【324067】2024八年级数学下册 专题1.15 二次根式（常考考点专题）（巩固篇）（新版）浙教版

专题1.15二次根式（常考考点专题）

（巩固篇）

一、单选题

【类型一】定义与概念的理解

【考点一】二次根式➽➼➵概念➻➼二次根式✮✮复合二次根式

1．下列式子中是二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

2．化简 为（　　）

A． B． C． D．1

【考点二】最简二次根式➽➼➵概念➻➼判断✮✮化简✮✮求参数

3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

4．下列实数中是无理数是（    ）

A． B． C． D．

【考点三】同类二次根式➽➼➵概念➻➼判断✮✮化简✮✮求参数

5．下列根式中与 是同类二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

6．如果最简二次根式 与 能够合并，那么a的值为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．10

【考点四】分母有理化➽➼➵化简✮✮求值

7．已知 ，则 的值为（　　）．

A．﹣2 B．2 C．2 D．-2

8．已知a＝ ，b＝2+ ，则a，b的关系是（　　）

A．相等 B．互为相反数

C．互为倒数 D．互为有理化因式

【类型二】二次根式的性质➽➼双重非负性

【考点一】二次根式➽➼➵二次根式的意义

9．x取下列各数时，使得 有意义的是（    ）

A．0 B． C． D．

10．已知 ，化简二次根式 的值是（    ）．

A． B． C． D．

【考点二】二次根式➽➼➵二次根式的化简

11．已知 ，则二次根式 化简后的结果为（    ）．

A． B． C． D．

12．已知实数a满足 ，那么 的值是（    ）

A．2023 B．2022 C．2021 D．2020

【类型三】二次根式的运算

【考点一】二次根式运算➽➼➵二次根式的乘法

13． 的一个有理化因式是（    ）

A． B． C． D．

14．在 中， ， ， ，则 的面积是（    ）

A．5 B． C．10 D．

【考点二】二次根式运算➽➼➵二次根式的除法

15．下列各式计算正确的是（   ）

A． B．

C． D．

16．若 与 互为相反数，则 的值是（    ）

A． B． C． D．

【考点三】二次根式运算➽➼➵二次根式的乘除法

17．下列各式正确的是 (    )

A． × ＝9 B．(4 )²＝8

C． ÷ D． ＝7－4

18．计算2 × ÷ 的结果是（　　）

A． B． C． D．

【考点四】二次根式运算➽➼➵二次根式的加减法

19．计算： 的结果为（   ）

A．1 B．2 C．3 D．

20．已知 的整数部分是 ，小数部分是 ，则 的值是（   ）

A． B． C．2 D．1

【考点五】二次根式运算➽➼➵二次根式的混合运算

21．估计 的值应在（　　）

A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间

22．下列计算正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【类型四】二次根式的化简求值

【考点一】二次根式化简求值➽➼➵直接化简求值

23．已知 时，则代数式 的值（　　）

A．1 B．4 C．7 D．3

24．若x＝ ﹣4，则代数式x²+8x﹣16的值为（    ）

A．﹣25 B．﹣11 C．7 D．25

【考点二】二次根式化简求值➽➼➵条件式化简求值

25．若 +（a﹣4）²＝0，则化简 的结果是（　　）

A． B．± C． D．±

26．已知 ，则 的值为（    ）

A． B． C． D．

【考点三】二次根式化简求值➽➼➵比较大小

27．估算 的值应在（    ）．

A．4和5之间 B．5和6之间

C．6和7之间 D．7和8之间．

28．比较大小错误的是（    ）

A． ＜ B． ＋2＜ ﹣1

C． ＞﹣6 D．|1－ |＞ －1

【类型五】二次根式的应用

【考点一】二次根式的应用➽➼➵几何问题✮✮古代问题

29．如图，长方形 内，两个小正方形的面积分别是18，2，则图中阴影部分的面积为（    ）

A．4 B．9 C．6 D．

30．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门 里见到树，则 ．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城周长的最小值为（    ）（注：1里=300步，且两个正数的和大于等于其积开方的两倍，当两数相等时取等号）．

A． 里 B． 里 C． 里 D． 里

【考点二】二次根式的应用➽➼➵规律问题✮✮最值问题

31．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2022行从左向右数第2021个数是（    ）

A．2021 B． C． D．

32．代数式 的最小值是（    ）

A．0 B．3 C． D．不存在

二、填空题

【类型一】定义与概念的理解

【考点一】二次根式➽➼➵概念➻➼二次根式✮✮复合二次根式

33．已知点 的坐标满足 ， ，且 ，则点 的坐标是__________

34．化简 的结果为____．

【考点二】最简二次根式➽➼➵概念➻➼判断✮✮化简✮✮求参数

35．下列各式：① ②   ③   ④ 是最简二次根式的是:_____（填序号）

36．若 和 都是最简二次根式，则m+n＝_____．

【考点三】同类二次根式➽➼➵概念➻➼判断✮✮化简✮✮求参数

37．若两最简根式 和 是同类二次根式，则 的值的平方根是______．

38．若最简二次根式 和 能合并，则 ＝__．

【考点四】分母有理化➽➼➵化简✮✮求值

39．解不等式： 的解集是______．

40．当 时，代数式 的值是______．

【类型二】二次根式的性质➽➼双重非负性

【考点一】二次根式➽➼➵二次根式的意义

41．当x__________时，代数式 有意义．

42．已知等腰三角形ABC的两边满足 ，则此三角形的周长为___________.

【考点二】二次根式➽➼➵二次根式的化简

43．当 时，化简： _____．

44．若 ，则 ______

【类型三】二次根式的运算

【考点一】二次根式运算➽➼➵二次根式的乘法

45．计算： =___________．

46．当 时，化简 的结果是__________．

【考点二】二次根式运算➽➼➵二次根式的除法

47． 的倒数是______．

48．化简 的结果是______．

【考点三】二次根式运算➽➼➵二次根式的乘除法

49．计算 结果是_______________________．

50．设 ， ，用含 的代数式表示 ，结果为________．

【考点四】二次根式运算➽➼➵二次根式的加减法

51．已知 是 的整数部分， 是 的小数部分，则 _____．

52．若 与 是可以合并的二次根式，则这两个二次根式的和是______．

【考点五】二次根式运算➽➼➵二次根式的混合运算

53．不等式 的解集是______．

54． 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 ___________．

【类型四】二次根式的化简求值

【考点一】二次根式化简求值➽➼➵直接化简求值

55．若 ，则 的值为______．

56．若x＝ －1，则 ＋x＝_______．

【考点二】二次根式化简求值➽➼➵条件式化简求值

57．已知 ，那么 的值为__________.

58．已知x＝ ，则 的值等于____________．

【考点三】二次根式化简求值➽➼➵比较大小

59．比较大小： ______ ．

60．满足不等式 的整数m的个数是______．

【类型五】二次根式的应用

【考点一】二次根式的应用➽➼➵几何问题✮✮古代问题

61．已知 ， ， 为三个正数，当代数式 取最小值时 __．

62．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积 ．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设 ，那么其三角形的面积 ，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若 ， ， ，则此三角形的面积为______．

【考点二】二次根式的应用➽➼➵规律问题✮✮最值问题

63．已知一列数： ， ， ， ， ，……，认真观察发现其中的规律，用含有 （正整数）的代数式表示第 个数是______．

64．已知a＜ ＜a+1（a为正整数）， 是整数，当b取最小值时，则a﹣b＝___．

参考答案

1．C

【分析】利用二次根式的定义进行解答即可．

解：A、 中，当 时，不是二次根式，故此选项不符合题意；

B、 中当 时，不是二次根式，故此选项不符合题意；

C、 ， 恒成立，因此该式是二次根式，故此选项符合题意；

D、 中被开方数 ，不是二次根式，故此选项不符合题意；

故选：C．

【点拨】本题主要考查了二次根式定义，关键是掌握形如 ( )的式子叫做二次根式．

2．C

【分析】将根号里面的式子变形成完全平方式，再开平方化简求值

解： ＝ .

故选C.

【点拨】考查了代数式的变形，把根号里的代数式化成一个完全平方式，然后再化简求值，注意开平方时代数式为非负数．

3．C

【分析】根据最简二次根式的概念逐项判断即可．

解：A. ，故A不符合题意；

B. ，故B不符合题意；

C. 是最简二次根式，故C符合题意；

D. ，故D不符合题意．

故选：D．

【点拨】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的特点①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解答本题的关键．

4．B

解： ， ， ， ，

所以 是无理数，其余的都是有理数，

即 是无理数．

故选：B．

【点拨】本题主要考查了无理数的定义，最简二次根式、立方根、零指数幂，理解相关运算法则是解答关键．

5．C

【分析】先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可．

解：A. ，与 不是同类二次根式，不符合题意；

B. ，与 不是同类二次根式，不符合题意；

C. ，与 是同类二次根式，符合题意；

D. ，与 不是同类二次根式，不符合题意．

故选：C．

【点拨】本题主要考查了二次根式的化简以及同类二次根式的知识，熟练掌握二次根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键．

6．A

【分析】先把 化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式 与 能够合并，得到被开方数相同，列出一元一次方程求解即可．

解： ，

∵最简二次根式 与 能够合并，

∴ ，

∴ ，

故选：A．

【点拨】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键．

7．B

【分析】根据所给字母的值，直接代入求值即可．

解： ，

，

故选：B．

【点拨】本题考查代数式求值，涉及到分母有理化及实数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．

8．A

【分析】求出a与b的值即可求出答案．

解：∵a＝ ＝ +2，b＝2+ ，

∴a＝b，

故选：A．

【点拨】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型．

9．A

【分析】根据二次根式有意义求出x的取值范围，即可得出答案．

解：由题意得， ，

解得： ，

∴只有A选项符合题意，

故选：A．

【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．

10．C

【分析】根据二次根式有意义的条件求出 ，求出 、 的范围，再根据二次根式的性质进行化简即可．

解：由二次根式有意义的条件求出 ，

∵ ，

∴ ， ，

∴ ．

故选：C．

【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．

11．D

【分析】由题意可得 ，再根据二次根式的性质化简即可．

解：由题意可得：

∴

∵

∴

∴

故选：D

【点拨】此题考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．

12．A

【分析】先根据二次根式有意义的条件可得 ，再化简绝对值、算术平方根的性质即可得．

解：由题意得： ，即 ，

，

，

，

，

则 ，

故选：A．

【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、算术平方根的性质，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．

13．A

【分析】根据有理化的定义以及二次根式的乘除法则解决此题．

解：A．∵ ，

∴ 就是 的一个有理化因式，故A符合题意；

B．∵ ，

∴ 不是 的一个有理化因式，故B不符合题意；

C．∵ ，

∴ 不是 的一个有理化因式，故C不符合题意；

D．∵ ，

∴ 不是 的一个有理化因式，故D不符合题意；

故选：A．

【点拨】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键．

14．A

【分析】根据勾股定理的逆定理可以判定△ABC是直角三角形，再求出其面积就可解决问题．

解：∵ ， ， ，

∴AB²+BC²= ，AC²=25，

∴AB²+BC²=AC²，

∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，

∴ ，

故选：A．

【点拨】本题考查解直角三角形、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是已知三角形三边，利用勾股定理的逆定理可以判断三角形形状，属于中考常考题型．

15．B

【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可．

解： ． ，选项不正确，不符合题意；

B． ，选项正确，符合题意；

C． ，选项不正确，不符合题意；

D． ，选项不正确，不符合题意．

故选：B．

【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．

16．A

【分析】先利用相反数的含义可得 ，再利用非负数的性质求解 、 从而可得答案.

解： 与 互为相反数，

且

解得： ， ，

故选：A

【点拨】本题考查的是非负数的性质，算术平方根的含义，二次根式的除法运算，利用非负数的性质求解 ， ，是解本题的关键.

17．D

【分析】根据二次根式的运算法则分别对各项进行计算然后判断即可．

解：A． × ＝3 ，故该选项错误；

B．(4 )²＝32，故该选项错误；

C． ÷ ＝ =3 ，故该选项错误；

D．∵4 ＝ ，7＝ ， < ，即4 <7，

∴ ＝7－4 ，

故选：D

【点拨】本题考查了二次根式的运算和求算数平方根，熟悉相关性质是解题的关键

18．C

【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．

解：原式=

=3÷

=

故选C．

【点拨】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除法法则，本题属于基础题型．

19．D

【分析】根据实数的运算法则计算即可．

解：

故选：D．

【点拨】此题考查了化简绝对值、零指数幂、二次根式的加减法，解题的关键熟悉运算法则．

20．C

【分析】估算无理数的大小，得到m，n的值，代入代数式求值即可得出答案．

解： ，

，

，

， ，

．

故选：C．

【点拨】本题考查了无理数的估算，二次根式的加减运算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．

21．A

【分析】先计算二次根式的乘法，在估算出 的近似值，进而得解．

解：

，

∴ ，

∴ ，

∴估计 的值应在 和 之间．

故选：A．

【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟练掌握以上的基础知识是解本题的关键．

22．B

【分析】根据二次根式加法法则计算并判定A；根据二次根式乘法法则计算并判定B；根据二次根式性质化简并判定C；根据二次根式混合运算法则计算并判定D．

解：A． 和 不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；

B． ，故本选项符合题意；

C． ，故本选项不符合题意；

D． ，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点拨】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．

23．C

【分析】先把 变形得到 ，再两边平方可得到 ，最后整体代入计算即可．

解：∵ ，

∴ ，即 ，

∴ ，

∴ ..

故答案为： ．

【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值、完全平方公式等知识点，掌握整体代入的思想是解答本题的关键．

24．A

【分析】将已知变形，得到 ，即可得到答案．

解： ，

，

，即 ，

，

，

故选：A．

【点拨】本题考查与二次根式相关的代数式求值，将已知变形，得到 是解题的关键．

25．A

【分析】先根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入化简二次根式即可得．

解：由算术平方根的非负性、偶次方的非负性得： ，

解得 ，

则 ，

故选：A．

【点拨】本题考查了算术平方根的非负性、偶次方的非负性、化简二次根式，熟练掌握算术平方根和偶次方的非负性是解题关键．

26．A

【分析】把原式化简为含ab、a-b的形式，再整体代入计算．

解：∵ ，

∴(a+1)(b−1)=ab−a+b−1=ab−(a−b)−1= −(2 −1)−1=− .

故选A.

【点拨】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.

27．D

【分析】首先把原式化成一个系数为1的二次根式，再分别与 比较，即可得到解答．

解：∵原式= 且49<54<64，

∴ 即 ，

故选D．

【点拨】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键．

28．D

【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．

解：A、由于5<7，则 ＜ ，故正确；

B、由于 ＋2<6+2=8，而8=9-1< －1，则 ＋2＜ ﹣1，故正确；

C、由于 ，则 ，故正确；

D、由于 ，故 错误．

故选：D

【点拨】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．

29．A

【分析】由两个小正方形的面积分别为18、2，得出其边长分别为 和 ，则阴影部分的长等于（ ﹣ ），宽等于 的长方形，从而可得答案．

解：面积为18的正方形的边长为： ，面积为2的正方形的边长为： ，

则阴影部分面积为： × ＝4，

故选：A．

【点拨】本题考查了二次根式在面积计算中的应用，本题属于基础题，难度不大．

30．D

【分析】根据题意得出 ，进而可得出EF⋅GF＝AG⋅BE＝10，结合基本不等式求4（EF+GF）的最小值即可．

解：因为1里=300步，

则由图知 步=4里， 步=2.5里，

由题意，得 ，

则 ，

所以该小城的周长为 ，

当且仅当 时等号成立．

故选D

【点拨】本题考查基本不等式的实际应用，考查数学运算和直观想象的能力，属于中档题．

31．C

【分析】经观察发现，第n行共有2n个数，且第n行的第 个数为 ，从而得出答案．

解：经观察发现，第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为n＝ ，

∴第2022行从左向右数第2022个数是2022，

∴第2022行从左向右数第2021个数是 ．

故选：C．

【点拨】本题考查了二次根式的性质，探索规律，发现第n行的第n个数为 是解题的关键．

32．B

【分析】先根据二次根式有意义，求出x取值范围，再根据 ， ， 都随x的增大而增大，则在x取值范围内x取最小值时代入计算，即可求解．

解：若代数式 + + 有意义，

则 ，

解得：x≥2，

∵由 ， ， 都随x的增大而增大，

∴当x＝2时，代数式的值最小，

即 + + ＝1+0+2＝3．

故选：B．

【点拨】此题考查了函数的最值问题，考查了二次根式的意义．此题难度适中，解题的关键是根据题意求得x的取值范围．

33．

【分析】先根据二次根式求出y,再根据要求求出x即可.

解：∵

∴y=4

∵ ，

∴x=-3

∴P为 .

【点拨】本题考查的是坐标，熟练掌握绝对值和二次根式是解题的关键.

34．

【分析】先把 化为平方的形式，再根据 化简即可求解．

解：原式

．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了双重二次根式的化简，把 化为平方的形式是解题关键．

35．②③

【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．

解：②    ③    是最简二次根式，

故答案为②③．

【点拨】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

36．﹣6．

【分析】由于二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值．

解：由题意可得：

解得：

∴m+n＝﹣6

故答案：﹣6．

【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．

37．

【分析】根据同类二次根式的定义，列出方程，求解即可，

解：由题意可得： ，解得

的平方根为

故答案为：

【点拨】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．

38．5

【分析】先根据二次根式和同类二次根式的定义得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，然后代值计算即可．

解：∵最简二次根式 和 能合并，

∴最简二次根式 和 是同类二次根式，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为：5．

【点拨】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，正确得到 是解题的关键．

39．

【分析】按照解不等式的一般步骤求解即可．

解： ，

，

，

，

即 ，

故答案为： .

【点拨】本题考查了解不等式，和分母有理化，掌握分母有理化是解题的关键.

40．5

【分析】把已知条件进行分母有理化的运算，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．

解： ，

．

故答案为： ．

【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

41．

【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0，进行解答即可．

解：由题意得： ，

解得： ，

故答案为： ．

【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是要注意x应同时满足这两个条件．

42．15

【分析】根据二次根式和绝对值的非负性得出 的值，然后结合三角形三边关系进行计算即可．

解： ，

， ，

解得： ， ，

若等腰三角形ABC的三边分别为 ，则 ，不能构成三角形；

若等腰三角形ABC的三边分别为 ，则此三角形周长为 ，

故答案为： ．

【点拨】本题考查了二次根式和绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，熟练掌握基础知识点是解本题的关键．

43．1

【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质计算即可．

解：∵ ，

∴ ，

∴

．

故答案为：1．

【点拨】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，熟记： 是解题的关键．

44．2021

【分析】根据二次根式有意义得 ，再由绝对值的性质化简得到 ，把a的值代入所求的式子求解即可．

解：要使 有意义，则 ，

解得 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

故答案为：2021．

【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、实数的运算，理解二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

45． ##

【分析】先把原式写成 ，然后再运用积的乘方法则的逆用运算即可．

解： ，

．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了二次根式的乘法和乘方运算，灵活运用积的乘方和同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．

46．

【分析】根据二次根式乘法公式得到 ，再根据二次根式的性质化简即可得到结论．

解：

，

，

故答案为： ．

【点拨】本题考查二次根式的乘法及利用二次根式性质化简代数式，熟练掌握相关性质及公式是解决问题的关键．

47． ##

【分析】根据倒数的定义解答即可．

解：∵ ，

∴ 的倒数是 ．

故答案为 ．

【点拨】本题考查了实数的性质以及倒数，熟记互为倒数的两个数的乘积为1是解题的关键．

48． ##

【分析】根据二次根式的除法法则计算即可．

解： ．

故答案为：

【点拨】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．

49．

【分析】根据二次根式乘除运算法则计算即可．

解：

=

=

=

=

= ．

故答案为 ．

【点拨】本题考查了二次根式乘除运算，掌握二次根式乘除混合运算法则是解答本题的关键．

50．

【分析】将 化简后，代入a，b即可．

解： ，

∵ ， ，

∴

故答案为： ．

【点拨】本题考查了二次根式的乘除法法则的应用，解题的关键是将 化简变形，本题属于中等题型．

51．

【分析】根据有理数的估算可知 的整数部分是 ，小数部分是 ，进而得出 的值，代入计算即可．

解： ，

， ，

的整数部分是 ， 的整数部分是 ，

是 的整数部分， 是 的小数部分，

，

，

故答案为： ．

【点拨】本题考查了无理数的估算，实数的运算，根据题意得出相应式子的整数部分和小数部分是解本题的关键．

52．

【分析】先根据同类二次根式的定义确定p的值，然后再确定两个二次根式，最后合并即可．

解：∵ 是二次根式

∴ ，解得

∴ ，

∴ + = ．

故答案为 ．

【点拨】本题主要考查了同类二次根式的定义、二次根式的性质等知识点，根据同类二次根式的定义确定p的值是解答本题的关键．

53． ##

【分析】通过移项，合并，系数化1，根据不等式的性质即可求出 的解集．

解：

∵

∴

∴

故答案为： ．

【点拨】本题考查二次根式的运算法则以及不等式的基本性质，解题的关键是判断 与0的大小关系，本题属于基础题型．

54．

【分析】先把 化简为 ，然后根据夹逼法求出a，b的值，最后代入计算即可．

解： ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 的整数部分为1，小数部分为 ，

即 整数部分为1，小数部分为 ，

∴

．

故答案为：

【点拨】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，把 化简为 ，然后根据夹逼法求出a，b的值是解题的关键．

55．2023

【分析】根据完全平方公式把原式变形，把a的值代入计算即可．

解：∵ ，

∴ ，

故答案为：2023．

【点拨】本题考查的是二次根式的化简求值，熟记完全平方公式是解题的关键．

56．2-

【分析】代入代数式，展开化简计算．

解：∵x＝ －1，

∴ ＋x

=

=

=2- ，

故答案为：2- ．

【点拨】本题考查了完全平方公式的计算，正确进行完全平方公式的展开是解题的关键．

57．

【分析】根据已知条件求出 的值，再由： ，即可得出答案．

解：解: ，得：

，

，

，

故答案为： .

【点拨】本题考查完全平方公式的变形运用，能利用已知条件求出 ，再将 化为平方形式，再化回来是关键．

58．4

【分析】先求出x、 的值，再代入代数式即可．

解：

故答案为：4．

【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，解题关键是先化简再代入，这是代数式求值的一般步骤．

59．＞

【分析】先求出 与 的倒数，然后进行大小比较．

解：∵

而 ，

∴ ．

故答案为：＞．

【点拨】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小．

60．7

【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数．

解：∵ ， ，

∴ ， ，

∵ <m< ，

∴3.312<m<10.472，

∵3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个，

∴整数m的个数是7，

故答案为：7．

【点拨】本题考查了二次根式的化简以及二次根式的估值，解题的关键是熟练化简二次根式．

61． ##

【分析】根据题意得 ，再根据非负数的性质得 ， ， ，求出 、 、 的值，代入 计算即可．

解：∵代数式 取最小值，

∴代数式 ，

∴ ， ， ，

解得： ， ， ，

∵a， ， 为三个正数，

∴ ， ， ，

∴

，

故答案为： ．

【点拨】本题考查了二次根式的应用、非负数的性质，掌握这二个知识点的综合应用，其中根据题意列出等式是解题关键．

62．

【分析】先求出p的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可．

解： ，

三角形的面积

= ．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了二次根式的应用，考查学生的计算能力，掌握 （a≥0，b≥0）是解题的关键．

63．

【分析】将这一列数转化为 ， ， ， ， ，……，归纳分母及分子中根号下数字的变化规律，即可得解．

解：第1个数为 ，

第2个数为 ，

第3个数为 ，

第4个数为 ，

第5个数为 ，

……

所以第n个数为 ．

故答案为： ．

【点拨】本题主要考查了数字的变化规律，灵活运用二次根式的性质进行二次根式化简的逆运算是解题关键．

64．2

【分析】先计算 ，再根据取值范围即可判断a的值，化简 ，即可找到符合题意得b值，即可求解．

解：由题意 ，

∵ ，a为正整数

∴a＝2．

∵ ，且是整数．

故b的最小值为0．

∴a﹣b＝2．

故答案为：2．

【点拨】本题主要考查了估算无理数的大小，确定 的取值范围是求出a值的关键.