【324197】2024八年级数学下册 专题4.18 三角形的中位线（培优篇）（新版）浙教版

专题4.18 三角形的中位线（培优篇）

一、单选题

1．如图， 的周长为19，点 ， 在边 上， 的角平分线 垂直于 ，垂足为 ， 的角平分线 垂直于 ，垂足为 ，若 ，则 的长度为（    ）

A． B．2 C． D．3

2．如图，在 中， ， ， 、 分别是其角平分线和中线，过点 作 于 ，交 于 ，连接 ，则线段 的长为（    ）

A．1 B．2 C． D．7

3．如图，四边形 中. 为 的平分线， ，E，F分别是 的中点，则 的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

4．如图所示，在 中， ， ，D是边 的中点，E是边 上一点，若 平分 的周长，则 的长是（    ）

A．1 B．2 C． D．

5．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把 沿着AD翻折，得到 ，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点， ， ， 的面积为9，则点F到BC的距离为（    ）

A．1.4 B．2.4 C．3.6 D．4.8

6．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，则下列结论：①AD＝4OE；②BD＝2 ；③30°＜∠BOE＜45°；④S_△AOP＝ ．其中正确的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

7．如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A₁，B₁，C₁，使A₁B＝AB，B₁C＝BC，C₁A＝CA，顺次连接A₁，B₁，C₁，得到△A₁B₁C₁．第二次操作：分别延长A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁至点A₂，B₂，C₂；使A₂B₁＝A₁B₁，B₂C₁＝B₁C₁，C₂A₁＝C₁A₁，顺次连接A₂，B₂，C₂，得到△A₂B₂C₂，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过（　　）次操作．

A．2 B．3 C．4 D．5

8．如图， 的对角线 、 相交于点E，点O为 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点D，交 于点G，连接 、 ，若 的面积为24，则 的面积为（    ）

A．5 B．3 C．2 D．1

9．如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h₁．若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h₂，则下列结论正确的是【 】

A．h₂=2h₁ B．h₂=1.5h₁ C．h₂=h₁ D．h₂= h₁

10．如图，分别以直角 的斜边 ，直角边 为边向 外作等边 和等边 ， 为 的中点， 与 交于点 ， 与 交于点 ， ， ．给出如下结论：① ；②四边形 为平行四边形；③ ；④ ；其中正确结论的是（    ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

二、填空题

11．如图，在平行四边形ABCD中， ， ，点H、G分别是边DC、BC上的动点，其中点H不与点C重合，连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为______．

12．如图，在 中， 是 边上的中点， 是 的平分线， 于点 ，已知 ， ，那么 的长为________．

13．在四边形 中， ， 分别是边 ， 的中点，若 ， ， ， ，则 ______．

14．如图，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，点D和点E分别是AB，AC的中点，点F和点G分别在BA和CA的延长线上，若BC＝10，GF＝6，EF＝4，则GD的长为 _____．

15．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°,AB=4cm，BC=8cm，E、F是AD，DC的中点，连接EF、BE、BF，已知四边形ABCD的面积为36 ，△DEF的面积是△DAC面积的 ，求△BEF的面积_____ .

16．如图，在矩形 中， ，E是 边上的一个动点，连接 ，过点D作 于F，连接 ，当 为等腰三角形时，则 的长是______．

17．在 ABC中，D，E分别是AC，BC的中点，点F在边AB上，BD与FC相交于点G，连接EG，若 ，则 ________．

18．如图，已知矩形 对角线 和 相交于点O，点E是边 上一动点， 与 相交于点F，连结 ．

（1）若点E为 的中点，则 =_______；

（2）若点F为 的中点，则 =_________．

三、解答题

19．如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH．

(1)求证：HO=HE．

(2)求线段GH的长．

20．如图， ， ，D，E分别为AB，BC的中点，点F在CA的延长线上，

(1)求证： ；

(2)若 ， ，求四边形AEDF的周长．

21．如图，在菱形 中， 、 分别是 、 的中点．

1. 求证 ；

2. 若菱形 的面积为8，则 的面积为______．

22．如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ， ，点 为线段 的中点．

(1)求证： ；

(2)若 ， 分别是 ， 的中点．

判断 的形状并证明你的结论；

当 ，且 时，求平行四边形 的面积．

23．如图1，直线 和直线 相交于A点 ，B、C分别在y轴的正半轴和负半轴上，且 ，C点坐标为 ．

(1)求直线 的函数表达式；

(2)在线段 上找一点P，使得 ，求P点的坐标；

(3)如图2，D点为线段 的中点，若点Q是线段 （不与点A、B重合）上一点，且使得 ，请求出Q点坐标．

24．如图，在 中，∠A＝60°， ，垂足为F，点D、E分别为BC、AC上的点，连接BE，交CF于点M，连接DE、DF、EF．

1. 如图①，当BE⊥AC时：

①若CM＝4，FM＝2，求BE的长；．

②若AB＝AC，D为EC边上的中点，求证：△DEF时是等边三角形；．

2. 如图②，若AB≠AC，DB＝DF，DC＝DE，试猜想△DEF是不是等边三角形？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由．

参考答案

1．C

【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．

解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，

∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，

在△BNA和△BNE中， ．

∴△BNA≌△BNE（ASA），

∴BA=BE，

∴△BAE是等腰三角形，

同理△CAD是等腰三角形，

∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），

∴MN是△ADE的中位线，

∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，

∴DE=BE+CD-BC=5，

∴MN= DE= ．

故选：C．

【点拨】此题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

2．A

【分析】根据已知条件利用ASA证明 ．再计算出BG，根据点E、F是中点，得到EF是△BGC的中位线，得出EF的长度．

解：∵

∴∠AFC=∠AFG

∵AF是 的角平分线

∴∠GAF=∠CAF

在 和 中，

，

，

， ，

，

， ，

，

故选： ．

【点拨】本题考查三角形的中位线、全等三角形．灵活使用中点是本题的解题关键．

3．A

【分析】根据勾股定理得到 ，根据平行线的性质和角平分线的定义得到 ，求得 ，如图：连接 并延长交 于G，根据全等三角形的性质得到 ，求得 ，再根据三角形中位线定理即可得到结论．

解：∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ 为 的平分线，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

如图：连接 并延长交 于G

∵

∴ ，

∵F是 的中点，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵E是BD的中点，

∴ ．

故选：A．

【点拨】本题主要考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键．

4．D

【分析】延长 到点F，使 ，连接AF，过点 作 于点H，根据DE平分 的周长， D为 中点，推出 ，得到 ，推出 是 的中位线．得到 ， ，根据三角形外角性质和等边对等角， ， =1，得到 ，推出 ，推出 ，得到 ．

解：延长 到点F，使 ，连接AF，过点 作 于点H，

平分 的周长，且D为 中点

  

是 的中位线．

，

， =1，

，

∴ ，

，

．

故选：D．

【点拨】本题主要考查了三角形中位线，等腰三角形，三角形外角，含30°角的直角三角形，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握三角形中位线的判定和性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，含30°角的直角三角形边的性质．

5．B

【分析】连接BE，交AD于点O．过点E作 于点H，点F作 于点G，由翻折的性质可得出AB=AE， ，BD=DE，易证 ，得出结论BO=EO， ，即证明 ．由题意可求出DF=EF=2.5，BD=DE=5，即得出 和 等底同高，即可求出 的面积，从而可求出EO的长，进而可求出BE的长．再在 中，利用勾股定理可求出OD的长，最后在 中，利用等积法，即可求出 的长，再由点F是DE的中点和所作辅助线，即可求出FG的长，即点F到BC的距离．

解：如图，连接BE，交AD于点O．过点E作 于点H，点F作 于点G，

由翻折可知AB=AE， ，BD=DE，

又∵AO=AO，

∴ ，

∴BO=EO， ，

∴ ．

∵点F是DE的中点，EF=2.5，

∴DF=EF=2.5，BD=DE=5，

∴ 和 等底同高，

∴ ．

∵ ，

∴ ，

解得： ．

∴在 中， ，

∵ ．

∴ ．

又∵ ，

∴ ，

解得： ．

∵点F是DE的中点， ， ，

∴FG为 中位线，

∴ ．

故选B．

【点拨】本题考查翻折的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的判定和性质．正确的作出辅助线和利用数形结合的思想是解答本题的关键．

6．A

【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝2，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，即可得到E为BC中点，再根据中位线定理得到AB=2OE，即AD=4OE ；②先根据三角形中位线定理得：OE＝ AB＝1，OE∥AB，根据勾股定理计算OC，OD的长，即可求BD的长；③根据大角对大边进行计算求解即可得到答案；④过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N可以得到 即可求得 ，由此求出 即可得出结论．

解：∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠DAE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，AD=BC,OA=OC,

∴∠DAE＝∠BEA，

∴∠BAE＝∠BEA，

∴AB＝BE＝2，

∴△ABE是等边三角形，

∴AE＝BE＝2，

∵BC＝4，

∴EC＝2，

∴AE＝EC，

∴∠EAC＝∠ACE，

∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，

∴∠ACE＝30°，

∵AD∥BC，

∴∠CAD＝∠ACE＝30°，

∴∠BAC＝∠DCA＝90°，

∵CE＝BE＝2

∴E为BC的中点

∴OE为△ABC的中位线

∴OE= AB=1，OE∥AB，

∴∠EOC＝∠BAC＝90°，

∵BC＝2AB

∴BC=4OE

∴AD=4OE

∴①正确

Rt△EOC中，OC＝ ，

在Rt△OCD中，OD＝

BD＝2OD＝2

故②正确

在Rt△AOE中，∵AE是斜边

∴AE＞AO

∴AB＞AO

∴∠AOB＞∠ABO

∴∠AOB＞45°

∴∠BOE=90°-∠AOB＜45°

∵OE=

∴∠BOE＞∠OBE

∵∠ACB=30°，∠EOC=90°

∴∠OEC=60°

∴∠OEB=120°

∴∠BOE +∠OBE=60°

∴∠BOE＞30°

∴③正确

过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N

∴PM=PN（角平分线的性质）

∴

∵四边形ABCD是平行四边形

∴

∴

∴

∴

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AO=OC= ，

∴

∴④正确

综上，正确的个数是4个

故选：A．

【点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积，角平分线的性质，三角形中位线定理，大角对大边等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．

7．C

【分析】结合题意根据三角形的面积公式可知如果两个三角形等底同高，则它们面积相等，从而推出 ， ，进而得到 ，再以此类推进行求解即可．

解：如图，

连接A₁C，

∵AB＝A₁B，S_△ABC＝1

∴ ，

∵BC＝B₁C，

∴ ，

∴ ，

同理， ， ，

∴ ，

同理可得，第二次操作后 ，

第三次操作后的面积为7×49＝343，

第四次操作后的面积为7×343＝2401，

故按此规律，要使到的三角形的面积超过2021，至少要经过4次操作．

故选：C．

【点拨】本题考查三角形的面积，解题的关键是根据三角形边的关系推出其面积的关系，从而结合图形进行求解．

8．C

【分析】利用平行四边形 的对角线 、 相交于点 ，可得 ，即点 为 的中点，由于点 为 的中点，所以 为 的中位线，可得 ，且 ；利用 可得 ，进而得出 ；利用高相等的三角形的面积比等于它们底的比可得 ；利用 ，可得 ，利用 ，可得 ，答案可得．

解： 四边形 是平行四边形，

，

，

是 的中位线，

， ，

，

，

，

，

，

四边形 是平行四边形，

， ，

在 和 中，

，

，

，

，

故选：C．

【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，平行线的性质，三角形的面积，三角形全等的判定与性质，利用高相等的三角形的面积比等于它们底的比是解题的关键．

9．C

解：直接根据三角形中位线定理进行解答即可：

如图所示：∵O为AB的中点，OC⊥AD，BD⊥AD，

∴OC∥BD，∴OC是△ABD的中位线．∴h₁=2OC．

同理，当将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，

设B′点的最大高度为h₂，

则h₂=2OC．∴h₁=h₂．故选C．

10．D

【分析】根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，证明FH是△ABC的中位线，得HF= BC，由BC= AB，AB=BD即可得FH= BD，从而有BD =4FH，接着证明△DBF≌△EFA得AE=DF，再由FE=AB，得出四边形ADFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出AD=4AG，从而得到答案．

解：∵△ACE是等边三角形，

∴∠EAC=60°，AE=AC，

∵∠BAC=30°，

∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，

∵F为AB的中点，

∴AB=2AF，

∴BC=AF，

∴△ABC≌△EFA，

∴FE=AB，

∴∠AEF=∠BAC=30°，

∴∠AHE =90°，

∴EF⊥AC，故①正确，

∵EF⊥AC，

∴AH=CH，

∵F是AB的中点，

∴FH是△ABC的中位线，

∴HF= BC，

∵BC= AB，AB=BD，

∴FH= BD，

即BD =4FH，故④说法正确；

∵AD=BD，BF=AF，

∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，

∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，

∴∠DFB=∠EAF，

∵EF⊥AC，

∴∠AEF=30°，

∴∠BDF=∠AEF，

∴△DBF≌△EFA（AAS），

∴AE=DF，

∵FE=AB，

∴EF=AD，

∴四边形ADFE为平行四边形，故②说法正确；

∴AG= AF，

∴AG= AB，

∵AD=AB，

则AD=4AG，故③说法正确，

故选：D．

【点拨】本题考查含30度直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．

11．

【分析】连接AG，根据点E为AH的中点，点F为GH的中点，得到EF= ，故EF的最小值，只有当AG取得最小值时，才能成立，AG的最小值为垂线段AG，根据勾股定理计算即可．

解：如图，连接AG，

因为点E为AH的中点，点F为GH的中点，

所以EF= ，故EF的最小值，

只有当AG取得最小值时，才能成立，AG的最小值为垂线段AG，

过点A作AM⊥BC，垂足为M，

因为 ， ，

所以BM=2，

AM= ，

故EF的最小值为 =

故答案为： ．

【点拨】本题考查了三角形中位线定理，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．

12．4

【分析】延长BP交AC于N，利用三线合一得出△ABN为等腰三角形，再利用M是BC中点，求证PM是△BNC的中位线，即可求出MP的长．

解：延长BP交AC于N

∵AP是∠BAC的角平分线，BP⊥AP于P，

∴ 为等腰三角形，

∴AN=AB=16，BP=PN，

∴CN=AC-AN=24-16=8，

∵ 是 边上的中点

∴BM=CM，

∴PM是△BNC的中位线，

∴PM= CN=4．

故答案为：4．

【点拨】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是求证PM是△BNC的中位线．

13．145°

【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到BD＝2EF＝12，EF∥BD，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，结合图形计算即可．

解：连接BD，

∵点E、F分别是边AB、AD的中点，

∴BD＝2EF＝12，EF∥BD，

∴∠ADB＝∠AFE＝55°，

∵ ， ，

∵ ， ，

∴ ，

∴∠BDC＝90°，

∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝145°，

故答案为：145°．

【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

14．

【分析】先利用三角形的中位线的性质求得线段 ，然后在 ， ， ， 中分别利用勾股定理即可求解．

解：∵点D和点E分别是AB，AC的中点，BC＝10，

∴ ，

∵Rt△ABC中∠BAC＝90°，

∴ ， ， ， 都是直角三角形，

∵GF＝6，EF＝4，

∴由勾股定理得， ①，

②，

③，

∴ ，得 ，

∵在 中， ，

∴ ，

解得 或 （不合题意，舍去）

故答案为：

【点拨】本题考查了三角形的中位线的性质及勾股定理的应用，此处勾股定理的灵活运算是解题的关键．

15．13

【分析】过D点作DM⊥AC,分别交AC、EF于点M、N，过B点作BP⊥AC，垂足为P,先利用勾股定理和中位线定理求出AC和EF的长，然后利用面积法求出相应的高MN，BP，再利用面积公式求出 的面积.

解：过D点作DM⊥AC,分别交AC、EF于点M、N，过B点作BP⊥AC，垂足为P,

∵AB=4，BC=8，

∴AC= ,

∵E、F是AD，DC的中点，

∴EF=                

∵四边形ABCD的面积=36,

∴ ,

即 ,

∴   

  

∴ ，

∴   

∴   

   

=13.

【点拨】本题主要考查了勾股定理和三角形中位线以及三角形面积问题，正确做出辅助线和利用面积法求出相应的高MN，BP是解题的关键.

16．2或 或

【分析】判断 是等腰三角形，要分类讨论，① ；② ；③ ，根据相似三角形的性质进行求解．

解：① 时，过点 作 ，垂足为点 ．

∴ 为 的中点，

则 ， ，取 为 的中点，

∴ ， 为 的中位线，即 ，

∴ 、 、 三点在一条线上，即 ，

∵ ， ，

∴四边形 是平行四边形，

∴ ，

∴当 时， 是等腰三角形；

② 时，则 ，

∵ ， ，

∴ ，

∴

则 ，

∴当B 时， 是等腰三角形；

③ 时，则点 在 的垂直平分线上，取 中点 ，连接 、 ．

易知 为矩形，∴ ， ，

∴ 、 、 在同一直线上，

∴ 为 的中位线，

∵ ， ，

∴ ， ， ，

∴ ，

即： ，

整理得： ，即 ，

解得： 或 （舍去）

∴当 时，△CDF是等腰三角形．

综上，当 、 、 时， 是等腰三角形．

故答案为：2或 或 ．

【点拨】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的中位线等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

17．

【分析】取AF的中点H，连接DH，可证得 为BD中点，由中位线性质证明 ，继而证明 ，再根据相似三角形的性质得到 ，结合等底等高的面积相等解题即可．

解：取AF的中点H，连接DH，如图，

为AF的中点，

D为AC的中点，H为AF的中点，

是 的中位线，

为BD中点，

为BC的中点，

D为AC的中点，

设

D为AC的中点，

，

故答案为： ．

【点拨】本题考查三角形中位线性质、相似三角形的判断与性质、等底等高三角形的面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

18．     ##0.5     2

【分析】（1）根据矩形的性质可得点O是 的中点，再结合已知可得 是 的中位线，从而可得 ， ，然后证明8字模型相似三角形可得 ，利用相似三角形的性质进行计算即可解答；

（2）过 作 交 于点 ，利用平行线分线段成比例和三角形全等即可求解．

(1)解：∵ 为矩形对角线交点，

∴ ．

∵点 为 中点，

∴ 为 的中位线，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ；

(2)如图，过 作 交 于点 ，

∴ ，

∴点 为 中点．

∴ 为 的中位线，

∴ ，

∵ ，

∴ ．

又∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

即 ．

故答案为（1） ；（2）2．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及全等三角形的判定和性质等，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

19．(1)见分析 (2)

【分析】（1）过点O作OM⊥CD交CD于M，易证△OHM≌△EHC，可证得结论；

（2）连接OF，根据（1）的结论，和点 是 的中点，可得 是 的中位线定理利用勾股定理可求得 的长．

解：（1）过点O作OM⊥CD交CD于M，

∵O为正方形对角线AC和BD的交点，正方形ABCD的边长为4，CE＝2，

∴OM＝CM＝DM＝CE＝2， ，

在△OHM与△EHC中，

，

∴ ，

∴HO=HE．

（2）连接OF，点H、点G分别为OE、FE的中点，

∴GH为△OEF的中位线，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

在 中， ，

∴ ．

【点拨】本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是根据AAS证明 解答．

20．(1)证明见分析 (2)16

【分析】（1）D，E分别为AB，BC的中点， ，因此AE=EB，等腰三角形两底角相等，可证明 ，即可得到结果；

（2）由（1）可得四边形AFDE为平行四边形，对边相等，根据勾股定理可得AB的长，因为中点问题，可得到AD、AE、ED的长，即可得到结果．

（1）证明：∵D，E分别为AB，BC的中点，

∴ ，

∴ ,即 ，

∵D是中点， ,

∴AE=EB，即 ,

∵ ，

∴

∵点F在CA的延长线上，

∴ ，

在 和 中，

∴ ，

∴ ；

（2）解：由（1）得 ，

∴四边形AFDE为平行四边形，

∴AE=DF，

∵ ， ，

∴ ,

∵D，E分别为AB，BC的中点，

∴ ，

∴ ，

即DE=AF=3，AE=DF=5，

所以四边形AEDF的周长=5+3+5+3=16．

【点拨】本题考查了三角形中位线的定理，全等三角形的证明及判定，平行四边形的证明及判定，勾股定理，解题的关键是找到角之间的关系和边长之间的关系．

21．(1)见分析 (2)3

【分析】(1) 由四边形ABCD是菱形，即可求得AB＝AD，∠B＝∠D，又由 、 分别是 、 的中点可证得BE＝DF，根据SAS，即可证△ABE≌△ADF得AE＝AF，从而得证．

(2) 连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，根据菱形性质可得菱形面积公式，然后根据三角形中位线定理得EF与BD关系，最后根据三角形面积公式代入计算可得答案．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，BC＝DC，∠B＝∠D，

∵ 、 分别是 、 的中点,

∴ ， ，

∴BE＝DF，

在△ABE和△ADF中

，

∴△ABE≌△ADF（SAS）；

∴AE＝AF，

∴∠AEF＝∠AFE．

（2）连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝OC，菱形ABCD的面积为： ，

∵点E、F分别是边BC、CD的中点，

∴EF∥BD，EF＝ BD，

∴AC⊥EF，AG＝3CG，

设AC＝a，BD＝b，

∴ ，即ab＝16，

∴ ．

故答案为：3

【点拨】此题考查的是菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，能够利用三角形面积公式得到答案是解决此题关键．

22．(1)见分析，(2) 的形状为等腰三角形，理由见分析；②24

【分析】（1）由平行四边形的性质易证 ，再证 是等腰三角形，由等腰三角形三线合一性质得出 ，即可得出结论；

（2）①易证 ，由 为 中点，得出 ，再由 、 分别是 、 的中点，得出 ，由平行四边形的性质得 ，即可得出 ，则 是等腰三角形；

②先证四边形 是平行四边形，得出 ， ，再证 、 、 都是等腰直角三角形，设 ，则 ， ，由勾股定理求出 ，得出 ， ，最后由 ，即可得出答案．

解：（1） 四边形 是平行四边形，

， ，

，

，

，

是等腰三角形，

点 为线段 的中点，

，

；

（2）① 的形状为等腰三角形，理由如下：

是等腰三角形， 是 中点，

，

，

为 中点，

，

、 分别是 、 的中点，

，

四边形 是平行四边形，

，

，

是等腰三角形；

解： 四边形 是平行四边形，

， ， ， ，

、 分别是 、 的中点，

， 是 的中位线，

， ，

，

是 的中点，

，

，

四边形 是平行四边形，

， ，

，

，

，

由 得： ，

是等腰直角三角形，

，

是等腰直角三角形，

，

，

是等腰直角三角形，

，

设 ，

则 ， ，

在 中，由勾股定理得： ，

即 ，

解得： 或 不合题意，舍去 ，

，

，

．

【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．

23．(1) (2) (3)

【分析】(1)根据 ，C点坐标为 ，确定 ，确定点 ，设直线 的函数表达式为 ，代入A、B两点的坐标计算即可．

（2）设直线 的函数表达式为 ，代入A、C两点的坐标，确定解析式，设 ，连接 ，根据坐标可计算 ，结合 确定 ，再运用分割法得到 ，计算即可．

（3）在 上取一点E，使得 ，连接 ，结合 得到 是中位线，得到 ，得到 ，结合 ，可证明 ，继而得到 ，过点Q作 于点G，利用等腰直角三角形的性质，运用勾股定理，求算 的长，结合点的位置，写出坐标即可．

解：（1）因为 ，C点坐标为 ，

所以 ，

所以点 ，

设直线 的函数表达式为 ，代入A、B两点的坐标，得：

，

解得 ，

所以直线 的函数表达式为 ．

（2）设直线 的函数表达式为 ，代入A、C两点的坐标，得：

，

解得 ，

所以直线 的函数表达式为 ．

设 ，连接 ，

因为A点 ，C点坐标为 ，点 ，

所以 ，

所以 ，

因为

所以 ，

因为 ，

所以 ，

解得 ，

所以 ．

（3）如图，因为 ，D点为线段 的中点，

所以 ， ， ，

在 上取一点E，使得 ，连接 ，

因为 ，

所以 是中位线，

所以 ，

所以 ， ，

因为 ，

所以 ，

所以 ，

过点Q作 于点G，

则 ，

设 ，则 ，

根据勾股定理，得 ，

所以 ，

解得 ，

所以 ，

因为点Q在第二象限，

所以 ．

【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段与坐标的关系，三角形中位线定理，勾股定理，三角形面积分割法计算，熟练掌握待定系数法，勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键．

24．(1)① ；②见分析 (2)是，见分析

【分析】（1）①先由 ， ， ，得出 即可得出 ，同理可得出 ，即可得出 ；②由 ，AB＝AC，可得出 是等边三角形，即可得出AB＝AC＝BC，再根据中位线的性质，得出：EF＝ED＝DF，即可得证；

（2）由题干条件可推导出： ，进而得出∠DCF＝∠DFC，故而DF＝DC，也就是DF＝DE，即可证明 是等边三角形．

（1）①解：∵ ， ， ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ．

②证明：∵ ，AB＝AC，

∴ 是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC．

∵ ，垂足为E， ，垂足为F，

∴E、F分别是AC、AB边的中点．．

又∵点D是BC的中点，

∴EF、DE、DF是 的中位线，

∴ ， ， ．

∴EF＝ED＝DF，

∴ 是等边三角形

（2）解： 是等边三角形．证明如下：

∵ ，

∴ ．

∵DB＝DF，DC＝DE，

∴ ，∠DEC＝∠ACB，

∴ ，  

∴ ．

∵ ，

∴ ， ．

∵∠DBF＝∠DFB，

∴∠DCF＝∠DFC，

∴DF＝DC，

∴DF＝DE，

∴ 是等边三角形．

【点拨】本题考查的是等边三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，30°直角三角形的性质，掌握在以上知识点是解题的关键．