【323965】2024八年级数学下册 第22章 四边形阶段方法技巧训练（二）专训1矩形性质与判定的灵

专训1　矩形性质与判定的灵活运用

名师点金：

矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质．它的性质可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．

判定一个四边形是矩形可从两个角度考虑：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．

利用矩形的判定和性质解和差问题

1．如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，垂足分别为E，F，D.

(1)求证：BD＝PE＋PF.

(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．【导学号：54274024】

(第1题)

利用矩形的判定和性质解面积问题

2．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.

(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；

(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．

(第2题)

利用矩形的定义判定与菱形有关的矩形

3．【中考·吉林】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.求证：四边形AODE是矩形．

(第3题)

利用直角三角形斜边上中线的性质判断直线位置关系

4．如图，已知∠ACB＝∠ADB＝90°，N，M分别是AB，CD的中点，判断MN与CD的位置关系，并说明理由．

(第4题)

答案

(第1题)

1．(1)证明：如图，作BH⊥FP交FP的延长线于点H.∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，∴四边形BDFH是矩形．

∴BD＝HF.

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C.

∵PE⊥AB，PF⊥AC，

∴∠PEB＝∠PFC＝90°.

∴∠EPB＝∠FPC.

又∵∠HPB＝∠FPC，

∴∠EPB＝∠HPB.

∵PE⊥AB，PH⊥BH，

∴∠PEB＝∠PHB＝90°.

又∵PB＝PB，

∴△PEB≌△PHB.∴PE＝PH.

∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE，

即BD＝PE＋PF.

(2)解：不成立．

理由：作BH⊥PF交PF的延长线于点H.与(1)同理可得PE＝PH，BD＝HF.

∴PE＝FH＋FP＝BD＋PF.

2．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥DC.

∴∠ABE＝∠ECF.

∵点E为BC的中点，∴BE＝CE.

又∵∠AEB＝∠FEC，

∴△ABE≌△FCE.∴AB＝CF.

又∵AB∥CF，

∴四边形ABFC为平行四边形．

∴AE＝EF.

∵∠AEC为△ABE的外角，

∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.

又∵∠AEC＝2∠ABC，

∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.

∴AE＋EF＝BE＋CE，即AF＝BC.

∴四边形ABFC为矩形．

(2)解：∵四边形ABFC是矩形，

∴AC⊥DF.

又∵△AFD是等边三角形，且边长为4，

∴CF＝CD＝＝2.

∴AC＝＝2.

∴S_四边形ABFC＝2×2＝4.

3．证明：∵DE∥AC，AE∥BD，

∴四边形AODE是平行四边形．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD.∴∠AOD＝90°.

∴四边形AODE是矩形．

4．解：MN⊥CD.理由如下：

如图，连接ND，NC.在Rt△ABD中，

　(第4题)

∠ADB＝90°，N是AB的中点，

∴ND＝AB.同理可得NC＝AB.∴ND＝NC.∴△NDC是等腰三角形．

在等腰三角形NDC中，

∵M是CD的中点，∴MN⊥CD.