【324026】2024八年级数学下册 重点突围专题08 平行四边形及其性质（含解析）（新版）浙教版

专题08平行四边形及其性质

【考点一】多边求形的内角和及多边形的对角线

例题：（河北石家庄·八年级期末）若凸n边形的内角和为1260°，则n＝_____；该多边形的对角线条数是 _____．

【答案】     9     27

【解析】

【分析】

根据凸n边形的内角和为1260°，求出凸n边形的边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即可求解即可．

【详解】

解：∵凸n边形的内角和为1260°，

∴（n−2）×180°＝1260°，

解得n＝9，

∴这个多边形的对角线的条数是 ×9×（9−3）＝27．

故答案为：9，27．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和定理及多边形的对角线，熟记多边形的内角和计算公式是正确解答本题的基础．

【变式训练】

1．（四川省邻水中学九年级期中）若一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形的边数是_______

【答案】9

【解析】

【分析】

根据多边形的内角和公式：n边形内角和等于（n-2）•180°；解答即可；

【详解】

解：设多边形边数为n，则（n-2）•180°=1260°，

解得：n=9，

故答案为：9．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和与边数关系：多边形的内角和公式，都是利用转化思想而得，把多边形分成若干个三角形（如n边形内一点与n条边构成n个三角形，则n边形内角和等于n•180-360°），从而将多边形问题转化为三角形问题来解决，这种思想对于学好数学是极为重要的．

2．（陕西·武功县教育局教育教学研究室一模）若一个正多边形的内角和是其外角和的3倍，则该多边形每个外角的度数为______°．

【答案】45

【解析】

【分析】

先由多边形的内角和和外角和的关系判断出多边形的边数，即可得到结论．

【详解】

解：设多边形的边数为n，

因为正多边形内角和为（n-2）•180°，正多边形外角和为360°，

根据题意得：（n-2）•180°=360°×3，

解得：n=8．

∴这个正多边形的每个外角= =45°．

故答案为：45．

【点睛】

本题考查了正多边形的内角与外角，正多边形的性质；熟练掌握正多边形的性质，求出正多边形的边数是解决问题的关键．

3．（山东济南·七年级期末）从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到7个三角形，那么这个多边形为______边形．

【答案】九

【解析】

【分析】

根据从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到(n-2)个三角形得出结果．

【详解】

解：根据题意，得

n-2=7，

解得n=9，

故答案为九．

【点睛】

本题考查多边形与三角形的关系，根据从n边形的一个顶点出发可以得到（n-3）条对角线，（n-2）个三角形．

4．（江苏盐城·七年级期中）如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为 ，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转 角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度 为______°．

【答案】

【解析】

【分析】

根据共走了72米，每次前进8米且左转的角度相同，则可计算出该正多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度．

【详解】

连续左转后形成的正多边形边数为： ，

则左转的角度 ．

故答案是：40．

【点睛】

本题考查了多边形的外角计算，正确理解多边形的外角和是360°是关键．

【考点二】利用平行四边形的性质求角及线段的长

例题：（山东枣庄·三模）如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．

(1)求证：BO＝DO；

(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长．

【答案】(1)详见解析

(2)详见解析

【解析】

【分析】

（1）通过证明 与 全等即可证明；

（2）由 是等腰直角三角形得出 .由 得 ，所以 与 都是等腰直角三角形，从而求得 、 的长，然后由（1）中 与 全等得出 ，进而求得 的长， 的长即可求得．

(1)

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ ，

∴ ，

在 与 中

∴ ，

∴ ．

(2)

解：∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，，

∴ ，

∴ ，

∴ 为等腰直角三角形，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

由（1） ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形得判定和性质及平行线的性质，熟练运用各定理是解决本题的关键．

【变式训练】

1．（四川南充·一模）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD与BC交于E．若∠D＝50°，则∠AEC的大小为________度．

【答案】

【解析】

【分析】

利用平行四边形的性质，结合∠D＝50°，求得∠BAD的度数，然后利用角平分线的定义求得∠DAE的度数，最后利用平行线的性质即可．

【详解】

解：∵四边形 是平行四边形，

∴ ， ，

∴ ，

∵∠D＝50°，

∴ ，

∵AE平分∠BAD，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为：115

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质和角平分线的定义，熟记性质和定义是解题的关键．

2．（山东菏泽·一模）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，交BD于点O，则BD的长为 _____．

【答案】

【解析】

【分析】

勾股定理求得 的长，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，可得 ，然后勾股定理求得 的长，根据 即可求解．

【详解】

解：∵四边形 是平行四边形，AD＝6，

∴ ，

AB＝10， AC⊥BC，

在 中，

故答案为：

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．

3．（北京市广渠门中学八年级阶段练习）如图，在 中，对角线 相交于点O，过点O作 交 于E，如果 ，则 长为_________．

【答案】

【解析】

【分析】

连接CE，根据平行四边形的性质可得AO=CO，CD=AB= ，然后判断出OE垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CE=AE=4，利用勾股定理的逆定理得到∠CED=90°，得到△AEC是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求得结论．

【详解】

解：连接 ，如图

四边形 是平行四边形，

，

，

是线段 的垂直平分线，

，

在 中，

，

，

，

，

（舍负）．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理及逆定理，正确作出辅助线证得∠CED=90°是解决问题的关键．

4．（江苏扬州·八年级期中）在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣3，﹣4）、（2，﹣4），则顶点D的坐标是 _____．

【答案】（5，2）

【解析】

【分析】

按照字母顺序将点表示在坐标系中，根据平行四边形的性质即可求得 的坐标．

【详解】

解：如图：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD＝AB，CD∥AB，

∵▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣3，﹣4）、（2，﹣4），

∴顶点D的坐标为（5，2）．

故答案为：（5，2）．

【点睛】

本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，数形结合是解题的关键．

5．（四川·广元市利州区万达实验学校一模）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点， ．

(1)求证：AF＝CE；

(2)若AC＝10，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．

【答案】(1)见解析；

(2)30，详见解析．

【解析】

【分析】

（1）利用 ，以及平行四边形的性质，即可判定 ，可证得AF＝CE；

（2）过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，根据30°角的直角三角形的性质求得AG，进而利用平行四边形的面积解答即可．

(1)

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，AD=BC，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

在 和 中，

∵ ，

∴ ≌ （AAS），

∴AF＝CE．

(2)

过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，

在Rt 中，AC=10，∠ACB＝30°，

∴AG=5，

∴平行四边形ABCD的面积为： ．

故平行四边形ABCD的面积为30．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是通过题中所给的条件得到全等三角形．

6．（湖北十堰·八年级阶段练习）在 中， ．

(1)若 ， ，求 ；

(2)若 ， ，求 的周长．

【答案】(1) 等于120；

(2) 的周长为24+24

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形的对角线相互平分的性质和勾股定理的逆定理可得 是直角三角形．∠ADO=90°，所以 =AD BD，代入计算即可．

（2）如图，过点D作AC的垂线，交AC与点E，由平行四边形的性质和有关角的度数得 是等腰直角三角形，所以DE= AD， 是含30°的直角三角形，所以DC=2DE，所以 的周长=2(AD+DC)．

(1)

解：∵ 中，BD=10，AC=26，

∴OD=5，OA=13，

∵AD=12

∴AD²+OD²=OA²，

∴ 是直角三角形，

即∠ADO=90°，

∴ =AD BD=120．

答： 等于120．

(2)

如图，过点D作AC的垂线，交AC与点E，

在 中，AB DC，AD BC

∴∠ADC+∠BCD=180，∠DCA=∠DAC

∵ ， ，

∴∠BCD=75°，

∴ ，

∵∠CDE=90°-30°=60°，∠ADE=∠ADC-∠CDE=45°，

∴ 是等腰直角三角形，

∴DE= AD= 12=6 ，

∵在Rt 中， ，

∴DC=2DE=2 6 =12 ，

∴ 的周长=2(AD+DC)

=2(12+12 )

=24+24 ．

答： 的周长为24+24 ．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理、含30°角的直角三角形的性质等知识点，解题的关键是知道等腰直角三角形直角边和斜边的比为1： ，含30°角的直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．

7．（江苏淮安·二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O任作直线分别交AB、CD于点E、F．

(1)求证：OE＝OF；

(2)若CD＝6，AD＝5，OE＝2，求四边形AEFD的周长．

【答案】(1)见解析

(2)15

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形的性质得出AB//CD，OA＝OC，求出∠EAO＝∠FCO，根据ASA推出△AEO≌△CFO，即可得出答案；

（2）由△AOE≌△COF（ASA），可得EF＝2OE＝4，DF+AF＝AB＝6，继而求得答案．

(1)

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，OA＝OC，

∴∠EAO＝∠FCO，

在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO（ASA），

∴OE＝OF；

(2)

∵△OAE≌△OCF，

∴CF＝AE，

∴DF+AE＝AB＝CD＝6，

又∵EF＝2OE＝4，

∴四边形AEFD的周长＝AD+DF+AE+EF＝5+6+4＝15．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想的应用．

8．（江苏南通·一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且∠B＝∠AEB．

(1)求证：AE＝CD；

(2)试判断AC与ED的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)AC＝ED，见解析

【解析】

【分析】

（1）首先根据平行四边形的性质，可得AB＝CD，再根据∠B＝∠AEB，可证得AE＝AB，据此即可证得结论；

（2）根据平行四边形的性质，可得AB＝CD，∠B＝∠ADC，AD BC，可证得△ADC≌△DAE（SAS），即可证得AC＝ED．

(1)

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，

∵∠B＝∠AEB，

∴AE＝AB，

∴AE＝CD；

(2)

解：AC＝ED；

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，∠B＝∠ADC，AD BC，

∴∠DAE＝∠AEB，

∵∠B＝∠AEB，

∴AE＝AB，∠B＝∠AEB＝∠DAE＝∠ADC，

∴AE＝CD，且∠DAE＝∠ADC，AD＝AD，

∴△ADC≌△DAE（SAS），

∴AC＝ED．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握和运用平行四边形的性质是解决本题的关键．

9．（四川泸州·八年级期中）已知，如图，在 中， ，垂足为 ， ，点 为 的中点，点 为 上的一点，连接 、 、 ， ．

(1)求证：

(2)若 ， ，求 的长；

(3)求证： ．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）结合题意，由AAS即可证明两个三角形全等；

（2）根据线段中点的性质，得 ；根据平行四边形的性质，得 ；再根据勾股定理的性质计算，即可得到答案；

（3）根据 和平行四边形的性质，得点G为CD的中点；分别延长AG、BC并相交于点M，通过证明 ，得 ，再根据直角三角形斜边中线、等腰三角形、三角形外角的性质计算，即可得到答案．

(1)

在 和 中

∴ ；

(2)

∵ ，点 为 的中点

∴

∴

∵

∴

∵ ，

∴ ；

(3)

∵

∴

∵ ，

∴ ，即点G为CD的中点

如图，分别延长AG、BC并相交于点M

∵

∴

∴

在 和 中

∴

∴

∵ ，即

∴

∴

∴ ，即 ．

【点睛】

本题考查了勾股定理、全等三角形、平行四边形、平行线、三角形外角、等腰三角形直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形斜边中线、平行四边形的性质，从而完成求解．

【考点三】利用平行四边形的性质求动点问题

例题：（浙江·八年级期末）如图，在四边形 中， ， ， ， ．点 从点 出发．以每秒 的速度沿折线 方向运动，点 从点 出发，以每秒 的速度沿线段 方向向点 运动．已知动点 、 同时出发，当点 运动到点 时， 、 运动停止，设运动时间为 ．

（1）求 的长；

（2）当四边形 为平行四边形时，求四边形 的周长；

（3）在点 、点 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得 的面积为 ？若存在，请求出所有满足条件的 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）16；（2） ；（3）存在，t₁＝ ，t₂＝7.8

【解析】

【分析】

（1）过A点作AM⊥CD于M，根据勾股定理可求得DM=6，进而求得DC=16；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，根据题意可得BP=10-3t，DQ=2t，列出方程10-3t=2t，解得t=2，此时BP=DQ=4，CQ=12，在RT△CBQ中，根据勾股定理求出BQ即可；

（3）分三种情况讨论：①当点P在线段AB上，②当点P在线段BC上，③当点P在线段CD上，根据三种情况点的位置，即可求得t的值．

【详解】

解：（1）过点A作AM⊥CD于M，如图1，

根据勾股定理，AD＝10cm，AM＝BC＝8cm，

∴DM= =6（cm），

∴CD＝16cm；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，

点P在AB上，点Q在DC上，如图2，

由题知：BP＝10-3t，DQ＝2t，

∴10﹣3t＝2t，解得t＝2，

此时，BP＝DQ＝4，CQ＝12，

∴BQ= = ，

∴四边形PBQD的周长＝2（BP+BQ）= ；

（3）①当点P在线段AB上时，即0≤t≤ 时，如图3，

S_△BPQ＝ BP•BC＝ (10−3t)×8＝20，

∴t= ．

②当点P在线段BC上时，即 ＜t≤6时，如图4，

BP＝3t-10，CQ＝16-2t，

∴S_△BPQ＝ BP•CQ＝ (3t-10)×(16-2t)＝20，

化简得：3t²-34t+100＝0，△＝-44＜0，所以方程无实数解．

③当点P在线段CD上时，如图5，

若点P在Q的右侧，即6＜t＜ ，

则有PQ＝34-5t，

S_△BPQ= （34-5t）×8＝20，

t＝ ＜6，舍去，

若点P在Q的左侧，

即 ＜t≤8，

则有PQ＝5t-34，S_△BPQ＝ (5t−34)×8＝20，

t＝7.8．

综上得，满足条件的t存在，其值分别为t₁＝ ，t₂＝7.8．

【点睛】

本题是四边形中的动点问题，考查了平行四边形的性质，勾股定理的应用以及三角形的面积等，分类讨论的思想是本题的关键．

【变式训练】

1．（福建福州·八年级期中）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB=6，BC＝8，点P、E分别为AD、BC上两动点，且满足PB平分∠APE,当CE取得最大值时，BE的值为___．

【答案】

【解析】

【分析】

设CE=x，则BE=8-x，运用角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质得到BE= PE=8-x，说明当CE最大时BE最小，即PE最小；过点A作AE₁⊥BC，运用勾股定理求得AE₁的长即可解答．

【详解】

解：设CE=x，则BE=8-x，

∵PB平分∠APE，

∴∠APB=∠BPE，

∵在平行四边形ACBD中，

∴AD//BC，

∴∠APB=∠PBE，

∴∠BPE=∠PBE

∴BE= PE=8-x

∴当CE取最大值时，BE为最小值，即PE取最小值

当PE⊥BC时，PE最小，如图：过点A作AE₁⊥BC

∵∠ABC=60°，

∴∠BAE₁=30°，

∵AB=6，

∴BE₁=3，

∴AE₁= ,即PE= ，

∴当CE取得最大值时，BE的值为 ．

故答案为： ．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质、垂线段最短等知识点，根据题意正确作出辅助线、构造直角三角形、运用勾股定理是解答本题的关键．

2．（重庆八中八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝2 ，E为AB的中点，F分别为AD边上的动点，将∠A沿EF折叠，点A落在平面内的点 处，且点 在∠BAD外部，当折叠后重叠部分为等腰三角形时，则线段DF的长为__．

【答案】

【解析】

【分析】

过E作EH⊥AD，根据∠A＝45°，EH⊥AH得AH＝ ，设∠AFE＝∠A'FE＝a，可得 ＝45°+a，得a＝30°，在Rt△EFH中，可求出HF的长，从而得出答案．

【详解】

解：过E作EH⊥AD于H，

∵AB＝4，E为AB的中点，

∴AE＝EB＝2，

∵∠A＝45°，EH⊥AH，

∴△AHE为等腰直角三角形，

∴AH²+EH²＝AE²＝4，2AH²＝4，

∴AH＝ ，

∵点A′在∠BAD外部，

则由题意知△FQE为等腰三角形，

∴∠FEB＝∠FQE，

设∠AFE＝a，

∵△EFA'为△EFA根据EF对折，

∴∠AFE＝∠A'FE＝a，

∴∠BEF＝ ，

又∵∠BEF为△AEF的外角，

∴∠BEF＝∠A+∠EFA＝45°+a，

∴ ＝45°+a，

∴a＝30°，

在Rt△EHF中，∠AFE＝a＝30°，EH＝AH＝ ，

∴EF＝ ，

∴ ，

又∵BC＝AD＝2 ，

∴DF＝AD﹣AH﹣HF＝

故答案为： ．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题），含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

3．（广东·深圳亚迪学校八年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中， ，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是_____．

【答案】

【解析】

【分析】

以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT=TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF=EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解决问题．

【详解】

解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．

∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，

∴∠ABF＝∠KBE，

∴△ABF≌△KBE（SAS），

∴AF＝EK，

根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD BC，

∵∠ABC＝45°，

∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，

∵∠BAK＝60°，

∴∠EAK＝75°，

∵∠AEK＝90°，

∴∠AKE＝15°，

∵TA＝TK，

∴∠TAK＝∠AKT＝15°，

∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，

设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET＝ a，

在Rt△AEK中，∵AK²＝AE²+EK²，

∴a²+（2a+ a）²＝4，

∴a＝ ，

∴EK＝2a+ a＝ ，

∴AF的最小值为： ．

故答案为： ．

【点睛】

本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．

4．（吉林·长春市解放大路学校九年级开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线AB一BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA向终点A运动．以DP、DQ为邻边作▱PDQE，设点P运动的时间为t秒．

（1）C、D两点之间的距离为_______；

（2）求PB的长（用含t的代数式表示）；

（3）当点E落在△ABC内部时，求t的取值范围．

（4）连接CD，当CD平分▱PDQE的面积时，直接写出t的值．

【答案】（1） ；（2） ， ； ， ；（3） ；（4）

【解析】

【分析】

（1）根据勾股定理计算即可；

（2）根据题意求出AD，计算即可；

（3）当点P在BD上运动时和当点P在BC上运动两种情况讨论即可；

（4）根据题意结合图象进行求解即可．

【详解】

解：（1）∵ ，AC=4，BC=3，

∴ ，

∵D为边AB的中点．

∴ ，

∴ ；

故答案是： ；

（2）当P在AB边上时，即 ，

由题意可知 ，

∴ ；

当P在BC边上运动时，即 ，

由题可知 ，

∴ ；

（3）当P与D重合时，无法构成平行四边形，

∴当P在BD边上运动时点E必落在△ABC内，

此时 ，即 ，

∴ ；

当P在BC边上运动时，且 时，点E恰落在AC上，

∴保证点E必落在△ABC内，设BC的中点为M，则点P在BM上运动，

∴ ，

当 时，

∵D为AB的中点，

∴M为BC的中点，

∴ ，

∴ ，

∴t的取值范围是 ；

（4）当点P与点C重合时，CD平分▱PDQE的面积，

∴ ，

∴ ．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是准确进行计算．

5．（湖北省直辖县级单位·八年级期末）如图所示，在直角坐标系中，直线l与x轴y轴交于A、B两点，已知点A的坐标是（4，0），B的坐标是（0，3）．

（1）求直线l的解析式；

（2）若点C（3，0）是线段OA上一定点，点P（x，y）是第一象限内直线l上一动点，试求出点P在运动过程中△POC的面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）在（2）问的条件下，若S＝ ，此时在坐标平面内是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点，以AC为边的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，Q的坐标为 或

【解析】

【分析】

（1）利用已知点 的坐标，待定系数法求一次函数的解析式即可；

（2）根据S_△POC＝ ×OC× ， 在直线 上，根据（1）的结论表示出 点的坐标，即可求得S与x之间的函数关系式；

（3）根据条件以AC为边的四边形，则 ,即求得点 的坐标即可

【详解】

解：（1）设直线l函数解析式为y＝kx+b（k≠0），

由题意可得： ，

解得： ，

∴直线l函数解析式为 ，

（2） 点 在直线 上

点 的坐标为

∵S_△POC＝ ，

∴S_△POC＝ ×3×（－ x+3）＝－ x+ （0＜x＜4）；

（3）存在，理由如下：

当S＝ 时，则 ＝﹣ x+ ，

∴x＝2，

∴点P（2， ），

∵以A、C、P、Q为顶点，以AC为边的四边形是平行四边形，

∴AC PQ，AC=PQ

∵A（4，0），C（3，0），

∴PQ=AC=4－3=1，

∵P（2， ）

∴点Q（3， ）或（1， ）

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质与判定，熟练以上知识点是解题的关键．

【考点四】利用平行四边形的性质作图

例题：（江西赣州·八年级期末）在平行四边形ABCD中，点E在AD上，仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）．

（1）如图1，在BC上找一点F，使AE＝CF．

（2）如图2，若AB＝AE，作∠D的平分线DG．

        

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）连接BD、AC，连接点E和BD、AC的交点，并延长交BC于F，点F即为所求；

（2）连接BD、AC，连接点E和BD、AC的交点，并延长交BC于G，射线DG即为所求．

【详解】

.解：（1）如图1，连接BD、AC，连接点E和BD、AC的交点，并延长交BC于F，点F即为所求．

（2）如图2，连接BD、AC，连接点E和BD、AC的交点，并延长交BC于G，射线DG即为所求．

【点睛】

本题考查复杂作图，平行四边形的性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

【变式训练】

1．（吉林·长春外国语学校八年级阶段练习）如图，在边长为1的5×5正方形网格中，小正方的顶点称之为格点，点A、点B均在格点上，按照题目要求作图．

(1)以线段AB为对角线作面积为6的平行四边形ACBD（顶点字母按逆时针标注）；

(2)AD的长是　　．

【答案】(1)见解析；

(2)

【解析】

【分析】

（1）作底为3高为2的平行四边形即可．

（2）利用勾股定理即可计算．

(1)

如图，平行四边形ACBD即为所求作．

(2)

故答案为

【点睛】

本题考查了作图能力、勾股定理、平行四边形的面积等知识点，正确理解题意，灵活运用上述知识点是解答本题的关键．

2．（重庆市凤鸣山中学九年级阶段练习）已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°．

(1)请用直尺和圆规作出∠DAB的角平分线AE，交DC于点E，交BD于点F，并标出交点E，F（请用2B铅笔作图并保留作图痕迹）；

(2)在（1）的前提下，若∠DBA＝30°，DE＝4，求平行四边形ABCD的周长．

【答案】(1)见解析；

(2)平行四边形ABCD的周长

【解析】

【分析】

（1）利用基本作图，作∠BAD的平分线即可；

（2）证明∠DEA＝∠DAE得到DA＝DE＝4，再利用含30度的直角三角形三边的关系求出AB，然后计算平行四边形ABCD的周长．

(1)

解：如图，点E、F为所作；

(2)

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴CD∥AB，

∴∠BAE＝∠DEA，

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE＝∠BAE，

∴∠DEA＝∠DAE，

∴DA＝DE＝4，

在△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠ABD＝30°，

∴AB＝2AD＝8，

∴平行四边形ABCD的周长＝2（4+8）＝24．

【点睛】

本题考查了尺规作图——作已知角的平分线，平行四边形的性质，熟练掌握作已知角的平分线的作法，平行四边形的性质是解题的关键．

3．（江苏·泰兴市济川初级中学九年级阶段练习）如图， 中，点E在BC上，且 ，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．（保留作图痕迹）

（1）在图1中，画出 的平分线；

（2）在图2中，画出 的平分线，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）依据等腰三角形的性质以及平行线的性质，即可得到AC平分∠DAE；

（2）依据平行四边形的性质以及全等三角形的性质，即可得到EO平分∠AEC．

【详解】

解：（1）如图所示，连接AC，则AC平分∠DAE；

（2）如图所示，连接AC，BD，交于点O，连接EO，则EO平分∠AEC．

理由：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC，BD交于点O，

∴AO=CO，

又∵AE=CE，OE=OE

∴△AOE≌△COE

∴∠AEO=∠OEC

∴EO平分∠AEC．

【点睛】

本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

4．（吉林长春·八年级期末）（1）如图1，在 中，点E是AB边的中点，点O是对角线AC的中点，连接EO并延长交CD边于点F，求证：F是CD的中点；

（2）如图2，在 中，点E是AB边的中点，仅用一把无刻度的直尺画出CD边的中点F．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形的性质可得 ，再证明 ，即可得F是CD的中点；

（2）根据平行四边形的对角线互相平分即可画出CD边的中点F．

【详解】

解：（1）在 中， ， ，

∴ ，

∵点O是对角线AC的中点，

∴ ，

在 和 中，

，

∴ ，

∴ ，

∵点E是AB边的中点，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴F是CD的中点；

（2）如图，连接AC和BD交于点O，连接EO并延长交CD于点F．

点F即为CD的中点．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、作图−基本作图，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．

5．（全国·八年级专题练习）在图1，图2中，点 是 边 上的中点，请仅用无刻度直尺按要求画图，（保留作图痕迹）

（1）在图1中，以 为边作三角形，使其面积等于 的面积；

（2）在图2中，以 ， 为邻边作四边形，使其面积等于 面积的一半．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

【分析】

（1）连接CE并延长，交BA的延长线于点P，根据 可得 ；

（2）连接平行四边形的对角线，交于点O，可得BO=DO，再连接EO并延长，交BC于点F，根据 ，可得EO=FO,连接DF，即可得到平行四边形BEDF面积等于 面积的一半．

【详解】

（1）连接CE并延长，交BA的延长线于点P，

即为所求的以 为边所作的三角形；

（2）连接平行四边形的对角线，交于点O，连接EO并延长，交BC于点F，连接DF，平行四边形BEFD就是以 ， 为邻边所求作的四边形．

【点睛】

本题考查尺规作图，涉及平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．