【332032】期中检测卷

期中检测卷

时间：120分钟　　　　　满分：150分

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）﹣3的倒数是（　　）

A．﹣ B．3 C． D．±

2．（4分）在南陵县第十七届人民代表大会第一次会议上，徐晓明县长在政府工作报告中说南陵五年来，综合经济实力大幅跃升，地区生产总值增加到205.5亿元．其中205.5亿用科学记数法表示为（　　）

A．205.5×10⁴ B．2.055×10² C．2.055×10¹⁰ D．2.055×10¹¹

3．（4分）与如图所示的三视图对应的几何体是（　　）

A． B． C． D．

4．（4分）如图，已知直线AB∥CD，∠BEG的平分线EF交CD于点F，若∠1=42°，则∠2等于（　　）

A．159° B．148° C．142° D．138°

5．（4分）立定跳远是小刚同学体育中考的选考项目之一．某次体育课上，体育老师记录了小刚的一组立定跳远训练成绩如下表：

成绩（m）	2.35	2.4	2.45	2.5	2.55
次数	1	1	2	5	1

则下列关于这组数据的说法中正确的是（　　）

A．众数是2.45 B．平均数是2.45 C．中位数是2.5 D．方差是0.48

6．（4分）某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的 ，设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（　　）

A．（2﹣3x）（1﹣2x）=1 B． （2﹣3x）（1﹣2x）=1

C． （2﹣3x）（1﹣2x）=1 D． （2﹣3x）（1﹣2x）=2

7．（4分）小红、小明在玩“剪子、包袱、锤子”游戏，小红给自己一个规定：一直不出“锤子”．小红、小明获胜的概率分别是P₁，P₂，则下列结论正确的是（　　）

A．P₁=P₂ B．P₁＞P₂ C．P₁＜P₂ D．P₁≤P₂

8．（4分）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=2x﹣4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是（　　）

A．（﹣ ，﹣ ） B．（ ， ） C．（﹣ ， ） D．（ ，﹣ ）

9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．

10．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6厘米，BC=12厘米，点P、Q同时从 顶点A出发，点P沿A→B→C→D方向以2厘米/秒的速度前进，点Q沿A→D方向以1厘米/秒的速度前进，当Q到达点D时，两个点随之停止运动．设运动时间为x秒，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积为y（cm²），则y与x的函数图象大致是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．（5分）若使式子 有意义，则x的取值范围是　 　．

12．（5分）如图，在⊙O中，∠AOB+∠COD=70°，AD与BC交于点E，则∠AEB的度数为　 　．

13．（5分）因式分解：﹣ x²+ x﹣ =　 　．

14．（5分）如图，D、E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等，设BC=a，AC=b，AB=c，给出以下几个结论：

①如果AD是BC边中线，那么CE是AB边中线；

②AE的长度为 ；

③BD的长度为 ；

④若∠BAC=90°，△ABC的面积为S，则S=AE•BD．

其中正确的结论是　 　（将正确结论的序号都填上）

　

三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（8分）计算：（ ﹣1）⁰+（﹣1）²⁰¹⁵+（ ）^﹣1﹣2sin30°．

16．（8分）解不等式组： ．

　

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC是格点三角形（三角形顶点在小方格顶点上），网格中小正方形的边长为1，请解答下列问题：

（1）将△ABC向下平移3个单位得到△A₁B₁C₁，作出平移后的△A₁B₁C₁．

（2）将△A₁B₁C₁经过适当方式进行图形变换后得到△A₂B₂C₂，使得△A₂B₂C₂与△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A₂B₂C₂，并说出你是如何将△A₁B₁C₁进行图形变换后得到△A₂B₂C₂的．

18．（8分）如图，专业救助船“沪救1”轮、“沪救2”轮分别位于A、B两处，同时测得事发地点C在A的南偏东60°且C在B的南偏东30°上．已知B在A的正东方向，且相距100里，请分别求出两艘船到达事发地点C的距离．（注：里是海程单位，相当于一海里．结果保留根号）

　

五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）现有三个盒子，每个盒子中间有一个隔档，分为两个空间．三个盒子分别装有两支笔、两本书、一支笔和一本书（每个空间放一样物品）；

（1）随机抽取一个盒子打开一个空间，请用列表或画树状图列举所有打开方式；

（2）随机打开一个空间，如果里面是笔，那么另外一个空间也是笔的概率是多少？

20．（10分）如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CEF的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H．

（1）如果过点G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过点H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形ANQP，求证：MNQP是菱形．

（2）在（1）的条件下，联结GH交EF于点K，则MEKG是什么四边形？并证明．

　

六、解答题（本大题满分12分）

21．（12分）已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x，y轴分别交于点A，C，点A的坐标为（﹣ ，0），AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．

（1）求OC的长和∠CAO的度数；

（2）求过D点的反比例函数的表达式．

　

七、解答题（本大题满分12分）

22．（12分）从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的黄金分割线．

（1）求这个顶点对应角的度数；

（2）如图，已知黄金分割线CD=1，求BD的长；

（3）试求sin72°的值．

　

八、解答题（本大题满分14分）

23．（14分）已知抛物线l₁：y=﹣x²+2x+3与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线l₂经过点A，与x轴的另一个交点为E（4，0），与y轴交于点D（0，﹣2）．

（1）求抛物线l₂的解析式；

（2）点P为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线交抛物线l₁于点M，交抛物线l₂于点N．

①当四边形AMBN的面积最大时，求点P的坐标；

②当CM=DN≠0时，求点P的坐标．

　

参考答案与试题解析

　

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）﹣3的倒数是（　　）

A．﹣ B．3 C． D．±

【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

【解答】解：﹣3的倒数是﹣ ．

故选：A．

【点评】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

　

2．（4分）2017年2月27日在南陵县第十七届人民代表大会第一次会议上，徐晓明县长在政府工作报告中说南陵五年来，综合经济实力大幅跃升，地区生产总值增加到205.5亿元．其中205.5亿用科学记数法表示为（　　）

A．205.5×10⁴ B．2.055×10² C．2.055×10¹⁰ D．2.055×10¹¹

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：其中205.5亿用科学记数法表示为2.055×10¹⁰，

故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

　

3．（4分）与如图所示的三视图对应的几何体是（　　）

A． B． C． D．

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

【解答】解：从正视图可以排除C，故C选项错误；

从左视图可以排除A，故A选项错误；

从左视图可以排除D，故D选项错误；

符合条件的只有B．

故选：B．

【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认知能力，可通过排除法进行解答．

　

4．（4分）如图，已知直线AB∥CD，∠BEG的平分线EF交CD于点F，若∠1=42°，则∠2等于（　　）

A．159° B．148° C．142° D．138°

【分析】根据平行线的性质可得∠GEB=∠1=42°，然后根据EF为∠GEB的平分线可得出∠FEB的度数，根据两直线平行，同旁内角互补即可得出∠2的度数．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠GEB=∠1=40°，

∵EF为∠GEB的平分线，

∴∠FEB= ∠GEB=21°，

∴∠2=180°﹣∠FEB=159°．

故选A．

【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．

　

5．（4分）立定跳远是小刚同学体育中考的选考项目之一．某次体育课上，体育老师记录了小刚的一组立定跳远训练成绩如下表：

成绩（m）	2.35	2.4	2.45	2.5	2.55
次数	1	1	2	5	1

则下列关于这组数据的说法中正确的是（　　）

A．众数是2.45 B．平均数是2.45 C．中位数是2.5 D．方差是0.48

【分析】利用方差的定义、以及众数和中位数的定义分别计算得出答案．

【解答】解：A、如图表所示：众数是2.5，故此选项错误；

B、平均数是： （2.35+2.4+2.45×2+2.5×5+2.55）=2.47（m），故此选项错误；

C、中位数是： =2.5，故此选项正确；

D、方差为： [（2.35﹣2.225）²+（2.4﹣2.225）²+…+（2.55﹣2.225）²]

= （0.015625+0.030625+0.050625+0.378125+0.105625）

=0.0580625，故此选项错误；

故选：C．

【点评】此题主要考查了中位数以及方差以及众数的定义等知识，正确掌握相关定义是解题关键．

　

6．（4分）某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的 ，设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（　　）

A．（2﹣3x）（1﹣2x）=1 B． （2﹣3x）（1﹣2x）=1 C． （2﹣3x）（1﹣2x）=1 D． （2﹣3x）（1﹣2x）=2

【分析】根据题意分别表示出矩形绿地的长和宽，再由铺瓷砖的面积是矩形空地面积的 ，即矩形绿地的面积= 矩形空地面积，可列方程．

【解答】解：设人行通道的宽度为x千米，

则矩形绿地的长为： （2﹣3x），宽为（1﹣2x），

由题意可列方程：2× （2﹣3x）（1﹣2x）= ×2×1，

即：（2﹣3x）（1﹣2x）=1，

故选：A．

【点评】本题主要考查根据实际问题列方程的能力，分析题意准确抓住相等关系是解方程的关键．

　

7．（4分）小红、小明在玩“剪子、包袱、锤子”游戏，小红给自己一个规定：一直不出“锤子”．小红、小明获胜的概率分别是P₁，P₂，则下列结论正确的是（　　）

A．P₁=P₂ B．P₁＞P₂ C．P₁＜P₂ D．P₁≤P₂

【分析】根据题意画出相应的树状图，找出小红、小明获胜的情况数，进而求出P₁，P₂的值，比较即可．

【解答】解：根据题意画出树状图，如图所示：

所有等可能的情况数有6种，其中小红获胜的情况有2种，小明获胜的情况有2种，

则P₁=P₂= = ，

故选A

【点评】此题考查了列表法与树状图法，概率=所求情况数与总情况数之比．

　

8．（4分）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=2x﹣4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是（　　）

A．（﹣ ，﹣ ） B．（ ， ） C．（﹣ ， ） D．（ ，﹣ ）

【分析】根据点到直线的距离中垂线段最短，得到AB垂直于直线y=2x﹣4时最短，过A作AB⊥直线y=2x﹣4，垂足为B，过B作BD⊥x轴，设B（a，2a﹣4），根据三角形ABD与三角形BCD相似，由相似得比例列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出B坐标．

【解答】解：过A作AB⊥直线y=2x﹣4，垂足为B，过B作BD⊥x轴，

令y=0，得到x=2，即C（2，0），

设B（a，2a﹣4）（a＞0），即BD=|2a﹣4|，|OD|=a，

∵∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠DBC=90°，

∴∠BAD=∠DBC，

∵∠BDC=∠ADB=90°，

∴△ABD∽△BCD，

∴BD²=AD•DC，即（2a﹣4）²=（a+1）（2﹣a），

整理得：5a²﹣17a+14=0，即（5a﹣7）（2﹣a）=0，

解得：a= 或a=2（不合题意，舍去），

则B（ ，﹣ ）．

故选D

【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，以及解一元二次方程，解题的关键是利用垂线段最短确定出B的位置．

　

9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．

【分析】连接AC，易得△ACF是直角三角形，再根据直角三角形的性质即可得出结论．

【解答】解：连接AC，

∴四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=45°．

∵EF⊥AE，EF=AE，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴∠EAF=45°，

∴∠CAF=90°．

∵AB=BC=2，

∴AC= =2 ．

∵AE=EF=AB+BE=2+1=3，

∴AF= =3 ，

∴CF= = = ．

∵M为CF的中点，

∴AM= CF= ．

故选D．

【点评】本题考查的是正方形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

　

10．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6厘米，BC=12厘米，点P、Q同时从 顶点A出发，点P沿A→B→C→D方向以2厘米/秒的速度前进，点Q沿A→D方向以1厘米/秒的速度前进，当Q到达点D时，两个点随之停止运动．设运动时间为x秒，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积为y（cm²），则y与x的函数图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【分析】当点P在AB上时，易得S_△APQ的关系式；当点P在BC上时，高不变，但底边在增大，所以P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积关系式为一个一次函数；当P在CD上时，表示出所围成的面积关系式，根据开口方向判断出相应的图象即可．

【解答】解：当点P在AB上时，即0≤x≤3时，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积= x× = ；

当点P在BC上时，即3≤x≤9时，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积= ×3× + （2x﹣6+x﹣3） = ﹣9 ，y随x的增大而增大；

当点P在CD上时，即9≤x≤12时，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积=12× ﹣ （12﹣x）（﹣ +12 ）= +12 x﹣36 ；

综上，图象A符合题意．

故选A．

【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，考查了学生从图象中读取信息的能力，正确列出表达式，是解答本题的关键．

　

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．（5分）若使式子 有意义，则x的取值范围是　x≤ 且x≠0　．

【分析】根据当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负，可得答案．．

【解答】解：使式子 有意义，得

．

解得x≤ 且x≠0，

故答案为：x≤ 且x≠0．

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

　

12．（5分）如图，在⊙O中，∠AOB+∠COD=70°，AD与BC交于点E，则∠AEB的度数为　35°　．

【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB= AOB，∠CBD= COD，然后由三角形的外角的性质即可得到结论．

【解答】解：连接BD，∵∠ADB= AOB，∠CBD= COD，

∵∠AEB=∠CBD+∠ADB= （∠AOB+∠COD），

∴∠AEB= ×70°=35°，

故答案为：35°．

【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

　

13．（5分）因式分解：﹣ x²+ x﹣ =　﹣ （x﹣1）²　．

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：原式=﹣ （x²﹣2x+1）=﹣ （x﹣1）²，

故答案为：﹣ （x﹣1）²

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

　

14．（5分）如图，D、E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等，设BC=a，AC=b，AB=c，给出以下几个结论：

①如果AD是BC边中线，那么CE是AB边中线；

②AE的长度为 ；

③BD的长度为 ；

④若∠BAC=90°，△ABC的面积为S，则S=AE•BD．

其中正确的结论是　②③④　（将正确结论的序号都填上）

【分析】由中线的定义，可得到AB=AC，但AB=AC时未必有AC=BC，可判断①；△ABD与△ACD的周长相等，我们可得出：AB+BD=AC+CD，等式的左右边正好是三角形ABC周长的一半，有AB，AC的值，那么就能求出BD的长了，同理可求出AE的长，可判断②③；把AE和BD代入计算，结合勾股定理可求得S，可判断④；则可得出答案．

【解答】解：

当AD是BC边中线时，则BD=CD，

∵△ABD与△ACD的周长相等，

∴AB=AC，

但此时，不能得出AC=BC，即不能得出CE是AB的中线，

故①不正确；

∵△ABD与△ACD的周长相等，BC=a，AC=b，AB=c，

∴AB+BD+AD=AC+CD+AD，

∴AB+BD=AC+CD，

∵AB+BD+CD+AC=a+b+c，

∴AB+BD=AC+CD= ．

∴BD= ﹣c= ，

同理AE= ，

故②③都正确；

当∠BAC=90°时，则b²+c²=a²，

∴AE•BE= × = [a﹣（c﹣b）][a﹣（c﹣b）]= [a²﹣（c﹣b）²]= [a²﹣（c²+b²﹣2bc）]= ×2bc= bc=S，

故④正确；

综上可知正确的结论②③④，

故答案为：②③④．

【点评】本题为三角形的综合应用，主要考查了三角形各边之间的关系问题及三角形的面积，在列式子的时候要注意找出等量关系，难度适中．

三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（8分）计算：（ ﹣1）⁰+（﹣1）²⁰¹⁵+（ ）^﹣1﹣2sin30°．

【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

【解答】解：原式=1﹣1+3﹣2× =1﹣1+3﹣1=2．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

　

16．（8分）解不等式组： ．

【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．

【解答】解： ，

由①得，x≥﹣1，

由②得，x＜3，

所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜3．

【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

　

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC是格点三角形（三角形顶点在小方格顶点上），网格中小正方形的边长为1，请解答下列问题：

（1）将△ABC向下平移3个单位得到△A₁B₁C₁，作出平移后的△A₁B₁C₁．

（2）将△A₁B₁C₁经过适当方式进行图形变换后得到△A₂B₂C₂，使得△A₂B₂C₂与△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A₂B₂C₂，并说出你是如何将△A₁B₁C₁进行图形变换后得到△A₂B₂C₂的．

【分析】（1）将三角形的三个顶点向下平移3个单位得到其对应点，顺次连接即可得；

（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A₂B₂C₂，结合图形可先旋转、再平移得到．

【解答】解：（1）如图，△A₁B₁C₁即为所求；

（2）如图所示，现将△A₁B₁C₁绕点B₁顺时针旋转180°，再向左平移8个单位、向下平移3个单位即可得到△A₂B₂C₂．

【点评】本题主要考查了图象的平移与旋转．掌握平移与旋转关键是先确定对应点坐标，再连成图形便可．

　

18．（8分）如图，专业救助船“沪救1”轮、“沪救2”轮分别位于A、B两处，同时测得事发地点C在A的南偏东60°且C在B的南偏东30°上．已知B在A的正东方向，且相距100里，请分别求出两艘船到达事发地点C的距离．（注：里是海程单位，相当于一海里．结果保留根号）

【分析】作BG⊥AC于G，在图中标注方向角，根据等腰三角形的性质和正弦、余弦的概念求出AC、BC即可．

【解答】解：作BG⊥AC于G，

∵点C在A的南偏东60°，

∴∠A=90°﹣60°=30°，

∵C在B的南偏东30°，

∴∠ABC=120°，

∴∠C=30°，

∴BC=AB=100里，

∴BG=BC•sin30°=50里，

CG=BC•cos30°=50 里，

∴AC=2CG=100 里．

答：A船到达事发地点C的距离是100 里，B船到达事发地点C的距离是100里．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

　

五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）现有三个盒子，每个盒子中间有一个隔档，分为两个空间．三个盒子分别装有两支笔、两本书、一支笔和一本书（每个空间放一样物品）；

（1）随机抽取一个盒子打开一个空间，请用列表或画树状图列举所有打开方式；

（2）随机打开一个空间，如果里面是笔，那么另外一个空间也是笔的概率是多少？

【分析】（1）共有6个空间，随机打开一个有种可能结果，列举即可；

（2）列表表示出所有可能结果，根据概率公式求解可得．

【解答】解：（1）将三个箱子里的物品用字母分别表示为笔记B₁，S₁，B₂、B₃、S₂、S₃，

随机抽取一个盒子打开一个空间，共有B₁，S₁，B₂、B₃、S₂、S₃这6种等可能结果；

（2）列表如下：

首次打开一个空间	再打开另一个空间
B1	S1
S1	B1
B2	B3
B3	B2
S2	S3
S3	S2

随机打开一个空间，如果里面是笔，那么另外一个空间也是笔的概率是 = ．

【点评】本题主要考查列表法与树状图法求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．

　

20．（10分）如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CEF的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H．

（1）如果过点G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过点H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形ANQP，求证：MNQP是菱形．

（2）在（1）的条件下，联结GH交EF于点K，则MEKG是什么四边形？并证明．

【分析】（1）首先证明四边形EGFH是矩形，再证明四边形MGKE是菱形，利用可证四边形EKHP，四边形KFQH，四边形KFNG都是菱形，即可推出MN=NQ=PQ=PM，推出四边形MNQP是菱形；

（2）四边形MEKG是菱形．只要证明KE=KG，四边形MEKG是平行四边形即可；

【解答】（1）证明：∵GE平分∠AEF，HE平分∠BEF，

∴∠GEH=90°，

∵AB∥CD，

∴∠AEF+∠CFE=180°，

∵∠GEF= ∠AEF，∠GFE= ∠CFE，

∴∠GEF+∠GFE=90°，

同理∠EHF=90°，

∴四边形EGFH是矩形

∴EG=FH，KG=KE，

∴∠KEG=∠KGE=∠AEG，

∴ME∥GK，∵MG∥EK，

∴四边形MGKE是平行四边形，

∵KE=KG，

∴四边形MGKE是菱形，

同理可证四边形EKHP，四边形KFQH，四边形KFNG都是菱形，

∴MG=GN=NF=FQ=QH=HP=PE=EM，

∴MN=NQ=PQ=PM，

∴四边形MNQP是菱形．

（2）四边形MEKG是菱形．

理由：∵四边形EGFH是矩形

∴EG=FH，KG=KE，

∴∠KEG=∠KGE=∠AEG，

∴ME∥GK，∵MG∥EK，

∴四边形MGKE是平行四边形，

∵KE=KG，

∴四边形MGKE是菱形．

【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

　

六、解答题（本大题满分12分）

21．（12分）已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x，y轴分别交于点A，C，点A的坐标为（﹣ ，0），AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．

（1）求OC的长和∠CAO的度数；

（2）求过D点的反比例函数的表达式．

【分析】（1）根据圆周角定理AC是⊙B的直径，得到根据勾股定理求出OC，根据正弦的概念求出∠CAO的度数；

（2）根据三角形的外角的性质求出∠DOE=60°，求出点D的坐标，代入计算即可．

【解答】解：（1）∵∠AOC=90°，

∴AC是⊙B的直径，

∴AC=2，

∵点A的坐标为（﹣ ，0），

∴OA= ，

∴OC= =1，

则OC= AB，

∴∠CAO=30°；

（2）连接OB，作DE⊥x轴于E，

∵BA=BO，

∴∠ODA=∠CAO=30°，

∴∠DOE=∠CAO+∠ODA=60°，OD=OA= ，

∵OD为⊙B的切线，

∴OB⊥OD，

∴OE= OD= ，DE= OD= ，

则点D的坐标为：（ ， ），

× = ，

∴过D点的反比例函数的表达式为：y= ．

【点评】本题考查的是切线的性质、反比例函数解析式的确定、勾股定理的应用以及锐角三角函数的概念，掌握切线的性质定理、正确求出点D的坐标是解题的关键．

　

七、解答题（本大题满分12分）

22．（12分）从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的黄金分割线．

（1）求这个顶点对应角的度数；

（2）如图，已知黄金分割线CD=1，求BD的长；

（3）试求sin72°的值．

【分析】（1）根据题意画出图形，运用三角形内角和定理，即可得到顶点对应角的度数；

（2）根据△CBD∽△ABC，得到 = ，再设BD=x，则 = ，即x²+x+1=0，即可解得x= ，进而得到BD= ；

（3）过点C作CE⊥AB交AB于点E，根据等腰三角形的性质可得BE= BD= ，在Rt△BCE中，根据勾股定理可得CE= = ，最后在Rt△BCE中，求得sin72°= = ．

【解答】解：（1）符合条件的三角形可画出如下三种：

如图①，△BCD∽△BAC，△ACD是等腰三角形，

设∠A=∠ACD=α，则∠BDC=∠B=2α，∠BCD=α，

∵△BCD的内角和等于180°，

∴5α=180°，即α=36°，

∴∠ACB=72°；

如图②，△CAD∽△CBA，△BAD是等腰三角形，

设∠C=∠CAD=α，则∠ADB=∠DAB=2α，∠B=α，

∵△ADB的内角和等于180°，

∴5α=180°，即α=36°，

∴∠CAB=3α=108°；

如图③，△CAD∽△CBA，△BAD是等腰三角形，

设∠C=∠B=∠CAD=α，则∠ADB=2α，∠DAB=α，

∵△ADB的内角和等于180°，

∴4α=180°，即α=45°，

∴∠BAD=2α=90°，

综上所述，这个顶点对应角的度数分别为72°，108°，90°；

（2）由题意知，△CBD∽△ABC，

∴ = ，

设BD=x，则

= ，即x²+x+1=0，

解得x= ，

∴BD= ；

（3）如图所示，过点C作CE⊥AB交AB于点E，

则BE= BD= ，

∴Rt△BCE中，CE= = = ，

∴Rt△BCE中，sin72°= = ．

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，黄金分割以及三角形内角和定理的综合应用，解题时注意分类思想的运用．解决问题的关键是画出图形，依据等腰三角形和相似三角形的性质进行求解．

　

八、解答题（本大题满分14分）

23．（14分）已知抛物线l₁：y=﹣x²+2x+3与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线l₂经过点A，与x轴的另一个交点为E（4，0），与y轴交于点D（0，﹣2）．

（1）求抛物线l₂的解析式；

（2）点P为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线交抛物线l₁于点M，交抛物线l₂于点N．

①当四边形AMBN的面积最大时，求点P的坐标；

②当CM=DN≠0时，求点P的坐标．

【分析】（1）令抛物线l₁：y=0，可求得点A和点B的坐标，然后设设抛物线l₂的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将点D的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；

（2）①由点A和点B的坐标可求得AB的长，设P（x，0），则M（x，﹣x²+2x+3），N（x， x²﹣ x﹣2）．然后依据S_AMBN= AB•MN列出S与x的函数关系，从而可得到当S有最大值时，x的值，于是可得到点P的坐标；②CM与DN不平行时，可证明四边形CDNM为等腰梯形，然后可证明GM=HN，设P（x，0），则M（x，﹣x²+2x+3），N（x， x²﹣ x﹣2）．从而可列出关于x的方程，于是可求得点P的坐标；当CM∥DN时，四边形CDNM为平行四边形．故此DC=MN=5，从而得到关于x的方程，从而可求得点P的坐标．

【解答】解：（1）∵令﹣x²+2x+3=0，解得：x₁=﹣1，x₂=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

设抛物线l₂的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．

∵将D（0，﹣2）代入得：﹣4a=﹣2，

∴a= ．

∴抛物线的解析式为y= x²﹣ x﹣2；

（2）①如图1所示：

∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB=4．

设P（x，0），则M（x，﹣x²+2x+3），N（x， x²﹣ x﹣2）．

∵MN⊥AB，

∴S_AMBN= AB•MN=﹣3x²+7x+10（﹣1＜x＜3）．

∴当x= 时，S_AMBN有最大值．

∴此时P的坐标为（ ，0）．

②如图2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM与DN不平行．

∵DC∥MN，CM=DN，

∴四边形CDNM为等腰梯形．

∴∠DNH=∠CMG．

在△CGM和△DNH中 ，

∴△CGM≌△DNH．

∴MG=HN．

∴PM﹣PN=1．

设P（x，0），则M（x，﹣x²+2x+3），N（x， x²﹣ x﹣2）．

∴（﹣x²+2x+3）+（ x²﹣ x﹣2）=1，解得：x₁=0（舍去），x₂=1．

∴P（1，0）．

当CM∥DN时，如图3所示：

∵DC∥MN，CM∥DN，

∴四边形CDNM为平行四边形．

∴DC=MN．=5

∴﹣x²+2x+3﹣（ x²﹣ x﹣2）=5，

∴x₁=0（舍去），x₂= ，

∴P（ ，0）．

总上所述P点坐标为（1，0），或（ ，0）．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰梯形的性质、全等三角形的性质、平行四边形的性质和判定，依MN=DC=5、PM﹣PN=1列出关于P的横坐标x的方程是解题的关键．