【323892】2024八年级数学下册 第9章 图形的相似综合素质评价鲁教版五四制

第九章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共36分)

1．【2023·济南槐荫区期末】已知2x＝3y(xy≠0)，则下列比例式成立的是(　　)

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

2．【2023·聊城一模】如图是某商店售卖的花架简图，其中AD∥BE∥CF，DE＝ 24 cm，EF＝40 cm，BC＝50 cm，则AB长为(　　)

A． cm B． cm C．50 cm D．30 cm

3．若＝，则的值为(　　)

A． B． C．－ D．

4．【2023·菏泽牡丹区期末】如图所示，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是(　　)

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

5．【2023·济南历城区月考】如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点O，则下列结论不正确的是(　　)

A．＝ B．＝

C．△ADE∽△ABC D．S_△DOE∶S_△COB＝1∶2

6 ．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有(　　)

A．0对 B．1对

C．2对 D．3对

7．【2023·青岛期中】两个相似五边形的一组对应边的长分别是4 cm，6 cm，若它们的面积和是78 cm²，则较大的五边形的面积是(　　)

A．42 cm² B．44.8 cm² C．52 cm² D．54 cm²

8．在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′相似比为1∶2，若点A的坐标为(2，3)，则点A′的坐标为(　　)

A．(1，1.5)或(－1，－1.5) B．(4，6)或(－4，－6)

C．(－4，6)或(4，－6) D．(－1，1.5)或(1，－1.5)

9．【2023·徐州】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且＝，则AE的长为(　　)

A．1 B．2 C．1或 D．1或2

10．如图所示，给出下列条件：

①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC²＝AD·AB．其中能够单独判定△ABC∽△ACD的个数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

11．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝5，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝4.若以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长度为(　　)

A． B． C．或 D．或

12．【2023·东营】如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M.P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM.有下列四个结论：

①AE垂直平分DM；②PM＋PN的最小值为3；③CF²＝GE·AE；

④S_△ADM＝6.

其中正确的是(　　)

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③

二、填空题(每题3分，共18分)

13．若＝，则＝________．

14．【2023·青岛即墨区期末】黄金分割在生活中的应用十分广泛，例如大多数窗户的宽和长的比是黄金比，已知某扇窗户的长为1.8 m，则宽约为________m．(结果精确到0.1)

15．【2023·江西】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC)．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40 cm，BD＝20 cm，AQ＝12 m，则树高PQ＝________m.

16．已知＝＝，且a＋b＋c≠0，则＝________.

17．【2023·广东】边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为________．

18．【2023·山东日照期末】如图，等边三角形ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，若PQ＝，当AQ＝________时，△AQD与△BCP相似．

三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分)

19．(1)若＝＝，求的值．

(2)若＝＝，且2a－b＋3c＝21，求a∶b∶c.

20．【2023·淄博淄川区期末】如图，一个矩形的长AB＝a m，宽AD＝1 m，按照图中所示的方式将它分割成相同的三个矩形，且每个小矩形与原矩形相似，求a的值．

21．如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且BD∥EF∥AC．若DE＝5，DF＝3，CE＝AD．

(1)求AD的值．

(2)求的值．

22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点都在格点上．

(1)以坐标原点O为位似中心，在第四象限将△ABC放大为原来的2倍得到△A₁B₁C₁，请作出△A₁B₁C₁.

(2)在(1)的条件下，若△ABC内的点P(2，－1)位似的对应点为点Q，则点Q的坐标为________．

23．【2023·邵阳】如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4.

(1)证明：△ABC∽△DEB．

(2)求线段BD的长．

24．【情境题】小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿NA方向后退1 m到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向继续向后移动15 m放在D处(即AD＝15 m)，从点D处向后退1.6 m，到达点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M，已知小明眼睛到地面的距离CB＝EF＝1.74 m，请根据题中提供的相关信息，求出该塔的高度MN(平面镜大小忽略不计)

25．【2023·枣庄滕州市一模】如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，将△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F点处，延长FE，交DC延长线于点G.

(1)求证：△DFG∽△FAD．

(2)若菱形ABCD的边长为5，AF＝3，求BE的长．

答案

一、1．B

2．D　【点拨】∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，∴AB＝30 cm.

3．C　【点拨】∵＝，∴＝－，＝，∴y－x＝－，y＋x＝x，

∴＝－÷x＝－.

4．C　【点拨】∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE＝BF，BD＝EF.∵DE∥BC，EF∥AB，∴＝＝，＝＝.∵EF∥AB， ∴＝.

5．D　【点拨】由题易知AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝BC，DE∥BC，∴＝，A选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴＝，B选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，C选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴S_△DOE∶S_△COB＝1∶4，D选项结论错误，符合题意．

6．D　【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，易知 △EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．

7．D　【点拨】∵两个相似五边形的一组对应边的长分别是4 cm，6 cm，∴这两个相似五边形的相似比为2∶3.设较大的五边形的面积为x cm²，则较小的五边形的面积为(78－x)cm²，∴＝()²，解得x＝54，即较大的五边形的面积为54 cm².

8．B　【点拨】在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是1∶2，点A的坐标为(2，3)，∴则点A′的坐标为(4，6)；不在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是1∶2，点A的坐标为(2，3)，∴则点A′的坐标为(－4，－6)，故 选B.

9．D　【点拨】在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4， AB＝2，∠C＝60°.∵点D是AB的中点，∴AD＝.∵＝，∴DE＝1.如图①，当∠ADE＝90°时，∵∠ADE＝∠ABC，＝，

∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴AE＝2；

如图②，当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH.∵点D是AB中点，点H是AC的中点，∴DH∥BC，DH＝BC＝1，∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝ DE＝1，∴∠DEH＝60°，∴∠ADE＝∠A＝30°，∴AE＝DE＝1，故选D.

10．C　【点拨】由于∠A公用，因此条件①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；④AC²＝AD·AB都能够单独判定△ABC∽△ACD，共3个．

11．C　【点拨】当△CDE∽△CBA时，∴CD∶CB＝CE∶CA.∵BC＝6，BD＝4，∴CD＝BC－DB＝2.∵AC＝5，∴2∶6＝CE∶5，∴CE＝，∴AE＝AC－CE＝；当△CDE∽△CAB时，∴DC∶CA＝CE∶BC，∴2∶5＝CE∶6，∴CE＝，∴AE＝AC－CE＝.综上AE的长度为或.

1 2．D　【点拨】①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝ ∠DCB＝90°.∵BF＝CE，∴BC－BF＝DC－CE，即CF＝DE，在△ADE和△DCF中，

∴△ADE≌△DCF(SAS)，

∴∠DAE＝∠CDF.∵∠CDF＋∠ADG＝90°，∴∠DAE＋∠ADG＝90°，

∴∠AGD＝90°，∴∠AGM＝90°，∴∠AGM＝∠AGD.∵AE平分∠CAD，

∴∠MAG＝∠DAG.又∵AG为公共边，∴△AGM≌△AGD(ASA)，∴GM＝GD.又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，∴AE垂直平分DM，故①正确；②如图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即DO⊥AM.∵AE垂直平分DM，∴HM＝HD，当点P与点H重合时，PM＋PN的值最小，此时PM＋PN＝HM＋HO＝HD＋HO＝DO，即PM＋PN的最小值是DO的长．∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝BD＝4， ∴DO＝BD＝2，即PM＋PN的最小值为2，故②错误；③∵AE垂直平分DM，∴∠DGE＝90°.∵∠ADC＝90°，∴∠DGE＝∠ADC.又∵∠DEG＝ ∠AED，∴△DGE∽△ADE，∴＝，即DE²＝GE·AE，由①知CF＝DE，∴CF²＝GE·AE，故③正确；④∵AE垂直平分DM，∴AM＝AD＝4.又∵DO＝2，∴S_△ADM＝AM·DO＝×4×2＝4，故④错误．综上，正确的是①③.

二、13．　【点拨】∵＝，∴4(2a－b)＝3(a＋b)，∴a＝，∴＝＝.

14．1.1　【点拨】设窗户的宽为x m．∵窗户的宽和长的比是黄金比，∴≈0.618，∴x≈1.1，∴宽约为1.1 m.

15．6　【点拨】由题意可得，BC∥PQ，AB＝40 cm，BD＝20 cm，AQ＝12 m，∴∠ABC＝∠AQP，∠ADB＝∠APQ，∴△ABD∽△AQP，∴＝，即＝，解得QP＝6 m，∴树高PQ＝6 m.

16．　【点拨】设＝＝＝k(k≠0)，∴a＝2k，b＝3k，c＝5k，∴＝＝.

1 7．15　【点拨】如图，∵BF∥DE，∴∠ABF＝∠ADE，∠AFB＝∠AED，∴△ABF∽△ADE，∴＝.∵AB＝4，AD＝4＋6＋10＝20，DE＝10，∴＝，∴BF＝2，∴GF＝6－2＝4.∵CK∥DE， ∴∠ACK＝∠ADE，∠AKC＝∠AED，∴△ACK∽△ADE，∴＝.

∵AC＝4＋6＝10，AD＝20，DE＝10，∴＝，∴CK＝5，∴HK＝6－5＝1，∴阴影梯形的面积＝(HK＋GF)·GH＝×(1＋4)×6＝15.

18．或1或　【点拨】∵等边三角形ABC的边长为3，∴AB＝BC＝3，∠A＝∠B＝60°.设AQ＝x，则BP＝3－－x＝－x.△AQD与△BCP相似分两种情况：①当△AQD∽△BCP时，＝，即＝，解得x₁＝1，x₂＝，经检验，x₁＝1，x₂＝均为原方程的解，且符合题意；②当△AQD∽△BPC时，＝，即＝，解得x＝，经检验，x＝是原方程的解，且符合题意．综上所述，AQ的长是或1或.

三、19．【解】(1)设＝＝＝k(k≠0)，则x＝3k，y＝5k，z＝7k，

∴＝＝5.

(2)设＝＝＝k(k≠0)，则a＝3k－2，b＝4k，c＝6k－5，

∴2(3k－2)－4k＋3(6k－5)＝21，解得k＝2，∴a＝6－2＝4，b＝8，c＝7，

∴a∶b∶c＝4∶8∶7.

20．【解】∵每个小矩形与原矩形相似，∴＝，解得a＝或－(舍去)，

∴a＝.

21．【解】(1)设CE＝AD＝x.∵EF∥AC，∴＝，∴＝，解得x＝7.5.

∴AD＝7.5.

(2)∵AD＝7.5，∴AF＝4.5.∵EF∥DB，∴＝＝＝.

22．【解】(1)如图，△A₁B₁C₁即为所作．

(2)(4，－2)

23．(1)【证明】∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，

∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，

∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°，

∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB.

(2)【解】∵△ABC∽△DEB，∴＝，

∴＝，∴BD＝3.

24．【解】根据题意得∠BAC＝∠NAM，∠ABC＝∠MNA＝90°，

∴Rt△AMN∽Rt△ACB，

∴＝，即＝①；

∵∠EDF＝∠NDM，∠DEF＝∠MND＝90°，

∴Rt△MND∽Rt△FED，

∴＝，即＝②，

由①②得＝，解得AN＝25 m，

∴＝，解得MN＝43.5 m，

∴该塔的高度MN为43.5 m.

25．(1)【证明】∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠BCD.由折叠知∠DFG＝∠BCD，∴∠A＝∠DFG.∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠AFD＝∠FDG.

∴△DFG∽△FAD.

(2)【解】由翻折知DF＝DC＝5.

∵△DFG∽△FAD，

∴＝＝，即＝＝，

∴DG＝＝FG，∴CG＝DG－DC＝.

∵AB＝5，AF＝3，∴BF＝2.

∵CG∥BF，∴易得△CGE∽△BFE，

∴＝＝＝，∴CE＝BE.

∵CE＋BE＝BC＝5，∴BE＝5，∴BE＝.