【324076】2024八年级数学下册 专题2.1一元二次方程（含解析）（新版）浙教版

专题2.1一元二次方程

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（仙居县校级月考）下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（　　）

A．2x+5y＝3 B．ax²+bx+c＝0 C．2x²+3x＝0 D．x²+3x﹣2＝x²

【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）解答即可．

【解析】A．是二元一次方程，故本选项不合题意；

B．xy+1＝0，是二元二次方程，故本选项不合题意；

C．是一元二次方程，故此选项符合题意；

D．整理后得3x﹣2＝0，是一元一次方程，故本选项不合题意；

故选：C．

2．（丽水期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）

A．3x﹣4＝0 B．x²﹣3x＝0 C．x+3y＝2 D． 3

【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．

【解析】A．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B．是一元二次方程，故本选项符合题意；

C．是二元一次方程，故本选项不符合题意；

D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：B．

3．（嘉兴期末）下列方程属于一元二次方程的是（　　）

A．1﹣x＝2x B．x+2y＝3 C．2x²﹣x+1＝0 D．

【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

【解析】A、未知数的最高次数是1，故本选项不符合题意；

B、方程含有两个未知数，故本选项不符合题意；

C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；

D、不是整式方程，故本选项不符合题意．

故选：C．

4．（椒江区校级期中）若关于x的一元二次方程ax²+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b的值是（　　）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b＝﹣1，然后把2021﹣a﹣b变形为2021﹣（a+b），再利用整体代入的方法计算．

【解析】把x＝1代入方程ax²+bx+1＝0得a+b+1＝0，

所以a+b＝﹣1，

所以2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021+1＝2022．

故选：C．

5．（温岭市期中）若m是方程2x²﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m²+9m﹣13的值为（　　）

A．﹣16 B．﹣13 C．﹣10 D．﹣8

【分析】由已知可得2m²﹣3m﹣1＝0，再化简所求代数为﹣6m²+9m﹣13＝3（2m²﹣3m）﹣13，即可求解．

【解析】∵m是方程2x²﹣3x﹣1＝0的一个根，

∴2m²﹣3m﹣1＝0，

∴2m²﹣3m＝1，

∴﹣6m²+9m﹣13＝﹣3（2m²﹣3m）﹣13＝﹣3×1﹣13＝﹣16，

故选：A．

6．（温岭市期中）若方程（k+1）x²﹣2x+4＝0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（　　）

A．k≠﹣1 B．k＞﹣1

C．k＜﹣1 D．k为任意实数

【分析】根据一元二次方程的定义得出k+1≠0，再求出即可．

【解析】∵方程（k+1）x²﹣2x+4＝0是关于x的一元二次方程，

∴k+1≠0，

解得：k≠﹣1，

故选：A．

7．（黔东南州）若关于x的一元二次方程x²﹣ax+6＝0的一个根是2，则a的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】根据关于x的一元二次方程x²﹣ax+6＝0的一个根是2，将x＝2代入方程即可求得a的值．

【解析】∵关于x的一元二次方程x²﹣ax+6＝0的一个根是2，

∴2²﹣2a+6＝0，

解得a＝5．

故选：D．

8．（宁阳县期末）把一元二次方程y²+2（y﹣1）＝3y化成一般形式，正确的是（　　）

A．y²﹣y﹣2＝0 B．y²+5y﹣2＝0 C．y²﹣y﹣1＝0 D．y²﹣2y﹣1＝0

【分析】一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c＝0（a≠0），将原方程化简即可．

【解析】y²+2（y﹣1）＝3y，

∴y²+2y﹣2﹣3y＝0，

∴y²﹣y﹣2＝0．

故选：A．

9．（平顶山期中）若关于x的一元二次方程ax²+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）²+bx﹣b＝﹣2必有一根为（　　）

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）²+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1得到at²+bt+2＝0，利用at²+bt+2＝0有一个根为t＝2021得到x﹣1＝2021，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）²+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2022．

【解析】对于一元二次方程a（x﹣1）²+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）²+b（x﹣1）+2＝0，

设t＝x﹣1，

所以at²+bt+2＝0，

而关于x的一元二次方程ax²+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，

所以at²+bt+2＝0有一个根为t＝2021，

则x﹣1＝2021，

解得x＝2022，

所以一元二次方程a（x﹣1）²+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．

故选：D．

10．（江西模拟）关于x的方程（a﹣3） 3x﹣2＝0是一元二次方程，则（　　）

A．a≠±3 B．a＝3 C．a＝﹣3 D．a＝±3

【分析】根据一元二次方程的定义得出a²﹣7＝2且a﹣3≠0，求出即可．

【解析】∵关于x的方程（a﹣3） 3x﹣2＝0是一元二次方程，

∴a²﹣7＝2且a﹣3≠0，

解得：a＝﹣3，

故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（铁锋区期末）若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为　x²﹣2x＝0　．

【分析】直接利用已知要求得出符合题意的方程．

【解析】由题意可得，该方程的一般形式为：x²﹣2x＝0．

故答案为：x²﹣2x＝0．

12．（仙居县校级月考）若x＝1是一元二次方程x²﹣3x+m＝0的一个根，则m＝　2　．

【分析】将x＝1代入方程得到关于m的方程，从而可求得m的值．

【解析】将x＝1代入得：1﹣3+m＝0，

解得：m＝2．

故答案为：2．

13．（衢州期末）一元二次方程x²+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，则b的值为　2022　．

【分析】一元二次方程x²+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，那么就可以把x＝﹣1代入方程，从而可直接求b的值．

【解析】把x＝﹣1代入x²+bx+2021＝0中，得

1﹣b+2021＝0，

解得b＝2022，

故答案是：2022．

14．（嵊州市期末）若关于x的一元二次方程ax²+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，则代数式6a﹣3b+2的值为　﹣7　．

【分析】先将代数式变形整理，然后将x＝﹣2代入原方程，利用整体思想代入求值．

【解析】原式＝3（2a﹣b）+2，

∵关于x的一元二次方程ax²+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，

∴4a﹣2b+6＝0，

4a﹣2b＝﹣6，

∴2a﹣b＝﹣3，

∴原式＝3×（﹣3）+2＝﹣9+2＝﹣7，

故答案为：﹣7．

15．（宁波期末）若m是方程x²+x﹣1＝0一个根，则代数式2m²+2m+2021的值为　2023　．

【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m²+m＝1，再把2m²+2m+2021表示为2（m²+m）+2021，然后利用整体代入的方法计算．

【解析】∵m是方程x²+x﹣1＝0的一个根，

∴m²+m﹣1＝0，

∴m²+m＝1，

∴2m²+2m+2021＝2（m²+m）+2021＝2×1+2021＝2023．

故答案为：2023．

16．（江北区期末）已知m是方程x²﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m²﹣4m﹣1＝　5　．

【分析】把x＝m代入方程求出m²﹣2m＝3，把2m²﹣4m化成2（m²﹣2m）代入求出即可．

【解析】根据题意，将x＝m代入方程，得：m²﹣2m﹣3＝0，

则m²﹣2m＝3，

∴2m²﹣4m﹣1

＝2（m²﹣2m）﹣1

＝2×3﹣1

＝5，

故答案是：5．

17．（阜阳月考）已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）满足4a﹣2b+c＝0，则这个一元二次方程一定有一个解是　x＝﹣2　．

【分析】由于把x＝﹣2代入方程ax²+bx+c＝0（a≠0）得到4a﹣2b+c＝0，从而判断x＝﹣2为原方程的解．

【解析】当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝0，

所以这个一元二次方程一定有一个解是x＝﹣2．

故答案为﹣2．

18．（铁力市期末）某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则满足x的方程是　289（1﹣x）²＝256　．

【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的（1﹣x），那么第二次降价后的售价是原来的（1﹣x）²，根据题意列方程即可．

【解析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得

289（1﹣x）²＝256．

故答案为：289（1﹣x）²＝256．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（安居区期中）已知方程（m﹣2） （m﹣3）x+1＝0．

（1）当m为何值时，它是一元二次方程？

（2）当m为何值时，它是一元一次方程？

【分析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题；

（2）根据一次方程的定义可解答本题．

【解析】（1）∵方程（m﹣2） （m﹣3）x+1＝0为一元二次方程，

∴ ，

解得：m＝± ，

所以当m为 或 时，方程方程（m﹣2） （m﹣3）x+1＝0为一元二次方程；

（2）∵方程（m﹣2） （m﹣3）x+1＝0为一元一次方程，

∴ 或 或m＝0，

解得，m＝2或m＝±1，0，

故当m为2或±1，0时，方程方程（m﹣2） （m﹣3）x+1＝0为一元一次方程．

20．已知关于x的方程（m+1）x （m﹣2）x﹣1＝0．

（1）m取何值时，它是一元二次方程？

（2）m取何值时，它是一元一次方程？

【分析】（1）根据一元二次方程的定义和已知条件得出m+1≠0且m²+1＝2，再求出答案即可；

（2）根据一元一次方程的定义和已知条件得出∴①m+1＝0且m﹣2≠0，②m﹣2＝0且m+1≠0，m²+1＝1，③m²+1＝1且m+1+m﹣2≠0，再分别求出即可．

【解析】（1）∵x的方程（m+1）x （m﹣2）x﹣1＝0是一元二次方程，

∴m+1≠0且m²+1＝2，

解得：m＝1，

∴当m＝1时，方程为一元二次方程；

（2）∵x的方程（m+1）x （m﹣2）x﹣1＝0是一元一次方程，

∴①m+1＝0且m﹣2≠0，②m﹣2＝0且m+1≠0，m²+1＝1，③m²+1＝1且m+1+m﹣2≠0，

解得：①m＝﹣1，②不存在，③m＝0，

∴m为﹣1或0时，方程是一元一次方程．

21．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

（1）（x﹣5）²＝36；

（2）3y（y+1）＝2（y+1）．

【分析】（1）首先去括号、移项、合并同类项，进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数；

（2）首先去括号、移项、合并同类项，进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数．

【解析】（1）一元二次方程（x﹣5）²＝36的一般形式是：x²﹣10x﹣11＝0，

二次项系数是1、一次项系数是﹣10，常数项是﹣11；

（2）一元二次方程3y（y+1）＝2（y+1）的一般形式是：3y²+y﹣2＝0，

二次项系数3、一次项系数是1，常数项是﹣2．

22．（海门市校级期中）已知a²﹣3a+1＝0，求下列各式的值：

（1）2a²﹣6a﹣3；

（2）a²+a^﹣2；

（3）a﹣a^﹣1．

【分析】（1）由已知条件变形得到a²﹣3a＝﹣1，再把2a²﹣6a﹣3变形为2（a²﹣3a）﹣3，然后利用整体代入的方法计算；

（2）把已知等式两边除以a得到a 3，再利用完全平方公式得到a²+a^﹣2＝（a ）²﹣2，然后利用整体代入的方法计算；

（3）利用完全平方公式变形得到a﹣a^﹣1＝± ，然后利用整体代入的方法计算．

【解析】（1）∵a²﹣3a+1＝0，

∴a²﹣3a＝﹣1，

∴2a²﹣6a﹣3＝2（a²﹣3a）﹣3＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5；

（2）∵a²﹣3a+1＝0，

∴a 3，

∴a²+a^﹣2＝（a ）²﹣2＝3²﹣2＝7；

（3）a﹣a^﹣1 ± ± ．

23．（中山市期末）已知关于x的一元二次方程（a+1）x²+2x+1﹣a²＝0有一个根为﹣1，求a的值．

【分析】将x＝﹣1代入原方程可求出a值．

【解析】将x＝﹣1代入原方程，得（a+1）﹣2+1﹣a²＝0，

整理得：a²﹣a＝0，

即：a（a﹣1）＝0

解得：a＝0或a＝1．

24．（宜春期末）在一元二次方程x²﹣2ax+b＝0中，若a²﹣b＞0，则称a是该方程的中点值．

（1）方程x²﹣8x+3＝0的中点值是　4　．

（2）已知x²﹣mx+n＝0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值．

【分析】（1）根据方程的中点值的定义计算；

（2）利用方程的中点值的定义得到m＝6，再把把x＝2代入x²﹣mx+n＝0计算出n的值，然后计算mn．

【解析】（1）∵（ ）²﹣3＝13，

∴方程x²﹣8x+3＝0的中点值为4；

故答案为4；

（2）∵ 3，

∴m＝6，

把x＝2代入x²﹣mx+n＝0得4﹣6×2+n＝0，解得n＝8，

∴mn＝6×8＝48．