【324072】2024八年级数学下册 专题1.20 二次根式（挑战综合（压轴）题分类专题）（新版）浙

专题1.20二次根式（挑战综合（压轴）题分类专题）

【类型一】二次根式的运算➽➼运算✮✮化简✮✮求值

【类型①】二次根式综合运算➼➻直接运算

1．（广西河池·统考中考真题）计算： ．

2．（青海西宁·统考中考真题）计算： ．

3．（山东滨州·中考真题）计算： ．

【类型②】二次根式✭✭整（分）式综合➼➻化简✭✭求值

4．（内蒙古赤峰·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．

5．（湖北荆门·中考真题）先化简，再求值：

，其中 ．

6．（辽宁铁岭·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中 ， ．

【类型③】二次根式✭✭整（分）式挑战➼➻化简✭✭求值

7．（湖南邵阳·中考真题）先化简，再求值： ，其中

8．（河南·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 ．

9. （内蒙古呼和浩特·呼和浩特市实验中学校考一模）

1. 计算：

2. 先化简，再求值： ，其中 ．

【类型二】二次根式的应用➽➼规律探究✮✮代数证明✮✮化简求值

【类型①】二次根式的应用➼➻规律探究➼➻化简求值

10．（江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考一模）观察下列等式：① ；② ；③ ．

解决下列问题：

（1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子；

（2）用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明；

（3）利用上述结果计算： ．

11．（云南昭通·统考二模）实践与探索

（1）填空： ________； ________．

（2）观察第（1）的结果填空：当 时， ________；当 时， ________．

（3）利用你总结的规律计算： ，其中x的取值范围在数轴上表示为 ．

12．（山西临汾·统考一模）观察下列各式及其验证过程：

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证；

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并说明它成立．

【类型②】二次根式的应用➼➻代数证明➼➻化简求值

13．（安徽宣城·八年级校考期中）观察下列等式：

； ； ；

1. 写出式第 个等式：______；

2. 写出第 个等式，并证明．

14．（河南新乡·八年级统考期末）已知 ， ．

(1)求证：a与b互为倒数．

(2)当 时，求 的值．

15．（江苏·八年级专题练习）观察下列各式： ， ， ，…，请你将发现的规律用含自然数 的形式表示出来，并证明.

【类型三】二次根式的应用➽➼最值问题✮✮大小比较✮✮化简求值

【类型①】二次根式的应用➼➻最值问题➼➻化简求值

16．（江西南昌·九年级统考期中）【说读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：

当 ， 时：

∵ ，

∴ ．

∴ ，当且仅当 时取等号，即当 时， 有最小值为 ．

【学以致用】根据上面材料回答下列问题：

1. 已知 ，则当 　　时，式子 取到最小值，最小值为　　；

2. 已知 ，求当 值为多少时，分式 取到最小值，最小值是多少？

3. 用篱笆围一个面积为 的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

17．（四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：

当 时，∵ ，∴当 即 时， 的最小值为2．

请利用以上结果解决下面的问题：

1. 当 时， 的最小值为___________；当 时， 的最大值为___________；

2. 当 时，求 的最小值；

3. 如图，已知四边形 的对角线 、 交于点 ，若 的面积为3， 的面积为6，求四边形 面积的最小值．

18．（福建泉州·八年级校考期中）阅读下列材料：

材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．

解：设x＋2＝t，则x＝t﹣2．

∴原式

∴

材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解，它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：当a＞0，b＞0时，∵

∴当 ，即a＝b时， 有最小值2．

根据以上阅读材料回答下列问题：

1. 将分式 拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为；

2. 已知分式 的值为整数，求整数x的值；

3. 当﹣1＜x＜1时，求代数式 的最大值及此时x的值．

【类型②】二次根式的应用➼➻大小比较➼➻化简求值

19．（全国·八年级专题练习）比较 和 的大小（平方法）

20．（八年级课时练习）比较大小.

(1) 与6

(2) 与

21．（福建福州·八年级校考期中）阅读理解：观察下列等式：

① ＝ ＝ ；

② ＝ ＝ ；

…

1. 利用你观察到的规律，化简： ；

2. 若a＝ ﹣ ，b＝ ﹣ ，比较a，b大小．

【类型四】二次根式的应用➽➼图形问题✮✮坐标系问题✮✮化简求值

【类型①】二次根式的应用➼➻图形问题➼➻化简求值

22．（八年级单元测试）已知 、 、 、 是正数，试证：存在以 ， ， 为三条边的三角形，并求这个三角形的面积．

23．（八年级单元测试）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长 为 ，宽 为 ，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为 ，宽为 ．

1. 求长方形 的周长；

2. 除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元 的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）

24．（四川凉山·八年级校考期中）已知 三条边的长度分别是 记 的周长为 ．

(1)当 时， 的最长边的长度是___________（请直接写出答案）．

(2)请求出 （用含x的代数式表示，结果要求化简）．

(3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式： ．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．若x为整数，当 取得最大值时，请用秦九韶公式求出 的面积．

【类型②】二次根式的应用➼➻平面直角坐标系中➼➻化简求值

25．（浙江·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B和点C在x轴上，点A在y轴上， ， ，且a，b满足 ．

1. 证明 为等边三角形；

2. 现有一动点P从点A沿y轴负方向运动，速度为1个单位长度每秒，连接 ，在 的下方作等边三角形 过点Q作 轴，垂足为D，设点P的运动时间为t秒， 的长度为d，求d与t之间的关系式；（用含t的式子表示d）

3. 在（2）问的条件下，已知 ，当 为等腰直角三角形时，求t的值，并求出此时直线 与x轴的交点E的坐标．

26．（江苏·八年级专题练习）定义：对于平面直角坐标系中的任意两点 和 ，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作 ，即

（1）若A（2，1）和B（ ，3），则 ______；

（2）若点M（1，2）， ，其中a为任意实数，求 的最小值

（3）若m为常数，且 ，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m， ），C点的坐标为（x，0），求 的最小值以及 的最大值．（用含m的代数式表示）

27．（湖北武汉·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），且 点B的坐标为（1，2）．

（1）求点A的坐标；

（2）若存在点M（2，b），使△ABM的面积S_△ABM＝5．试求出b的值；

（3）已知点P的坐标为（7，0），若把线段AB上下平移，恰使△ABP的面积S_△ABP＝4，直接写出平移方式．

【类型五】二次根式的应用➽➼综合探究问题

28．（湖北荆州·统考三模）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程 ＋ ＝5的过程．

解：设 ﹣ ＝m，与原方程相乘得：

（ ＋ ）×（ ）＝5m，

x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，

∴ ﹣ ＝1，与原方程相加得：

（ ＋ ）+（ ）＝5＋1，

2 ＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．

学习借鉴解法，解方程 ﹣ ＝1．

29．（吉林长春·九年级统考期末）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ．善于思考的小明进行了以下探索：若设 （其中 均为整数），则有 ．这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

【问题解决】

（1）若 ，当 均为整数时，则a＝　　，b＝　　．（均用含m、n的式子表示）

（2）若 ，且 均为正整数，分别求出 的值．

【拓展延伸】

（3）化简 ＝　　．

30．（八年级课时练习）在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.

比如： .善于动脑的小明继续探究：

当 为正整数时，若 ，则有 ，所以 ， .

请模仿小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当 为正整数时，若 ，请用含有 的式子分别表示 ，得： ， ；

（2）填空： = - ；

（3）若 ，且 为正整数，求 的值.

参考答案

1．

【分析】根据化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂进行计算即可求解．

解：原式＝

【点拨】本题考查了实数的混合运算，掌握化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂是解题的关键．

2．

【分析】由平方差公式、完全平方公式进行化简，再计算加减运算，即可得到答案．

解：原式

．

【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．

3．

【分析】针对二次根式化简，零指数幂，绝对值3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

解：原式=

=

4．

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将计算m的值代入化简结果中求值可得．

解：

∵

∴当 时，原式 ．

【点拨】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

5． ； ．

【分析】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可．

解：原式

当 时，

原式

。

【点拨】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式的应用和二次根式的运算，掌握相关的性质和运算法则是解题的关键．

6．-6

【分析】先化简分式，然后将a、b的值代入求值．

解：原式

，

当 ， ，

原式

．

【点拨】本题考查了分式的计算和化简.解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分，熟练了分式的运算法则是解题的关键．

7． ，

【分析】原式括号中两项通分并分别利用同分母分式的加法和减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．

解：

＝

＝

＝

＝

当 时，

原式＝

＝

【点拨】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

8． ，

解：原式

，

把 代入，原式

9．（1）-10；（2） .

解：（1） +(π- )⁰- |-2|+（ ）^-1+ -（2+ ）²⁰¹⁷（2- ）²⁰¹⁹

＝3+1﹣2+3+ ﹣[（2+ ）（2﹣ ）]²⁰¹⁷•（2﹣ ）²

＝3+1﹣2+3﹣4 ﹣8﹣1×（7﹣4 ）

＝3+1﹣2+3﹣4 ﹣8﹣7+4

＝﹣10；

（2） ÷（x-1- ），

＝ ÷（ ），

＝

＝ ，

当x＝ +1时，原式＝ = = ．

【点拨】本题考查分式的化简求值、零指数幂、绝对值、负整数指数幂和幂的乘方，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

10．（1） ；（2） ，证明见分析；（3）

【分析】（1）利用题中等式的计算规律即可得到；

（2）根据题目中式子的特点，找到第n个等式的左边和右边，然后计算即可；

（3）利用（2）的结论得出 ，再裂项计算即可；

解：（1）∵① ；

② ；

③

∴第⑤个式子是：

（2）第n个等式为

证明：左边

右边

（3）原式

【点拨】本题考查的是二次根式的混合运算的应用，根据题意正确总结规律是解题的关键．

11．（1）3，5；（2）a， ；（3）2

【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简求出答案；

（2）直接利用二次根式的性质化简求出答案；

（3）直接利用二次根式的性质化简求出答案．

解：（1） 3；  =5；

故答案为：3，5；

（2）当a≥0时 a；当a＜0时， -a；

故答案为：a，-a；

（3）由数轴可得x的取值范围为 ，

∴x-2＞0、x-4＜0，

∴

=2．

【点拨】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．

12．(1)、 ；理由见分析；(2)、 ；理由见分析

试题分析：(1)、根据题意得出答案，然后根据二次根式的性质进行验证；(2)、根据题意得出一般性的规律，然后根据二次根式的性质进行验证．

解：(1)、5 =

验证：5 = = = = ；

(2)、n = ，

证明：n = = = = ．

考点：二次根式的性质与化简．

13．(1) ； (2) ，证明见分析．

【分析】（1）观察等式的规律即可得出答案；

（2）写出等式，将多项式乘多项式展开，化简，根据 即可得出答案．

解：（1）第 个等式为： ，

故答案为： ；

（2） ，

证明：

．

【点拨】本题考查了探索规律，二次根式的性质，根据 化简是解题的关键．

14．(1)证明见分析 (2)

【分析】（1）只需要利用平方差公式求出 即可证明结论；

（2）先证明 ，然后利用完全平方公式的变形进行求解即可；

（1）证明：

，

∴a与b互为倒数．

（2）解：∵ ， ，

∴

∴

，

当 时，原式 ．

【点拨】本题主要考查了倒数的定义，平方差公式和完全平方公式的变形，二次根式的计算，熟知相关知识是解题的关键．

15． ．

【分析】此题应先观察列举出的式子，可找出它们的一般规律，用含有n的式子表示出来即可, 将等式左边被开方数进行通分，把被开方数的分子开方即可．

解：上述式子的规用含自然数n（n为正整数）的代数式可表示为

∵左边= =右边

∴ ．

【点拨】本题主要考查学生把特殊归纳到一般的能力及二次根式的化简，解题的关键是仔细观察，找出各式的内在联系解决问题．

16．(1) (2)当 时，最小值为 (3)当这个长方形的长、宽各为 米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是 米

【分析】（1）根据阅读材料，利用 ，且仅当 时取等号，进行计算；

（2）将式变为： ，则原式的最大值，即为现在式子的最小值．

（3）设这个矩形的长为 米，则宽 面积 长，即宽 米，则所用的篱笆总长为2倍的长 倍的宽，本题就可以转化为两个非负数的和的问题，从而根据： 求解．

（1）解：当 时， ，

∴当 时， 的最小值是2；

即当 时， 的最小值是2；

故答案为：1；2；

（2）令 ，

当且仅当 时，即 时， 取最小值为 ，

∴当 时， ．

（3）设这个矩形的长为 米，则宽为 米，所用的篱笆总长为 米，

根据题意得： ，

由上述性质知：

∵ ，

∴ ，

此时， ，

∴ ．

答：当这个长方形的长、宽各为 米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是 米．

【点拨】本题考查了二次根式与完全平方公式，求最值问题，理解阅读材料是解题的关键．

17．(1)4， (2) (3)

【分析】（1）根据题干中的方法求解即可；当考虑 时，注意符号变化；

（2）先将分式化简为题干形式，然后利用题干中的方法转化为完全平方公式形式求解即可；

（3）根据三角形等高得出 ，得出 ，确定四边形的面积形式，利用题干中的方法求解即可得出结果．

（1）解：∵ ，

∴当 即 时， 的最小值为4；

当 时， ，

∵ ，

∴ ，

∴当 即 时， 的最大值为 ；

故答案为：4；

（2）

，

当 ，即 时， 的最小值是 ．

（3）设 的面积为 ，

∵ ，

即 ，

∴ ．

四边形 的面积 ，

当 时，

即 时，四边形 面积最小为 ．

【点拨】题目主要考查二次根式的化简及完全平方公式的运用，理解题意中二次根式的化简方法是解题关键．

18．(1) (2)0或1 (3)最大值为-1，x的值为

【分析】（1）根据题意给出的方法即可求出答案；

（2）将分式化为一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式即可求出答案；

（3）将分式化为一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，然后根据材料2的结论即可求出答案．

（1）解：设x+1=t，

∴ ，

∴原式

；

故答案为： ；

（2）解：设 ，

∴ ，

∴原式

，

当 =±1或±2或±4时，该分式的值为整数，

∵x是整数，

∴x=0或1；

（3）解：设 ，

∴ ，

∵-1＜x＜1，

∴0＜t≤2，

∴原式

，

∵ ，

∴ ，

∴原式 ，

当且仅当 时取等号，

即t=1，原分式的最大值为 ，

此时 ，

∴ ．

【点拨】本题考查分式和二次根式，解题的关键是正确理解题意给出的结论、熟练运用配方法．

19．

【分析】利用平方法，即可比较出大小．

解： ， ，

，

，

又 ， ，

．

【点拨】本题考查了无理数大小的比较方法，积的乘方运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键．

20．(1) (2)

【分析】（1）根据实数的大小比较法则即可得；

（2）将两个数作差，根据实数的运算法则、无理数的估算即可得．

（1）解： ，

，

即 ．

（2）解：

，

，

，即 ，

，

，即 ，

．

【点拨】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算、实数的运算，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．

21．(1) (2)a＜b

【分析】（1）根据分母有理化，配成平方差公式化简即可；

（2）利用倒数法比较大小即可．

（1）解：原式=

= ；

（2）∵ ，

，

∴ ，

∴ ，

即a＜b．

【点拨】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去；分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．也考查了二次根式的性质与化简．

22．

【分析】构造矩形 ，使得 ， ，在 上取一点A使得 ， ，在 上取一点B使得 ， ，连接 、 、 得到 ．然后利用勾股定理证明这个三角形符合条件，再利用分割法求出面积即可．

解：构造矩形 ，使得 ， ，在 上取一点A使得 ， ，在 上取一点B使得 ， ，连接 、 、 得到 ．

四边形 是矩形，

∴ ，

∴ ， ，

，

∴存在以 ， ， 为三条边的三角形．

∴这个三角形的面积为：

．

【点拨】本题考查二次根式的应用、勾股定理、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．

23．(1) (2) 元

【分析】（1）由长方形的周长等于相邻两边和的2倍，再计算二次根式的加法，后计算乘法即可；

（2）先求解通道的面积，再乘以单价即可得到答案．

解：（1）长方形 的周长

，

答：长方形 的周长是 ；

（2）购买地砖需要花费

（元 ；

答：购买地砖需要花费 元．

【点拨】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的的化简与运算是解本题的关键．

24．(1)3 (2) (3)

【分析】（1）依据 三条边的长度分别是 ， ， ，即可得到当 时， 的最长边的长度；

（2）依据根式有意义可得 ，进而化简得到 的周长；

（3）依据（2）可得 ，且 ，由于x为整数，且要使 取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证，即可得出 的面积．

（1）解：当 是， ， ，

∴ 的最长边的长度是3；

故答案为：3．

（2）解：由题知： ，

解得： ，

∴ ， ，

∴

．

（3）解：∵ ，且 ，

又∵x为整数，且 有最大值，

∴ ，

∴当 时，三边长度分别为1，4， ，但 ，不满足三角形三边关系

∴x≠4

当 时，三边长度分别为2，2，3，满足三角形三边关系．此时 的最大值为7，

不妨设 ， ， ，

．

【点拨】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算．

25．(1)证明见分析 (2) (3) ， 或 ，

【分析】（1）根据非负数的性质，求出a，b可得AB=AC=BC，即可求证；

（2）过点P作PG⊥AC于G，证明 ，可得CD=CG，DQ=PG，从而得到AP=2DQ，即可求解；

（3）分两种情况讨论：当点P在线段OA上，当点P在AO的延长线上，即可求解．

解：（1）证明∶∵ ，

∴a-2=0，b-4=0，

∴a=2，b=4，

∴AB=4，OB=OC=2，

∴OA⊥BC，

∴AB=AC，

∵BC=OB+OC=4，

∴AB=AC=BC，

∴△ABC是等边三角形；

（2）解：根据题意得：AP=t，

如图，过点P作PG⊥AC于G，

由（1）知，△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ACB=60°，

∵AO⊥BC，

∴ ，

∴AP=2PG，

∵△CPQ为等边三角形，

∴∠PCQ=∠ACB=60°，CP=CQ，

∴∠PCG=∠DCQ，

在△CGP和△CDQ中，

∵ ，

∴ ，

∴CD=CG，DQ=PG，

∴AP=2DQ，

∵QD的长度为d，

∴ ；

（3）解：根据题意得：AP=t，

∵ 为等腰直角三角形，且∠POC=90°，

∴OP=OC=2，

当点P在线段OA上，即 时，则 ，即 ，点P（0，2），

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴点 ，

设直线PQ的解析式为 ，

∴ ，

解得： ，

∴直线PQ的解析式为 ，

当y=0时， ，

∴点 ；

当点P在AO的延长线上，即 时，则 ，即 ，点P（0，-2），过点P作PF⊥AC交AC延长线于点F，

由（1）知，△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ACB=60°，

∵AO⊥BC，

∴ ，

∴AP=2PF，

∵△CPQ为等边三角形，

∴∠PCQ=∠ACB=60°，CP=CQ，

∴∠PCF=∠DCQ，

在△CEP和△CDQ中，

∵ ，

∴ ，

∴CD=CF，DQ=PF，

∴AP=2DQ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴点 ，

设直线PQ的解析式为 ，

∴ ，

解得： ，

∴直线PQ的解析式为 ，

当y=0时， ，

∴点 ；

综上所述， ， 或 ， ．

【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法，解本题的关键是判断出点Q的坐标．

26．（1） ；（2） ；（3）10，

【分析】（1）把A、B两点坐标代入 求解即可；

（2）把M、N两点代入 ，把根号下函数转化为顶点式即可求解；

（3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值，两点之间线段最短；作B关于x轴的对称点 ，连接 并延长交x轴于点C，三角形中两边之差小于第三边即可求解．

解：（1）由题意得： ，

故答案为： ；

（2） ，

∴当a=3时，Q[M，N]有最小值，最小值为： ；

故最小值为： ；

（3）连接AB交x轴于点C，此时 有最小值，

此时 ；

作B关于x轴的对称点 ，连接 并延长交x轴于点C，AC-BC=AC- = ，

在x轴上任取一点 ， ，

即

故 的最小值为：10m； 的最大值为 ．

【点拨】本题主要考查的是根据给出的新定义求解最值问题，解答本题的关键是熟悉题意，掌握两点之间线段最短，以及三角形两边之差小于第三边的特性．

27．（1）点A的坐标为（5，4）；（2）b＝5，或b＝0；（3）把线段AB向下平移10个单位，恰使△ABP的面积S_△ABP＝4；见分析

【分析】（1）根据非负性得出 ， ，即可得出点A的坐标；

（2）根据三角形面积得出方程，解方程即可；

（3）分情况讨论，根据图形的平移和图形面积解答即可．

解：（1）∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴点A的坐标为（5，4）；

（2）如图：

∵A（5，4）．B（1，2），M（2，b），

∴S_△ABM＝（5﹣1）（b﹣2）﹣ （2﹣1）（b﹣2）﹣ ×（5﹣2）（b﹣4）﹣ （5﹣1）（4﹣2）＝5，

或S_△ABM＝（5﹣1）（4﹣b）﹣ （2﹣1）（2﹣b）﹣ （5﹣2）（4﹣b）﹣ （5﹣1）（4﹣2）＝5，

解得：b＝5，或b＝0；

（3）分两种情况：

①当线段AB向上平移c个单位长度，如图：

则A′（5，4+c），B'（1，2+c），

∵P点的坐标为（7，0），

∴S_△A′B′P＝ （4+c+2）×（7﹣1）﹣ ×2×（5﹣1）﹣ ×（4+c）×（7﹣5）＝4，

解得：c＝﹣3＜0，不合题意舍去；

②当线段AB向下平移c个单位长度，如图：

则A′（5，4﹣c），B（1，2﹣c），

则S_△A′B′P＝ ×（c﹣2）×（7﹣1）﹣ ×（5﹣1）×2﹣ ×（c﹣4）×2﹣2×2＝4，

解得：b＝10．

综上所述，把线段AB向下平移10个单位，恰使△ABP的面积S_△ABP＝4．

【点拨】本题考查的是平面直角坐标系和几何综合题，涉及三角形面积的求解，线段的平移，解题的关键是利用数形结合的方法通过设点坐标根据题目条件列式求解．

28．x＝7

【分析】根据借鉴题中的方法，即可计算求解．

解：设 + ＝m，与原方程相乘得：

（ ﹣ ）×（ + ）＝m，

x﹣3﹣（x﹣6）＝m，解之得m＝3，

∴ + ＝3，与原方程相加得：

（ ﹣ ）+（ + ）＝3＋1，

2 ＝4，解之得，x＝7，经检验，x＝7是原方程的根．

【点拨】此题主要考查解无理方程，解题的关键是阅读理解，用新方法解决问题．

29．（1） ；（2） 或 ；（3）

【分析】（1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；

（2）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简；

（3）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解．

（1）解： ，

∵ ，且 均为整数，

，

故答案为：

（2）解： ，

∵ ，

∴ ，

又∵ 均为正整数，

∴ 或 ，

即 或 ；

（3）解：

＝

＝

＝ ，

故答案为：

【点拨】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质 ，掌握完全平方公式本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质 ，掌握完全平方公式 的结构是解题关键．

30．（1） ， ；（2） ；（3） 或46.

解：（1）把等式 右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；

（2）由（1）中结论可得： ，结合 都为正整数可得：m=2，n=1，这样就可得到： ；

（3）将 右边展开，整理可得： ， 结合 为正整数，即可先求得 的值，再求 的值即可.

解：（1）∵ ，

∴ ，

∴ ；

（2）由（1）中结论可得： ，

∵ 都为正整数，

∴ 或 ，

∵当m=1，n=2时， ，而当m=2，n=1时， ，

∴m=2，n=1，

∴ ；

（3）∵ ，

∴ ， ，

又∵ 为正整数，

∴ ，或者 ，

∴当 时， ；当 ， ，

即 的值为：46或14.