【324224】2024八年级数学下册 专题6.3 反比例函数（巩固篇）（新版）浙教版

专题6.3 反比例函数（巩固篇）

一、单选题

1．下列式子中表示y是x的反比例函数的是(    )

A． B．y= C．y= D．y=

2．已知点 是反比例函数 上一点，则下列各点中在该图像上的点是（    ）

A． B． C． D．

3．已知 与 成反比例函数，且 时， ，则该函数表达式是（  ）

A． B． C． D．

4．若反比例函数y＝ 的图象经过点（3，1），则它的图象也一定经过的点是（　　）

A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）

5．若反比例函数 的图象经过点 ，则 的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．函数y＝ 是反比例函数，则m必须满足(　　)

A．m≠1 B．m≠0或m≠1 C．m≠0 D．m≠0且m≠1

7．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点P(x，y)，我们把的P'( ， )称为点P的“倒影点”．直线y=﹣2x+1上有两点A、B，它们的倒影点A'、B'均在反比例函数y 的图象上，若AB ，则k的值为(　　)

A． B． C．5 D．10

8．已知函数 ，当函数值为3时，自变量x的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣

9．定义:[a,b]为反比例函数y= (ab≠0,a,b为实数)的“关联数”.反比例函数y= 的“关联数”为[m,m+2],反比例函数y= 的“关联数”为[m+1,m+3],若m>0,则 (     )

A．k1=k2 B．k1>k2

C．k1<k2 D．无法比较

10．反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点A(2，m)，过点A作y轴的垂线交y轴于点B．当点C在x轴正半轴上运动时△ABC的面积为（　　）

A．3 B．6

C．12 D．先变大后减小

二、填空题

11．已知函数 是反比例函数，则 _________．

12．反比例函数 的图象经过点 ，则这个函数的表达式为________．

13．将方程2xy－4＝0改写成y与x的函数关系是______，它是_____函数．

14．已知函数 是反比例函数，则 的取值范围是______.

15．已知反比例函数 ，若 ，则y的取值范围是______．

16．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度 是面条的粗细（横截面积） 的反比例函数，其图象如图所示．则当面条粗 时，面条的总长度是________ ．

17．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线 轴，反比例函数 的图象经过矩形对角线的交点E．若点 ，则 的面积为___________．

18．如图，点A在反比例函数 的图象上，过点A作 轴，垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当 时，△ABC的周长是______．

三、解答题

19．反比例函数 的图像经过 、 两点.

（1）求m，n的值；

（2）根据反比例图像写出当 时，y的取值范围.

20．已知反比例函数 的图像经过点 ．

(1)求 的值；

(2)当 且 时，直接写出 的取值范围．

21．如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为 ，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym．

1. 直接写出y与x的函数关系式为______；

2. 现有两种方案 或 ，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长．

22．如图，直线y=-2x+b与x轴、y轴分别相交于点 A，B，以线段 AB为边在第一象限作正方形ABCD，已知AB=2

(1)求直线 AB的解析式；

(2)求点D的坐标，并判断点D是否在双曲线y= ，说明理由.

23．如图，点A的坐标为（0，4），BA=OA，BA⊥y轴，反比例函数 （x＜0）的图象经过点B，点C在线段AB上运动（不与点A，B重合），过点 作DE⊥x轴于点E，交反比例函数图象于点 ，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到线段FE，连接OC，FC，BD，且点 为线段AB的中点．

1. 求k的值；

2. 求证：OC=BD；

3. 求直线CF的解析式．

24．在平面直角坐标系 中，对于双曲线 和双曲线 ，如果 ，则称双曲线 和双曲线 为“倍半双曲线”，双曲线 是双曲线 的“倍双曲线”，双曲线 是双曲线 的“半双曲线”，

1. 请你写出双曲线 的“倍双曲线”是_____；双曲线 的“半双曲线”是______；

2. 如图1，在平面直角坐标系 中，已知点 是双曲线 在第一象限内任意一点，过点 与 轴平行的直线交双曲线 的“半双曲线”于点 ，求 的面积；

3. 如图2，已知点 是双曲线 在第一象限内任意一点，过点 与 轴平行的直线交双曲线 的“半双曲线”于点 ，过点 与 轴平行的直线交双曲线 的“半双曲线”于点 ，若 的面积记为 ，且 ，求 的取值范围．

参考答案

1．D

【分析】根据反比例函数的定义逐项分析即可．

解：A. ，y是x的一次函数，故不符合题意；

B. y= ，y是x的正比例函数，故不符合题意；

C. ，y是x²的反比例函数，故不符合题意；

D. y= ，y是x的反比例函数，符合题意；

故选：D．

【点拨】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如 （k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数．

2．D

【分析】先把点（3，1）代入双曲线 ( k ≠0)，求出 k 的值，再对各选项进行判断即可．

解：∵点（3，1）是双曲线 ( k ≠0）上一点，

∴ k =3×1=3，

A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；

B 、1× = ≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；

C 、 ×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；

D 、6× =3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确，

故选： D．

【点拨】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式．

3．C

解：设 ，把x=2，y=3代入 得k=6，所以该函数表达式是 .

故选：C．

4．D

【分析】由反比例函数y= 的图象经过点（3，1），可求反比例函数解析式，把点代入解析式即可求解．

解：∵反比例函数y＝ 的图象经过点（3，1），

∴y＝ ，

把点一一代入，发现只有（﹣1，﹣3）符合．

故选D．

【点拨】本题运用了待定系数法求反比例函数解析式的知识点，然后判断点是否在反比例函数的图象上．

5．D

【分析】将点 代入反比例函数解析式得到 ，再由a≠0即可得到k的取值范围．

解：将点 代入反比例函数 中得：

，

∴ ，

又∵反比例函数 的图象与坐标轴无交点，

∴ ，

∴ ，

故选：D．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的特征，解题的关键是将点代入反比例函数解析式，并能判定a≠0．

6．D

【分析】根据反比例函数定义，使得比例系数不为0即可．

解：∵函数y＝ 是反比例函数，

∴m（m-1）≠0，

∴m≠0且m≠1．

故选D．

【点拨】本题考查了反比例函数的定义，比例系数不为0即可．

7．A

【分析】设点A（a，-2a+1），B（b，-2b+1）（a＜b），则A'( ， )，B'( ， )，由AB 可得出b=a+1，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、a、b的方程组，解之即可得出k值．

解：设点A(a，﹣2a+1)，B(b，﹣2b+1)(a＜b)，则A'( ， )，B'( ， )．

∵AB (b﹣a) ，

∴b﹣a=1，即b=a+1．

∵点A'，B'均在反比例函数y 的图象上，

∴k • • ，

解得：k ．

故选：A．

【点拨】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于k、a、b的方程组是解题的关键．

8．A

【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．

解：若x＜2，当y=3时，﹣x+1=3，

解得：x=﹣2；

若x≥2，当y=3时，﹣ =3，

解得：x=﹣ ，不合题意舍去；

∴x=﹣2，

故选：A．

【点拨】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数进行分段求解是解题的关键．

9．C

【分析】利用题中的新定义表示出k₁与k₂，利用作差法比较即可．

解：根据题意得： ，

∵m＞0，

∴k₁-k₂= ＜0，

则k₁＜k₂．

【点拨】此题考查了反比例函数的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．

10．A

【分析】先求出点A、B的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可．

解：把x＝2代入y＝ 得：y＝3，

∴A（2，3），

∵AB⊥y轴，

∴AB∥x轴，

∴B（0，3），即OB＝3，

∴S△ABC＝ AB•OB＝ ×2×3＝3．

故选：A．

【点拨】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征、坐标与图形、平行线之间的距离相等，熟练掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是解答的关键．

11．-2

【分析】让x的指数为-1，系数不为0列式求值即可．

解：依题意得 且 ，

解得 ．

故答案为：-2．

【点拨】考查反比例函数的定义；反比例函数解析式的一般形式y＝ （k≠0），也可转化为y=kx^-1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．

12．

【分析】将（-3，4）代入反比例解析式求出k的值，即可确定出解析式．

解：将(−3,4)代入反比例解析式得：4= ，

解得：k=−12，

则反比例解析式为y=- .

故答案为y=- .

【点拨】本题考查了求反比例函数解析式，解题的关键是根据待定系数法求反比例函数的解析式.

13．     y＝          反比例

解：根据题意，把方程移项，系数化为1，可得y= ，此函数是反比例函数.

故答案为y= ，反比例.

14． 且

【分析】根据反比例函数的表达式y= (k为常数，k≠0)，列出系数不为0的式子进行求解.

解：∵ 是反比例函数，

∴ ，且 ,

解得， 且

故答案为： 且

【点拨】本题考查反比例函数的定义，根据定义的条件列式求解是解答此题的重要途径，同时使二次根式有意义的条件也是解答此题的关键.

15． 或

【分析】先求出x=-2时y的值，根据反比例函数性质得出即可．

解：把x=-2代入 得：y=-4，

∵8＞0，

∴在每个象限内，y随x的增大而减小，图象在第一、三象限，

∴当x≥-2时，函数y的取值范围是y≤-4或y＞0，

故答案为：y≤-4或y＞0．

【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．

16．

【分析】根据题意：面条的总长度 （ ）是面条的粗细（横截面积） （ ）的反比例函数，且其图象过点 ，故 ，则当面条粗 时，面条的总长度是 .

解：设面条的总长度 （ ）是面条的粗细（横截面积） （ ）的关系式为 ，

把点 代入可得 ，

所以当 时， .

故答案为： .

【点拨】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式.

17．10

【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B(x，4)，利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB=90°，根据线段中点坐标公式得出E( x，4)，根据两点坐标求得AD，AB的长，由勾股定理得 ，列出方程 ，求出x，得出点E坐标，得出DE的长，即可得出答案．

解：∵ 轴， ，

∴B、D两点纵坐标相同，

∴设B(x，4)，

∵矩形ABCD对角线的交点E，

∴E为BD中点，∠DAB=90°，

∴E( x，4)，

∵A(2，0)，D(0，4)，B(x，4)，

∴AD= ，

AB= ，

BD=x，

∵∠DAB=90°，

∴ ，

∴ ，

解得x=10，

∴E(5，4)，

∴ ，

∴ ．

故答案为：10．

【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中点坐标公式．设B(x，4)，列出关于x的方程，求出x的值，是解题的关键．

18． ##

【分析】根据点A在反比例函数 （ ）上， 轴，求得OC的长度，再根据垂直平分线的性质得到 ，将△ 的周长转化为 即可．

解：∵点A在反比例函数 （ ）上， 轴

∴

∵

∴

∵ 的垂直平分线交 轴于点

∴

∴△ 的周长=

故答案为： ．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．

19．（1） ， ；（2）当 时， ．

【分析】（1）将点 , 的坐标分别代入已知函数解析式,列出关于m,n 的方程组,通过解方程=组来求m,n的值即可;

（2） 利用（1）中的反比例函数的解析式画出该函数的图象,根据图象直接回答问题.

解：(1)根据题意，得

解得m=−2，n=−2，即m，n的值都是−2.

(2)由(1)知，反比例函数的解析式为y=− ，其图象如图所示：

根据图象知，当−2<x<0时，y>1.

【点拨】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握计算法则是解题关键.

20．(1) ；(2)当 且 时， 或

【分析】（1）将点 代入反比例函数 即可求解；

（2）根据反比例函数的图像可知，反比函数图像在第二象限和第四象限，由 且 即可求出图像位置，由此即可求解．

（1）解：∵反比例函数 的图像经过点 ，

∴ ，

∴ ．

（2）解：反比例函数 的图像如图所示，

当 且 时，在第二象限： 或在第四象限： ．

【点拨】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图像的特点是解题的关键．

21．(1) ；(2)22m

【分析】（1）)利用矩形的面积计算公式可得出xy= 60，变形后即可得出结论；

（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x = 5和x = 6时的y值，结合墙长11m即可得出应选x = 6的设计方案，再将其代入2x + y中即可求出此栅栏的总长．

（1）解：根据题意得： ，

∴y与x的函数关系式为： ，

故答案为： ；

（2）解：当x= 5时， ，

∵ ，

∴不符合题意，舍去；

当x=6时， ，

∵ ，

∴符合题意，此栅栏总长为：

；

答：应选择x = 6的设计方案，此栅栏总长为22m．

【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x=5和x=6时的y值．

22．(1)y=-2x+4；(2)点D的坐标为(6,2)，在，理由见分析

【分析】(1)根据勾股定理可求得b的值，据此即可求得；

(2)过点D作DE⊥x轴于点E，易证△OAB≌△EDA，利用全等三角形的性质可求出点D的坐标．

（1）解：当x=0时，y=b，

∴点B的坐标为(0,b)，

当y=0时， ，

∴点A的坐标为 ，

∴OB=b， ，

，

∴ ，

解得b=4或b=-4(舍去)

直线 AB的解析式为y=-2x+4；

（2）解：不在；

理由如下：

∵b=4，

∴点B的坐标为(0,4)，点A的坐标为 ，

∴OB=2， ，

过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示．

∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠EAD=90°，

∴∠OBA=∠EAD，

在△OAB和△EDA中，

，

∴△OAB≌△EDA(AAS)，

∴AE=BO=4，DE=AO=2，

∴OE=OA+AE=2+4=6，

∴点D的坐标为(6,2)，

∵当x=6时， ，

∴点D在双曲线y= 的图象上．

【点拨】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是采用数形结合的思想解决问题．

23．(1)k=-16；(2)见分析；(3) ．

【分析】（1）由题意可知B点坐标，代入反比例函数的解析式可求；

（2）根据两点间距离公式求出BD和OC的值即可；

（3）用待定系数法将C、F点坐标代入即可求解．

（1）解：由题意可知，B点坐标为（-4，4），

把B（-4，4）代入 得，

，

∴k=-16，

（2）解：∵ 为线段AB的中点，

∴C点坐标为（-2，4），

∴D点横坐标为-2，代入 = ，

∴BD= ，

∵OC= ，

∴BD=OC；

（3）

解：由题意得：EF=DE=8，

∴F点坐标为（-10，0）

设直线CF的解析式为y=mx+b，则

，

解得 ，

∴直线CF的解析式为 ．

【点拨】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，两点间距离公式，熟练掌握反比例函数的点坐标特征是解题的关键．

24．(1) ， ；(2) 的面积为1；(3) .

【分析】(1)直接利用“倍双曲线”的定义即可；

(2)利用双曲线的性质即可；

(3)先利用双曲线上的点设出 的横坐标，进而表示出 的坐标；

用三角形的面积公式建立不等式即可得出结论；

解：(1)由“倍双曲线”的定义

∴双曲线 ，的“倍双曲线”是 ；

双曲线 的“半双曲线”是 ．

故答案为 ， ；

(2)如图1，

∵双曲线 的“半双曲线”是 ，

∴ 的面积为2， 的面积为1，

∴ 的面积为1．

(3)如图2，

依题意可知双曲线 的“半双曲线”为 ，

设点 的横坐标为 ，则点 坐标为 ，点 坐标为 ，

∴ ．

∴ ．

同理 ．

∴

∵ ，

∴ ．

∴ ，

【点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了新定义，双曲线的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，解(1)的关键是理解新定义，解(2)的关键是三角形的面积公式的应用，解(3)的关键是建立不等式求解.