限内的一个动点，当 的面积等于 的面积时，求C点的坐标．

22．如图，四边形 是菱形，点B在x的正半轴上，直线 交y轴于点D轴交x轴于点B，反比例函数 的图象经过点 ．

(1)求直线 的解析式

(2)如图1，点P是直线 上一动点，点M是x轴上一动点（点M不与点O点重合）．当 最小时，求点P的坐标；

(3)如图2，点N从A点出发，以每秒1个单位的速度沿折线A-C-B时停止，设点N的运动时间为t秒， 的面积为S，求S与t的函数关系式．

23．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ．

(1)求 ， 的值；

(2)直线 过点 ，与反比例函数图象交于点 ，与 轴交于点 ， ，连接 ．求 的面积；

(3)以线段 为对角线做正方形 （如图），点 是线段 （不与点 、 重合）上的一动点， 是 的中点， 交 于 ，当点 在 上运动时，请直接写出线段 长度的取值范围．

24．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．

(1)求点A和点C的坐标；

(2)如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；

(3)在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．D

【分析】过点P作PC⊥x轴于点C，根据k的几何意义可知矩形PBOC的面积为6，然后只需要讨论△APC的面积大小即可．

解：过点P作PC⊥x轴于点C，

∵点P在y=- （x＜0）

∴矩形PBOC的面积为6

设A的坐标为（a，0），P坐标（x，− ）（x＜0），

△APC的面积为S，

当a＜x＜0时，

∴AC=x-a，

∴PC=-

∴△APC的面积为S= （x-a）• =-3（1- ）

∵a＜0，

∴-a＞0，

∴- 在a＜x＜0上随着x的增大而减小，

∴1- 在a＜x＜0上随着x的增大而减小，

∴-3（1- ）在a＜x＜0上随着x的增大而增大，

∴S=S△_APC+6

∴S在a＜x＜0上随着x的增大而增大，

当x≤a时，

∴AC=a-x，

∴PC=-

∴△APC的面积为S= （a-x）• =-3（ -1）

∵a＜0，

∴ 在x＜a随着x的增大而增大，

∴ -1在x＜a上随着x的增大而增大，

∴-3（ -1）在x＜a上随着x的增大而减小，

∴S=6-S△_APC

∴S在x＜a上随着x的增大而增大，

∴当P的横坐标增大时，S的值是逐渐增大，

故选D．

【点拨】本题考查反比例函数的图象性质，解题的关键是将点P的位置分为两种情况进行讨论，然后根据反比例函数的变化趋势求出△APC的面积变化趋势．本题综合程度较高．

2．A

解：设反比例函数解析式为y= ，一次函数解析式为y=ax+b，将点A（1，12）代入y= 中，得k=12，∴反比例函数解析式为y= ，将点A（1，12）、B（6，2）代入y=ax+b中，得 ，解得 ，∴一次函数解析式为y=﹣2x+14．

设点P的坐标为（m，14﹣2m），则S_四边形PMON=S_矩形OCPD﹣S_△OCM﹣S_△ODN=S_矩形OCPD﹣|k|=m（14﹣2m）﹣12=﹣2m²+14m﹣12=﹣2 + ，∴四边形PMON面积的最大值是 ．

故选A．

点睛：本题考查了待定系数法求函数解析式以及反比例函数与一次函数交点的问题，解题的关键是找出S_四边形PMON关于m的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，利用分割图形求面积法是解题的关键．

3．C

【分析】根据点P的位置，分①点P在 上时，②点P在反比例函数图象 段时，③点P在 段，表示出四边形 的面积，最后判断出函数图象即可得解．

解：①当点P在 上运动时， ， ，α角度固定，因此S是以y轴为对称轴的二次函数，开口向上；

②当点P在 上运动时，设P点坐标为 ，则 ，为定值，故B、D选项错误；

③当点P在 上运动时，S随t的增大而逐渐减小，故A选项错误．

故选：C．

【点拨】本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P在O→A、A→B、B→C三段位置时四边形 的面积计算方式．

4．B

【分析】①显然AO与BO不一定相等，由此可判断①错误；②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交y轴于点F，根据矩形的性质以及反比例函数的性质判断②正确；③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，由已知可推导得出PM=PN，继而可判断③正确；④设P（a，b），则B（a， ），A（ ，b），根据S△_BOP=4，可得ab=4，继而可判断④错误．

解：①显然AO与BO不一定相等，故△AOP与△BOP不一定全等，故①错误；

②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交y轴于点F，

∵AP//x轴，BP//y轴，

∴四边形OEPF是矩形，S△_EOP=S△_FOP，

∵S△_BOE=S△_AOF= k=6，

∴S△_AOP=S△_BOP，故②正确；

③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，

∵S△_AOP= OA•PN，S△_BOP= BO•PM，S△_AOP=S△_BOP，AO=BO，

∴PM=PN，

∴PO平分∠AOB，即OP为∠AOB的平分线，故③正确；

④设P（a，b），则B（a， ），A（ ，b），

∵S△_BOP= BP•EO= =4，

∴ab=4，

∴S△_ABP= AP•BP= =8，

故④错误，

综上，正确的为②③，

故选B．

【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，正确添加辅助线、熟知反比例函数k的几何意义是解题的关键．

5．D

【分析】根据题意可知 ，结合 ，可知四边形ABCD是平行四边形，设B点坐标为 ，则C点坐标为 ，即可求出BC= ，利用勾股定理可得 ，①利用菱形的性质即可判断；②根据正方形的性质，可知AB⊥AD，即有a=5，求出B点坐标，即可判断；③随便取两个点举反例即可判断；④过点C作CE⊥x轴于E点，过B点作BF⊥x轴于F点，将四边形ABCD的面积转化为四边形BCEF的面积，即可判断．

解：：∵BC⊥y轴，

∴ ，

∵ ，

∴四边形ABCD是平行四边形，

设点B点坐标为 ，则C点坐标为 ，结合A点坐标为(5,0)，

∴BC= ， ，

①当a=5时，BC= ，AB= ，此时AB＜BC，

当a=1时，BC= ，AB= ，此时AB＞BC，

随着a值的变化，显然存在AB=BC的情况，则平行四边形ABCD可能是菱形，故①正确；

②若平行四边形ABCD是正方形，则AB⊥AD，此时A、B的横坐标相等，

∴a=5，此时BC= ，AB= ，AB≠BC，

故平行四边形ABCD不可能是正方形，故②错误；

③∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD的周长为：2(AB+BC)，

当a=5时，BC= ，AB= ，

周长为：2(AB+BC)= ，

当a=1时，BC= ，AB= ，

周长为2(AB+BC)= ，

显然此时上述二者的周长不相等，故③错误；

④过点C作CE⊥x轴于E点，过B点作BF⊥x轴于F点，如图，

则有四边形ABCD的面积转化为四边形BCEF的面积，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，故面积为定值，

故④正确；

故选：D．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上的坐标特征、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上的坐标特征．

6．C

【分析】将两个函数联立求解可确定点M、N的坐标，然后由锐角三角形的判定及勾股定理分类讨论求解即可得出取值范围．

解：正比例函数解析式与反比例函数解析式组成方程组 ，

即 ，

解得 ， ，

假设M(2,1)，N(-2,-1)，

当 时，

∵ ， ， ，

∴ ，

∴ ， ，

当 时， ,

∴ ，

当 时， ,

∴ ，

综上， 或 ．

故选C

【点拨】本题考查了反比例函数和正比例函数，锐角三角形的判定，熟练运用反比例函数和正比例函数的性质，熟练拓展勾股定理的逆定理，是解决本题的关键．

7．D

【分析】根据反比例函数的图象和性质，特别是反比例函数k的几何意义，对四个选项逐一进行分析，即可得出正确答案

解：A、由于点A和点D均在同一个反比例函数 的图象上，

所以 ， ，

故 和 的面积相等，

故本选项正确；

B、如图，连接OP，

则 ，

A是PC的中点，

，

，

，

即 ，

∴B一定是PD的中点，

故本选项正确；

C、设 ，

则 ， ，

，

故 ， ，

，

故本选项正确；

D、由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA的面积为定值，

所以四边形PAOB的面积不会发生变化，

故本选项错误；

故选：D．

【点拨】本题考查了反比例函数综合题，关键是设P点坐标，利用点与点的坐标关系以及反比例函数的性质表现相关线段的长，要对每一个结论进行判断．

8．C

【分析】由于P的坐标为 ，且 ， ，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出 ．

解：作 轴，

的坐标为 ，且 ， ，

的坐标为 ，M点的坐标为 ，

，

在直角三角形BNF中， ，三角形OAB是等腰直角三角形 ，

，

点的坐标为 ，

同理可得出E点的坐标为 ，

， ，

，即 ．

故选C．

【点拨】本题考查了反比例函数的性质、勾股定理，解题的关键是通过反比例函数上的点P坐标，来确定E、F两点的坐标，进而通过勾股定理求出线段乘积的值．

9．D

【分析】设 ，则 的中点 为 ， ，即可求得 ，即可判断①；表示出 的坐标，即可表示出 ，求得 ，即可判断②；计算出 ， ，即可求得 ，即可判断③；先证 是 的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出 ，根据等腰三角形的性质得出 ，从而得到 ，即可判断④．

解： 动点 在反比例函数 的图象上，

设 ，

的中点 为 ， ，

的图象经过点 ，

，故①正确；

过点 作 轴交函数 的图象于点 ，

的纵坐标 ，

把 代入 得， ，

，

，

，故②正确；

如图，过点 作 轴于 ．      

， ， ， ，

过点 作 轴交函数 的图象于点 ，交 轴点 ，

，

直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，

由 ，解得 ，

， ，

，

，

，

，故③正确；

， ， ， ， ，

是 的中点，

，

，

轴，

，

，

若 ，则 ，

，

．故④正确；

故选：D．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合，反比例函数系数 的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边上中线的性质，平行线的性质，解题的关键是利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标．

10．C

【分析】由于 是反比函数 上的点，可得出 故①正确；当P的横纵坐标相等时 ，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形 的面积为定值，故③正确；连接 ，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．

解：∵ 是反比函数 上的点，

，故①正确；

∵由图的直观性可知，P点至上而下运动时， 在逐渐增大，而 在逐渐减小，只有当P的横纵坐标相等时 ，故②错误；

∵P是 的图像上一动点，

∴矩形 的面积为4，

∴ ，故③正确；

连接 ，

    

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，故④正确；

综上所述，正确的结论有①③④．

故选：C．

【点拨】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．

11．﹣1或﹣4．

【分析】根据反比例函数y＝ 解析式设点A的坐标为（m， ），根据点A、B、C的关系及反比例函数y＝ ，求得B（ ， ），C（m， ），根据题意列方程即可得到结论．

解：设点A的坐标为（m， ），

∵过点A分别作x轴，y轴的平行线，交反比例函数y＝ 于点B、点C，

∴B（ ， ），C（m， ），

∴AB＝ −m，AC＝ − ，

∵AB∙AC＝9，

∴（ −m）（ − ）＝9，

∴k＝−1或k＝−4，

故答案为：−1或−4．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意列出关于k的等式是解题的关键．

12． ， .

【分析】分点P在由在y轴的左侧和点P在y轴的右侧两种情况求解即可.

解：当点P在由在y轴的左侧时，如图1，过点P作PM⊥x轴于点M，过点O′作O′N垂直于直线y=3于点N，

∵∠OPN+∠NP O′=90°，∠P O′N+∠NP O′=90°，

∴∠OPN=∠P O′N，

∵直线y=3与x轴平行，

∴∠POM=∠O P N ，

∴∠POM=∠P O′N，

在△POM和△P O′N中，

，

∴△POM≌△P O′N，

∴OM= O′N，PM=PN，

设点P的横坐标为t，则OM= O′N=-t，PM=PN=3，

∴GN=3+t，

∴点O′的坐标为（3+t，3-t），

∵点O′在双曲线 （x＞0）上，

∴（3+t）（3-t）=6，

解得，t= （舍去）或t=- ，

∴点P的横坐标为- ；

当点P在由在y轴的右侧时，

如图2，过点O′作O′H垂直于直线y=3于点H，

类比图1的方法易求点P的横坐标为 ，

如图3，过点P作PE⊥x轴于点E，过点O′作O′F垂直于直线y=3于点F，

类比图1的方法易求点P的横坐标为 ，

综上，点P的横坐标为 ， .

故答案为 ， .

【点拨】本题是反比例函数与几何的综合题，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键，解决问题时要考虑全面，不要漏解.

13． ．

【分析】设点B所在的反比例函数解析式为 ，分别过点A、B作AD⊥ 轴于 D，BE⊥ 轴于点E，由全等三角形的判定定理可知△AOD △OBE（ASA），故可得出 ，即可求得 的值．

解：设点B所在的反比例函数解析式为 ，分别过点A、B作AD⊥ 轴于 D，BE⊥ 轴于点E，如图：

∵∠AOE+∠DOB=90°，∠AOE+∠OAD=90°，

∴∠OAD=∠BOE，

同理可得∠AOD=∠OBE，

在△AOD和△OBE中， ，

∴△AOD △OBE（ASA），

∵点B在第四象限，

∴ ，即 ，

解得 ，

∴反比例函数的解析式为： ．

故答案为 ．

【点拨】本题考查动点问题，难度较大，是中考的常考知识点，正确作出辅助线，证明两个三角形全等是解题的关键．

14．y=﹣ ．

【分析】连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“AAS”可判定△COD≌△OAE，设A点坐标为（a， ），得出OD=AE= ，CD=OE=a，最后根据反比例函数图象上点C的坐标特征确定函数解析式．

解：如图，连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，

∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y= 的交点，

∴点A与点B关于原点对称，

∴OA=OB，

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴OC=OA，OC⊥OA，

∴∠DOC+∠AOE=90°，

∵∠DOC+∠DCO=90°，

∴∠DCO=∠AOE，

∵在△COD和△OAE中， ，

∴△COD≌△OAE（AAS），

设A点坐标为（a， ），则OD=AE= ，CD=OE=a，

∴C点坐标为（﹣ ，a），

∵﹣ =﹣8，

∴点C在反比例函数y=﹣ 图象上．

故答案为：y=﹣ ．

【点拨】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键环节．

15．6

【分析】设AO的解析式为y＝mx（m≠0），将A（1，3）代入求得y＝3x，再求出反比例函数的解析式为y ，设C（n， ），求出直线AC的解析式为y x ，得到点E（0， ），求出直线BC的解析式为y x ，得到F（0， ），即可求出答案．

解：∵直线AO与反比例函数的图象交于A，B两点，

∴设AO的解析式为y＝mx（m≠0），将A（1，3）代入得，3＝m，

∴AO的解析式为y＝3x

∴B（﹣1，﹣3）

∴3 ，

∴k＝3，

∴反比例函数的解析式为y ．

设C（n， ），直线AC的解析式为y＝k₁x+b₁，将A（1，3），C（n， ）代入得：

，

解得： ，

∴直线AC的解析式为y x ；

设直线BC的解析式为y＝k₂x+b₂，将B（﹣1，﹣3），C（n， ）代入得：

，

解得： ，

∴直线BC的解析式为y x ，

∴E（0， ），F（0， ），

∴EF 6，

故答案为：6．

【点拨】此题考查了待定系数法求函数解析式，求一次函数图象与坐标轴交点坐标，两点之间的距离，解题的关键是设点C的坐标求出函数解析式解决问题．

16． 或 或 或 或

【分析】利用待定系数法求出反比例函数表达式，再分情形画出图形分别求解即可解决问题．

解： 反比例函数 ，过点 ，

，

，

①如图1中，

四边形 是正方形，

，

，

，

，

，

，

．

则当 在负半轴时， ．

②如图2中，

四边形 是正方形，

、 关于 轴对称，

设 代入 中， ，

或 （舍弃），

，

．

③如图3中，作 轴于 ．

四边形 是正方形，

，∠SPQ=90°，

∴∠SPO+∠QPE=90°，又∠SPO+∠PSO=90°，

∴∠QPE=∠PSO，又∠POS=∠PEQ，

∴ （AAS），

，

，

，

，

④如图4中，作 轴于 ， 轴于 ．

四边形 是正方形，

∴PQ=RQ，∠PQR=90°，

∴∠FQR+∠FQP=90°，∠EQP+∠FQP=90°，

∴∠FQR=∠EQP，又∠QFR=∠QEP=90°，

∴ （AAS），

， ，

设 ，则 ， ，

， ，设 ，

则有 ， ，

， ，

， ．

综上：点S的坐标为： 或 或 或 或 ，

故答案为： 或 或 或 或 ．

【点拨】本题考查反比例函数综合题、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

17．-1

【分析】过点P作 轴于点N，过点 作 垂直于二、四象限角平分线于点M，可证得 ， ，再运用三角形面积公式即可求出答案．

解：如图：过点P作 轴于点N，过点 作 垂直于二、四象限角平分线于点M，

，

根据题意可知： ， ，

是二、四象限角平分线，

，

，

，

，

在 与 中，

，

，

，

，

设点P的坐标为(x,y)，

， ，

， ，

点P是反比例函数 的图象上的动点，

，

故答案为：-1．

【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的系数k与三角形面积的关系，作出辅助线证明三角形全等，从而得到三角形的面积是解决本题的关键．

18．          0＜x＜4     E(0,3)．

【分析】(1)由 且 ，利用三线合一得到O是AB的中点，求出 的长，确定出B坐标，从而得到P点坐标，将P坐标代入反比例解析式求出 的值，即可确定出反比例解析式；

(2)观察图象即可求解；

(3)假设存在这样的D点，是四边形BCPD为菱形，根据菱形的特点得出D点的坐标，进而求解．

解：(1)∵ ， ， ，

∴O是AB的中点，即 ，

∴ ， ，

将 代入反比例解析式得： ，

即反比例解析式为 ，

(2)观察图象可知： 时 的取值范围为 ，

(3)假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，

连接DC交PB于F，如图所示：

∵四边形BCPD为菱形，

∴ ，

∴ ，

将 代入反比例函数 ，得 ，

∴D点的坐标为

∴则反比例函数图象上存在点D，是四边形BCPD为菱形，

此时D坐标为 ，

延长DP交 轴于点E，则点E为所求，

则 为最大，

设直线PD的表达式为： ，

将点P、D的坐标代入上式得：

，

解得： ，

故直线PD的表达式： ，

令 ，则 ，

故点 ．

【点拨】此题属于反比例函数综合，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，等于三角形的性质，菱形的性质，正确读懂题意是解题的关键．

19．(1) ； ；(2)8；(3) 或 ；(4)点 的坐标为 或 或

【分析】（1）将 代入 可得m，将 和 代入 可求出一次函数的解析式；

（2）设直线 与 轴相交于点 ，根据 即可求 的面积；

（3）观察函数图象，利用数形结合思想即可求解；

（4）分三种情况，根据平行四边形的对角顶点关于对角线交点对称即可求解．

（1）解： ， 在反比例函数 的图象上，

，

反比例函数的解析式是 ．

，

解得 ，

，

一次函数 与反比例函数 的图象交于 、 两点．

，

解得 ，

一次函数解析式为 ；

（2）解：设直线 与 轴相交于点 ，

令 ，得 ，

的坐标是 ，

，

．

（3）解：观察函数图象可知，当 时，直线 在 图象的上方，

另外，当 时，直线 在第二象限， 在第三象限，因此直线 在 图象的上方，

综上可知，当 时，x的取值范围为： 或 ；

（4）解：当平行四边形 中 为边， 为对角线时，如下图所示，

, ，

，即 ，

点D的横坐标为 ，纵坐标为 ，

点D的坐标为 ；

当平行四边形 中 ， 为边时，如下图所示，

, ，

，即 ，

点D的横坐标为 ，纵坐标为 ，

点D的坐标为 ；

当平行四边形 中 为边， 为对角线时，如下图所示，

, ，

，即 ，

点D的横坐标为 ，纵坐标为 ，

点D的坐标为 ；

综上，点 的坐标为 或 或 ．

【点拨】本题考查求反比例函数解析式、求一次函数解析式、根据图象求不等式的解集、平行四边形的性质等，第4问有一定难度，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，注意分情况讨论，避免漏解．

20．(1)一次函数的解析式为 ；反比例函数解析式为 ；(2) ；(3) 或 或 或

【分析】（1）根据点 在反比例函数 的图象上，可求出反比例函数解析式为 ，从而得到点B的坐标，再把点A、B的坐标代入一次函数 ，即可求解；

（2）作点C关于y轴的对称点G，连接 ，过点G作 于点F，连接 交y轴于点J，设直线 交y轴于点H，交x轴于点L，则 ，可得当点E与点F重合时， 最小，最小值为 的长，再根据双曲线的对称性可得点 ，从而得到点G的坐标，再证得 是等腰直角三角形，可得点F与点L重合，从而得到此时点D与点J重合，即可求解；

（3）分两种情况讨论：当以 为边时， ，且 互相平分；当以 为对角线时， ，且 互相平分，即可求解．

（1）解：∵点 在反比例函数 的图象上，

∴ ，

∴反比例函数解析式为 ，

把点 代入得： ，

∴点 ，

把点 ， 代入 得：

，解得： ，

∴一次函数的解析式为 ；

（2）解：如图，作点C关于y轴的对称点G，连接 ，过点G作 于点F，连接 交y轴于点J，设直线 交y轴于点H，交x轴于点L，则 ，

∴ ，

即当点E与点F重合时， 最小，最小值为 的长，

对于 ，

当 时， ，当 时， ，

∴ ，

∴ ，

∵连接 并延长交双曲线于点C，点 ，

∴点 ，

∴点 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ 是等腰直角三角形，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴点F在 的垂直平分线上，

即点F与点L重合，

∴此时点D与点J重合，

∴当 最小时点D的坐标为 ；

（3）解：设点 ， ，

当以 为边时， ，且 互相平分，即

，解得： 或 ，

经检验：是原方程组的解，且符合题意，

∴点N的坐标为 或 ；

当以 为对角线时， ，且 互相平分，即

，解得： 或 ，

经检验：是原方程组的解，且符合题意；

∴点N的坐标为 或 ；

综上所述，点N的坐标为 或 或 或 ．

【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，矩形的性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象和性质，矩形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．

21．(1) ；(2) 或 ；(3) 或

【分析】（1）点 ， 在一次函数上，求出 的值，待定系数法求出 的表达式即可；

（2）找到直线在双曲线上方时， 的取值范围即可；

（3） 的面积等于 的面积，得到点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离，根据平行线间的距离处处相等，将直线 向上或向下平移1个单位，得到直线 ，直线 与双曲线在第一象限的交点即为点 ，进行求解即可．

（1）解：∵一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ；

（2）解：由图象可知：

当 或 时，直线在双曲线上方，

∴一次函数值大于反比例函数值时 的取值范围为： 或 ；

（3）解：∵ 的面积等于 的面积，

∴点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离，

∴将直线 向上或向下平移1个单位，得到直线 ，直线 与双曲线在第一象限的交点即为点 ，如图：

∵ ，

∴ ， ，

联立 ，解得： 或 （不合题意，舍去）；

∴ ；

联立 ，解得： 或 （不合题意，舍去）；

∴ ；

综上：点 的坐标为： 或 ．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．

22．(1) ；(2) ；(3)

【分析】（1）由平行四边形的性质，先求出点A、点B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；

（2）由菱形的性质，得到 ，即当 有最小值时， 有最小值，则当 时， 有最小值，然后求出点C的坐标，再求出点P的坐标即可；

（3）先求出 和 的长度，然后分两种情况进行分析：当点N在线段 上运动时，即 时；当点N在线段 上运动时，即 时；分别求出解析式即可．

解：（1）∵反比例函数 的图象经过点 ，

∴ ，即 ，

∴点A为 ，

∴ ，

∵四边形 是菱形，

∴ ，

∴点B的坐标为： ；

设直线 为 ，

∴ ，

解得 ，

∴直线 的解析式 ；

（2）连接 、 ，与 相交于点P，则 ，即当 有最小值时， 有最小值，如图

∵四边形 是菱形，

∴ 垂直平分 ，

∴点C是点O关于 的对称点，

∴ ，

∴ ，

∴当 有最小值时， 有最小值，

即当 时， 有最小值，

∵点C是点A向右平移5个单位得到，

∴点C的坐标为： ，

把 代入 ，则 ，

∴点P的坐标为： ；

（3）如图，

在函数 中，令 ， ，

∴点D为 ，

∵ ， ， ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ；

当点N在线段AC上运动时，即 时，

；

当点N在线段CB上运动时，即 时，

；

∴S与t的函数关系式为：

【点拨】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的图像和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析点的运动情况进行解题．

23．(1) ；(2)8；(3)

【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A的坐标，再把A的坐标代入反比例函数解析式即可得到答案；

（2）如图所示，过点C作 轴于E交 于F，根据中点坐标公式求出点C的纵坐标，进而求出点C的坐标和点F的坐标，再由 进行求解即可；

（3）如图所示，过点A作 轴于H，连接 ，证明 ，得到 ，求出点E的坐标为 ，同理可得点F的坐标为 ，求出直线 的解析式为 ；证明 ，设 ，利用勾股定理得到 ，推出 则 ，求出 ，利用勾股定理得到 ，据此求解即可．

（1）解：∵一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，

∴对于函数 ，当 时， ，解得 ，

∴ ，

∴点A的坐标为 ，

∴ ；

（2）解：如图所示，过点C作 轴于E交 于F，

∵ ，

∴A为 的中点，

∵点D在x轴上，点A的坐标为 ，

∴点C的纵坐标为6，

∴点C的横坐标为 ，

∴点C的坐标为 ，

∴点F的坐标为 ，

∴ ，

∴ ；

（3）解：如图所示，过点A作 轴于H，连接 ，

∴ ，

∵四边形 是正方形，

∴ ，  

∴ ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵点A的坐标为 ，

∴点E的坐标为 ，  

∵直线 与y轴交于B，

∴点B的坐标为 ，

同理可得点F的坐标为 ，

设直线 的解析式为 ，

∴ ，

∴ ，

∴直线 的解析式为 ；

∵ ，M是 的中点，

∴ 是 的垂直平分线，  

∴ ，

设 ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵M是 的中点，

∴ ，

∴

，

∵G在 上（不包括B、F），  

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．

24．(1)A（1，0），C（3，-4）；(2)t=2s；(3)存在，点Q的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（ ，1）或（ ，1）或Q（ ，5）．

【分析】（1）过点C作CH⊥y轴于点H，利用AAS证明△AOB≌△BHC，得BH=AO=1，CH=BO，设OB=a，则OH=a+1，从而得出点C的坐标，代入直线解析式即可；

（2）根据平移的性质表示出D、F的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标的特征得出方程即可；

（3）由（2）知E（0，3），F（3，2），设P（b，0），根据对角线进行分类，利用两点之间的距离公式列出方程，解方程可得答案．

（1）解：∵y=-2x+2与x轴交于点A，

∴0=-2x+2，得x=1，

∴点A（1，0）；

过点C作CH⊥y轴于点H，

∴∠CHB=∠BOA=90°，

∵将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，

∴∠BAC=45°，

又∵BC⊥AB，

∴∠BAC=∠ACB=45°，

∴AB=BC，

∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠CBH=90°，

∴∠OAB=∠CBH，

在△AOB和△BHC中 ，

∴△AOB≌△BHC（AAS），

∴BH=AO=1，CH=BO，

设OB=a，则OH=a+1，

∴点C（a，-a-1），

∵点C在直线l上，

∴-a-1=-2a+2，

∴a=3，

∴C（3，-4）；

（2）解：将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，

A（1，0），B（0，-3），C（3，-4），

∴点D（1，3t），点E（0，-3+3t），点F（3，-4+3t），

∵点A、C两点的对应点D、F正好落在某反比例函数的图象上，

∴1×3t=3×（-4+3t），

∴t=2；

（3）解：由（2）知E（0，3），F（3，2），

设P（b，0），

则 ， ， ，

当EF为对角线时，则PE=PF，即 ，

∴ ，

解得：b= ，

∴P（ ，0），

点P（ ，0）向左平移 个单位、向上平移3个单位到E（0，3），

∴点F（3，2）向左平移 个单位、向上平移3个单位到Q（3- ，2+3），

∴Q（ ，5）；

当EP为对角线时，则EF=PF，即 ，

∴ ，

解得：b= +3或 +3，

∴P（ +3，0）或（ +3，0），

当P（ +3，0）时，同理得Q（ ，1）；

当P（ +3，0）时，同理得Q（ ，1）；

当EQ为对角线时，则EF=PF，即 ，

∴ ，

解得：b=1或-1，

∴P（1，0）或（-1，0），

当P（1，0）时，同理得Q（4，-1）；

当P（-1，0）时，同理得Q（2，-1）；

综上所述：点Q的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（ ，1）或（ ，1）或Q（ ，5）．

【点拨】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，菱形的性质等知识，运用方程思想是解题的关键．