【324057】2024八年级数学下册 专题1.8 二次根式章末测试卷（含解析）（新版）浙教版

第1章二次根式章末测试卷

考试时间：60分钟；满分：100分

姓名：___________班级：___________考号：___________

考卷信息：

本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（3分）（阳谷县期末）已知 是整数，则正整数n的最小值是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【分析】因为 是整数，且 2 ，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．

【解答】解：∵ 2 ，且 是整数，

∴2 是整数，即6n是完全平方数；

∴n的最小正整数值为6．

故选：C．

2．（3分）（绥化）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞﹣1且x≠0 D．x≠0

【分析】利用分式分母不为0和二次根式、零指数幂有意义的条件确定关于x的不等式，从而确定答案．

【解答】解：根据题意得：x+1＞0且x≠0，

解得：x＞﹣1且x≠0，

故选：C．

3．（3分）（锦江区校级期末）等式 （b﹣a） 成立的条件是（　　）

A．a≥b，x≥0 B．a≥b，x≤0 C．a≤b，x≥0 D．a≤b，x≤0

【分析】若二次根式有意义，则被开方数为非负数，算术平方根的结果也是非负数，可据此求出a、b、x的取值范围．

【解答】解：根据算术平方根的意义可知，b﹣a≥0且x≥0，即a≤b，x≥0．

故选：C．

4．（3分）（平房区期末）若最简二次根式 和 能合并，则a、b的值分别是（　　）

A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1

【分析】根据题意得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．

【解答】解：∵最简二次根式 和 能合并，

∴ ，即 ，

①×2+②得：7a＝7，

解得：a＝1，

把a＝1代入②得：1+2b＝3，

解得：b＝1．

故选：D．

5．（3分）（周口月考）已知m，n在数轴上位置如图所示，化简：2 的结果是（　　）

A．﹣3n+3m B．3n﹣m C．﹣n+3m D．3n+m

【分析】根据 |a|化简，然后根据绝对值的性质化简即可．

【解答】解：∵m﹣n＜0，2m+n＜0，m＜0，

原式＝2|m﹣n|﹣|2m+n|﹣|m|

＝﹣2m+2n+2m+n+m

＝3n+m，

故选：D．

6．（3分）（周口月考）小康和小英玩摸卡片游戏：如图，有三张大小，形状，纸质完全相同的卡片A，B，C，卡片正面分别写有一个算式，现将背面朝上，小康随机抽取两张，若小康所抽取的两张卡片都是无理数，则它们的和为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

【分析】根据无理数的定义判断其中的两个无理数，再根据二次根式的性质以及运算法则计算即可．

【解答】解： ，

卡片A，C上的数是无理数，卡片B上的数是有理数，

＝4

＝4．

故选：A．

7．（3分）（海淀区校级期末）已知x，y为实数，xy＝5，那么x y 的值为（　　）

A． B．2 C．±2 D．5

【分析】先化简所求式子，然后利用分类讨论的方法，可以求得所求式子的值．

【解答】解：x y

，

∵x，y为实数，xy＝5，

∴x、y同号，

当x＜0，y＜0时，

原式 2 ，

当x＞0，y＞0时，

原式 2 ，

由上可得，x y 的值是 ，

故选：C．

8．（3分）（三元区期中）计算（1 ）×（ ）﹣（1 ）×（ ）的结果等于（　　）

A． B． C． D．

【分析】设a ，原式变形后计算即可求出值．

【解答】解：设a ，

原式＝（1﹣a）（a ）﹣（1﹣a ）×a

＝a a² a+a²

．

故选：B．

9．（3分）（思明区校级期末）若a＝2021×2022﹣2021²，b＝1013×1008﹣1012×1007，c ，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a

【分析】先化简各式，然后再进行比较即可．

【解答】解：a＝2021×2022﹣2021²

＝2021×（2022﹣2021）

＝2021×1

＝2021；

b＝1013×1008﹣1012×1007

＝（1012+1）（1007+1）﹣1012×1007

＝1012×1007+1012+1007+1﹣1012×1007

＝1012+1007+1

＝2020；

c

；

∴2020 2021，

∴b＜c＜a，

故选：D．

10．（3分）（安岳县校级月考）如果f（x） 并且f（ ）表示当x 时的值，即f（ ） ，f（ ）表示当x 时的值，即f（ ） ，那么f（ ）+f（ ）+f（ ）+f（ ） 的值是（　　）

A．n B．n C．n D．n

【分析】认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．

【解答】解：代入计算可得，f（ ）+f（ ）＝1，f（ ）+f（ ）＝1，…，f（ ）+f（ ）＝1，

所以，原式 （n﹣1）＝n ．

故选：A．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．（3分）（昌江区校级期中）化简 的结果是　﹣3 　； 的结果是　 　．

【分析】根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质化简即可．

【解答】解： （﹣2 ）

（﹣2）

＝﹣3 ；

（1﹣a）•

＝（1﹣a）•

，

故答案为：﹣3 ； ．

12．（3分）（澄海区期末）若实数a，b满足关系式a+2b 4，则ab＝　﹣16　．

【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到b＝4，代入关系式得到a＝﹣4，从而得到ab＝﹣16．

【解答】解：根据二次根式有意义的条件得： ，

∴b²﹣16＝0，

∴b＝±4，

根据分式有意义的条件得：b+4≠0，

∴b≠﹣4，

∴b＝4，

代入关系式得：a+8＝4，

∴a＝﹣4，

∴ab＝﹣4×4＝﹣16，

故答案为：﹣16．

13．（3分）（闵行区校级期中）已知x ，y ，且19x²+123xy+19y²＝1985，则正整数n的值为　2　．

【分析】先将x，y分母有理化化简为含n的代数式，可得x+y＝4n+2，xy＝1，然后将xy＝1代入19x²+123xy+19y²＝1985，结果化简为x²+y²＝98，进而求解．

【解答】解：∵x （ ）²＝2n+1﹣2 ，

y ， （ ）²＝2n+1+2 ，

∴x+y＝4n+2，xy＝1，

将xy＝1代入19x²+123xy+19y²＝1985得19x²+123+19y²＝1985，

化简得x²+y²＝98，

（x+y）²＝x²+y²+2xy＝98+2＝100，

∴x+y＝10．

∴4n+2＝10，

解得n＝2．

故答案为：2．

14．（3分）（昌江区校级期中）已知x＞0，y＞0，x²+y²＝36， 250，则xy＝　 　．

【分析】根据完全平方公式和平方差公式将 250变形，然后计算求值即可．

【解答】解：

＝[（ ）²+（ ）²]²﹣2（ ）²（ ）²

＝（x﹣2 y+x+2 y）²﹣2（x﹣y）²

＝（2x+2y）²﹣2（x²﹣2xy+y²）

＝4x²+8xy+4y²﹣2x²+4xy﹣2y²

＝2x²+12xy+2y²，

∵x＞0，y＞0，x²+y²＝36， 250，

∴2x²+12xy+2y²

＝2（x²+y²）+12xy

＝2×36+12xy

＝72+12xy

＝250，

解得xy ，

故答案为： ．

15．（3分）（江岸区校级月考）我们定义[a]为不超过a的最大整数．例如：[3.14]＝3，[8]＝8，[﹣0.618]＝﹣1，[﹣7.1]＝﹣8，[﹣4]＝﹣4．若[5﹣3 ]＝﹣2，则a的取值范围是　3＜a 　．

【分析】直接新定义得出不等式，进而解不等式得出答案．

【解答】解：∵[5﹣3 ]＝﹣2，

∴﹣2≤5﹣3 1，

则﹣7≤﹣3 6，

故6＜3 7，

解得：3＜a ．

故答案为：3＜a ．

16．（3分）（鄞州区校级期末）已知 ， ，|b³+c³|＝b³﹣c³，则a³b³﹣c³的值为　1　．

【分析】根据绝对值的意义分析b和c的取值，然后利用完全平方公式计算求得ab的值，从而进行计算．

【解答】解：∵（a+b）²﹣（a﹣b）²＝4ab，

∴4ab＝（ ）²﹣（ ）²

2 2

＝4，

∴ab＝1，

∵|b³+c³|＝b³﹣c³，且|b³+c³|＝±（b³+c³），

当|b³+c³|＝b³+c³＝b³﹣c³时，c＝0，

∴原式＝（ab）³﹣0³＝1，

当|b³+c³|＝﹣b³﹣c³＝b³﹣c³时，b＝c＝0，

此时ab＝0，故此情况不成立，

综上，原式的值为1，

故答案为：1．

三．解答题（共7小题，满分52分）

17．（6分）若a＞0，b＞0，且（ ）²＝3a 2b，求 的值．

【分析】根据（ ）²＝3a 2b化简可得 ，从而可以解答本题．

【解答】解：∵（ ）²＝3a 2b，

化简，得 ．

∴ ．

即 ．

18．（6分）（昌江区校级期末）（ ）÷（ ）（a≠b）．

【分析】先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．

【解答】解：原式

．

19．（8分）（赫山区期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年12月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算： 7， 7．

不难发现，结果都是7．

（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；

（2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明．

【分析】（1）任意框相邻的一列上的三个数，计算验证即可；

（2）设框的三个数的中间那个数为x，则第一个数为x﹣7，第三个数为x+7，计算验证即可．

【解答】解：（1）我框的是2，9，16，

＝7；

（2）证明：设框的三个数的中间那个数为x，则第一个数为x﹣7，第三个数为x+7，

＝7．

20．（8分）（赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．

如： 3+2 ．

除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．

如：化简 ．

解：设x ，易知 ，故x＞0．

由于x²＝（ ）²＝2 2 2 2．

解得x ，即

根据以上方法，化简： ．

【分析】根据题目提供的方法先计算 ．再计算 ，进而进行计算即可．

【解答】解：设x ，易知 ，故x＜0，

由于x²＝（ ）²＝3 3 2 2，

所以x ，即 ，

所以原式

＝17﹣12

＝17﹣13 ．

21．（8分）（聊城期末）像 ， 这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 1．

再如： ．

请用上述方法探索并解决下列问题：

（1）化简： ；

（2）化简： ；

（3）若 ，且a，m，n为正整数，求a的值．

【分析】（1）把12拆成7+5，即（ ）²+（ ）²，写成完全平方公式的形式即可求解；

（2）先提出 ，把8拆成5+3，写成完全平方公式的形式即可求解；

（3）按照完全平方公式展开，使有理数和无理数分别相等，再根据a、m、n为正整数，得m＝1，n＝3，或者m＝3，n＝1，分别计算出a的值即可．

【解答】解：（1） ；

（2） ；

（3）∵a+6 （m n）²＝m²+5n²+2 mn，

∴a＝m²+5n²，6＝2mn，

又∵a、m、n为正整数，

∴m＝1，n＝3，或者m＝3，n＝1，

∴当m＝1，n＝3时，a＝46；

当m＝3，n＝1，a＝14，

综上所述，a的值为46或14．

22．（8分）（西城区校级期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3　＞　2 ，1 　＞　2 ，5+5　＝　2 ．

（2）由（1）中各式猜想m+n与2 （m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．

（3）请利用上述结论解决下面问题：

某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m²的花圃，所用的篱笆至少需要　40　m．

【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；

（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2 ；比较大小，可以作差，m+n﹣2 ，联想到完全平方公式，问题得证；

（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a+2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．

【解答】解：（1）∵4+3＝7，2 4 ，

∴7²＝49，（4 ）²＝48，

∵49＞48，

∴4+3＞2 ；

∵1 1，2 1，

∴1 2 ；

∵5+5＝10，2 10，

∴5+5＝2 ．

故答案为：＞，＞，＝．

（2）m+n≥2 （m≥0，n≥0）．理由如下：

当m≥0，n≥0时，

∵（ ）²≥0，

∴（ ）²﹣2 • （ ）²≥0，

∴m﹣2 n≥0，

∴m+n≥2 ．

（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，

根据（2）的结论可得：a+2b≥2 2 2 2×20＝40，

∴篱笆至少需要40米．

故答案为：40．

23．（8分）（长兴县月考）阅读下列材料，解答后面的问题：

在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：

①要使二次根式 有意义，则需a﹣2≥0，解得：a≥2；

②化简： ，则需计算1 ，而1 ，

所以 1 1 ．

（1）根据二次根式的性质，要使 成立，求a的取值范围；

（2）利用①中的提示，请解答：如果b 1，求a+b的值；

（3）利用②中的结论，计算： ．

【分析】（1）根据二次根式成立的条件求解即可；

（2）根据二次根式成立的条件求出a，b的值，进而求解即可；

（3）利用②中的结论求解即可．

【解答】解：（1）由题意得， ，

∴﹣2≤a＜3；

（2）由题意得， ，

∴a＝2，

∴b 1＝0+0+1＝1，

∴a+b＝2+1＝3；

（3）原式＝（1 ）+（1 ）+⋯+（1 ）

＝1×2020+1

＝2020 ．