【332031】期中检测卷

期中检测卷

得分________　卷后分________　评价________

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．若反比例函数y＝的图象经过点(2，－1)，则该反比例函数的图象在(　　)

A．第一、二象限 B．第一、三象限

C．第二、三象限 D．第二、四象限

2．已知函数y＝的图象如图，以下结论：

①m＜0；②在每个分支上y随x的增大而增大；③若点A(－1，a)、点B(2，b)在图象上，则a＜b；④若点P(x，y)在图象上，则点P₁(－x，－y)也在图象上．其中正确的个数是(　　)

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

,第2题图)　　　 ,第3题图)　　　

3．如图所示，在△ABC中，AB＝3AD，DE∥BC，EF∥AB，若AB＝9，DE＝2，则线段FC的长度是(　　)

A．6 B．5 C．4 D．3

4．函数的自变量x满足≤x≤2时，函数值y满足≤y≤1，则这个函数可以是(　　)

A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝

5．下列条件中，不能判定△ABC和△A′B′C′相似的是(　　)

A.＝＝ B．∠A＝∠A′，∠B＝∠C′

C.＝，且∠B＝∠A′ D.＝，且∠B＝∠C′

6．反比例函数y＝与一次函数y＝kx－k＋2在同一直角坐标系中的图象可能是(　　)

7．△ABC的三边之比为3∶4∶5，若△ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′的最短边长为6，则△A′B′C′的周长为(　　)

A．36 B．24 C．17 D．12

8．如图， 已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝CD＝5，AC＝7，BE＝3，下列命题错误的是(　　)

A．△AED∽△BEC B．∠AEB＝90°

C．∠BDA＝45° D．图中全等的三角形共2对

9．如图，过点O作直线与双曲线y＝(k≠0)交于A，B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D.在x轴、y轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一条直线上，且AE＝AF.设图中矩形ODBC的面积为S₁，△EOF的面积为S₂，则S₁，S₂的数量关系是(　　)

A．S₁＝S₂ B．2S₁＝S₂ C．3S₁＝S₂ D．4S₁＝S₂

,第8题图)　　　 ,第9题图)　　　 ,第10题图)

10．如图，边长为2的正方形中，P是CD的中点，连接AP并延长，交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为(　　)

A. B. C. D.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11．若点P₁(－1，m)，P₂(－2，n)在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，则m____n(填“＞”“＜”或“＝”号)．

12．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形：________________(用相似符号连接)．

13．已知一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝的图象相交于A(4，2)，B(－2，m)两点，则一次函数的表达式为____．

14．如图，直立在点B处的标杆AB＝2.5 m，立在点F处的观测者从点E看到标杆顶A，树顶C在同一直线上(点F，B，D也在同一直线上)．已知BD＝10 m，FB＝3 m，人高EF＝1.7 m，则树高DC是____．(精确到0.1 m)

15．如图，已知A(3，0)，B(2，3)，将△OAB以点O为位似中心，相似比为2∶1，放大得到△OA′B′，则顶点B的对应点B′的坐标为____．

,第12题图)　　 ,第14题图)　　 ,第15题图)　　 ,第17题图) ,第18题图)

16．已知P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)是同一个反比例函数图象上的两点，若x₂＝x₁＋2，且＝＋，则这个反比例函数的表达式为____．

17．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，点G，H在DC边上，且GH＝DC，若AB＝10，BC＝12，则图中阴影部分的面积为____．

18．如图，点E，F在函数y＝(x＞0)的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A，B，且BE∶BF＝1∶m.过点E作EP⊥y轴于点P，已知△OEP的面积为1，则k的值是____，△OEF的面积是____．(用含m的式子表示)

三、解答题(共66分)

19．(8分)如图，在一个3×5的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C在单位正方形顶点上，请你在图中画一个△A₁B₁C₁，使点A₁，B₁，C₁都在单位正方形的顶点上，且使△A₁B₁C₁∽△ABC.

20．(8分)在平面直角坐标系中，已知反比例函数y＝的图象经过点A(1，)．

(1)试确定此反比例函数的解析式；

(2)点O是坐标原点，将线OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．

21．(8分)如图，正比例函数y₁＝x的图象与反比例函数y₂＝(k≠0)的图象相交于A，B两点，点A的纵坐标为2.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)求出点B的坐标，并根据函数图象，写出当y₁＞y₂时，自变量x的取值范围．

22．(10分)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．

(1)求证：AC²＝AB·AD；

(2)求证：CE∥AD；

(3)若AD＝4，AB＝6，求的值．

23．(10分)心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知， 学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如下图所示(其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分)：

(1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？

(2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

24．(10分)如图，双曲线y＝(x＞0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为(2，3)．

(1)确定k的值；

(2)若点D(3，m)在双曲线上，求直线AD的解析式；

(3)计算△OAB的面积．

25．(12分)如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．

(1)求出抛物线的解析式；

(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

一、选择题

1．D 2．B 3．C 4．A 5．D 6．D 7．B 8．D 9．B 10．D

二、填空题

11．＜ 12．△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE

13．y＝x－2 14．5.2 m 15．(4，6)或(－4，－6)

16．y＝ 17．35 18．2

三、解答题

19．解：

由图可知∠ABC＝135°，不妨设单位正方形的边长为1个单位，则AB∶BC＝1∶，由此推断，所画三角形必有一角为135°，且该夹角的两边之比为1∶，也可以把这一比值看作∶2，2∶2等，以此为突破口，在图中连出和2，2和2等线段，即得△EDF∽△GDH∽△FMN∽△ABC，如图所示，即图中的△EDF，△GDH，△FMN均可视为△A₁B₁C₁，且使△A₁B₁C₁∽△ABC.

20．解：(1)把A(1，)代入y＝，得k＝1×＝，∴反比例函数的解析式为y＝.　

(2)过点A作x轴的垂线交x轴于点C.

在Rt△AOC中，OC＝1，AC＝.由勾股定理，得OA＝＝2，∠AOC＝60°.过点B作x轴的垂线交x轴于点D.由题意，∠AOB＝30°，OB＝OA＝2，∴∠BOD＝30°，在Rt△BOD中，得BD＝1，OD＝，∴B点坐标为(，1)．将x＝代入y＝中，得y＝1，∴点B(，1)在反比例函数y＝的图象上.

21．解：(1)设A点的坐标为(m，2)，代入y₁＝x得：m＝2，所以点A的坐标为(2，2)，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为：y₂＝.　

(2)当y₁＝y₂时，x＝.解得x＝±2，∴点B的坐标为(－2，－2)．或者由反比例函数、正比例函数图象的对称性得点B的坐标为(－2，－2)．由图象可知，当y₁＞y₂时，自变量x的取值范围是：－2＜x＜0或x＞2.

22．(1)证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.又∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB.∴＝，即AC²＝AB·AD.　

(2)证明：∵∠ACB＝90°，E为AB的中点，∴CE＝AB＝AE.∴∠EAC＝∠ECA.又∵∠CAD＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD.　

(3)解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴＝，∵CE＝AB＝×6＝3，AD＝4，∴＝，∴＝，即＝.

23．解：(1)设线段AB所在的直线的解析式为y₁＝k₁x＋20，把B(10，40)代入得，k₁＝2，∴y₁＝2x＋20.设C，D所在双曲线的解析式为y₂＝，把C(25，40)代入得，k₂＝1 000，∴y₂＝，当x₁＝5时，y₁＝2×5＋20＝30，当x₁＝30时，y₂＝＝，∴y₁＜y₂，∴第30分钟注意力更集中.　

(2)令y₁＝36，∴36＝2x＋20，∴x₁＝8，令y₂＝36，∴36＝，∴x₂＝≈27.8，∵27.8－8＝19.8＞19，∴老师能在学生注意力达到所需的状态下完成这道题目.

24．解：(1)将点A(2，3)代入解析式y＝，得：k＝6.　

(2)将D(3，m)代入反比例解析式y＝，得：m＝＝2，∴点D坐标为(3，2)，设直线AD解析式为y＝kx＋b，将A(2，3)与D(3，2)代入得：，解得：k＝－1，b＝5，则直线AD解析式为y＝－x＋5.　

(3)过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，∵AB∥x轴，∴BM⊥y轴，∴MB∥CN，∴△OCN∽△OBM，∵C为OB的中点，即＝，∴＝()²，∵A，C都在双曲线y＝上，∴S_△OCN＝S_△AOM＝3，由＝，得到S_△AOB＝9，则△AOB面积为9.

25．解：(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，∴可设该抛物线的解析式为y＝ax²＋bx－2.将A(4，0)，B(1，0)代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y＝－x²＋x－2.　

(2)存在，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为－m²＋m－2，当1＜m＜4时，AM＝4－m，PM＝－m²＋m－2.又∵∠COA＝∠PMA＝90°，∴①当＝＝时，△APM∽△ACO，即4－m＝2(－m²＋m－2)．解得m₁＝2，m₂＝4(舍去)，∴P(2，1)．　②当＝＝时，△APM∽△CAO，即2(4－m)＝－m²＋m－2.解得m₁＝4，m₂＝5(均不合题意，舍去)，∴当1＜m＜4时，P(2，1)．类似地可求出当m＞4时，P(5，－2)．当m＜1时，P(－3，－14)或P(0，－2).

综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).