【332021】期末测试卷

期末达标检测卷

(150分，120分钟)

一、选择题(每题4分，共40分)

1．下列函数中，不是反比例函数的是(　　)

A．x＝ B．y＝－(k≠0) C．y＝ D．y＝－

2．反比例函数y＝图象的两个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是(　　)

A．k＜3 B．k＞0 C．k＞3 D．k＜0

3．已知x∶y＝5∶2，则下列各式中不正确的是(　　)

A.＝ B.＝ C.＝ D.＝

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sin A的值是(　　)

A. B. C. D.

5．如图，已知抛物线y＝x²＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，点A、B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为(　　)

A．(2，3) B．(4，3) C．(3，3) D．(3，2)

(第5题)

　　　　　　 (第6题)

6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气体内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m³)的反比例函数，图象如图所示．当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸，安全起见，气球的体积应(　　)

A．不小于 m³ B．小于 m³ C．不小于 m³ D．小于 m³

7．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4 km.某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为(　　)

A．4 km B．2 km C．2 km D．(＋1) km

(第7题)

　　　　　 (第8题)

8．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点B′重合，若AB＝2，BC＝3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为(　　)

A．9∶4 B．3∶2 C．4∶3 D．16∶9

9．如图，已知正△ABC的边长为2.E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是(　　)

　　　　 (第9题)

　　　 　

10．如图，已知边长为2的正三角形ABC中，P₀是BC边的中点，一束光线自P₀发出射到AC上的点P₁后，依次反射到AB，BC上的点P₂和P₃(入射角等于反射角)，且1＜BP₃＜，则P₁C长的取值范围是(　　)

　　 (第10题)

A．1＜P₁C＜ B.＜P₁C＜1 C.＜P₁C＜ D.＜P₁C＜2

二、填空题(每题5分，共20分)

11．如图，上午10时小东测得某树的影长为2 m，到了下午5时又测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度约为________m.

12．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为________．

(第11题)

　　 (第12题)

　　 (第13题)

　　 (第14题)

13．如图，已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，化简＋的结果为：①c；②b；③a－b；④a－b＋2c.其中正确的有________(填写所有正确的序号)

14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于二、四象限的A，B两点，与x轴交于C点．已知A(－2，m)，B(n，－2)，tan ∠BOC＝，则此一次函数的表达式为________________．

三、解答题(15～19题每题10分，20题12分，21，22题每题14分，共90分)

15．计算：

(1)2sin 30°＋cos 60°－tan 60°·tan 30°＋cos²45°.

(2)|－5|＋2·cos 30°＋＋(9－)⁰＋.

16．如图所示，已知AE为∠BAC的平分线，ED∥CA.若BE＝6，EC＝7，AC＝12，求AD的长．

(第16题)

17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(4，8)、B(4，2)、C(8，6)．

(1)在第一象限内，画出以原点O为位似中心，与△ABC的相似比为的△A₁B₁C₁，并写出A₁、C₁点的坐标；

(2)如果△ABC内部一点P的坐标为(x，y)，写出点P在△A₁B₁C₁内的对应点P₁的坐标．

(第17题)

18．如图，直线y＝k₁x＋b与双曲线y＝相交于A(1，2)、B(m，－1)两点．

(1)求m的值；

(2)若A₁(x₁，y₁)、A₂(x₂，y₂)、A₃(x₃，y₃)为双曲线上的三点，且x₁＜x₂＜0＜x₃，请直接写出y₁，y₂，y₃的大小关系；

(3)观察图象，请直接写出不等式k₁x＋b＞的解集．

(第18题)

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x²＋mx＋n经过点A(0，－2)，B(3，4)．

(1)求抛物线对应的表达式及对称轴；

(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．

(第19题)

20．如图，某种新型导弹从地面发射点L处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度y(km)与飞行时间x(s)之间的表达式为y＝x²＋x (0≤x≤10)．发射3 s后，导弹到达A点，此时位于与L同一水平面的R处雷达站测得A，R的距离是2 km，再过3 s后，导弹到达B点．

(1)求发射点L与雷达站R之间的距离；

(2)当导弹到达B点时，求雷达站测得的仰角(即∠BRL)的正切值．

(第20题)

21．北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．(结果精确到1米．参考数据：sin 25°≈0.4，cos 25°≈0.9，tan 25°≈0.5，≈1.7)

(第21题)

22．如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BP＝BQ，过点B作PC的垂线，垂足为点H，连接HD、HQ.

(1)图中有________对相似三角形；

(2)若正方形ABCD的边长为1，P为AB的三等分点，求△BHQ的面积；

(3)求证：DH⊥HQ.

(第22题)

参考答案

1.C

2．C　点拨：因为反比例函数y＝图象的两个分支上，y都随x的增大而减小，所以k－3＞0，解得k＞3，所以选C.

3．D　点拨：设x＝5k，y＝2k，则＝＝，＝＝，＝＝，＝＝－，故选D.

4．B　点拨：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，由勾股定理得BC＝6，则sin A＝＝＝，故选B.

5．B　点拨：由题意可知抛物线y＝x²＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，点A的坐标为(0，3)，且AB与x轴平行，所以点B的坐标为(4，3)，故选B.

6．C　点拨：设p＝，因为点(1.6，60)在双曲线上，故60＝，所以k＝96，所以当p＝120 kPa时，V＝ m³，结合图象可知，为保证安全，应使气球的体积不小于m³.

7．C　点拨：如图所示，过点A作AD⊥OB，垂足为点D.在Rt△AOD中，由题意可知，∠AOD＝30°，∠OAD＝60°，所以AD＝sin 30°×OA＝ ×4＝2(km)．因为∠DAB＝90°＋15°－60°＝45°，所以△DAB是等腰直角三角形，所以AB＝AD＝2 km.

(第7题)

8．D　点拨：设CF＝x，则BF＝3－x，由折叠得B′F＝BF＝3－x.在Rt△FCB′中，由勾股定理得CF²＋CB′²＝FB′²，即x²＋1²＝(3－x)²，解得x＝.由已知可证Rt△FCB′∽Rt△B′DG，所以S_△FCB′与S_△B′DG之比为＝.

9．D　点拨：在△ABC中，∵AE＝BF＝CG＝x，∴BE＝CF＝AG＝2－x.

又∵∠A＝∠B＝∠C，

∴△AEG≌△BFE≌△CGF.

如图，过点G作GH⊥AE，

(第9题)

在Rt△AGH中，sin A＝，

∴GH＝AG·sin A＝(2－x)·sin 60°＝(2－x)×＝－x，

∴S_△AEG＝·AE·GH＝x·＝－x²＋x.

∵正△ABC的边长为2，

∴S_△ABC＝×2×2×sin 60°＝.

∴y＝S_△EFG＝S_△ABC－3S_△AEG＝－3＝x²－x＋，

∴y＝(x－1)²＋.

又∵y与x是二次函数关系，∴y关于x的函数图象是以为顶点，且开口向上的抛物线，

∴D选项正确．

10．A　点拨：易证得△AP₁P₂∽△CP₁P₀∽△BP₃P₂.∴＝＝.∴＝，

即＝.

∴＝CP₁，整理后得BP₃＝3CP₁－2.

∵1＜BP₃＜，∴1＜3CP₁－2＜，解得1＜CP₁＜.

11.4

12．2　点拨：如图，延长BA交y轴于点E，则四边形AEOD、BEOC均为矩形，由点A在双曲线y＝上，得矩形AEOD的面积为1，由点B在双曲线y＝上，得矩形BEOC的面积为3，故矩形ABCD的面积为3－1＝2.

(第12题)

13．①④　点拨：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，所以a－b＋c＝0，即a＋c＝b.因为抛物线的开口向下，所以a＜0.因为对称轴在y轴的右侧，所以－＞0，所以b＞0.因为抛物线与y轴相交于y轴的正半轴，所以c＞0，又a＋c＝b＞0，所以c＞b.所以原式＝b＋(c－b)＝c，故①正确；原式＝a＋c＋c－b＝a－b＋2c，故④正确．

14．y＝－x＋3

15.解：(1)原式＝2×＋－×＋＝1＋－1＋＝1.　(2)原式＝5－＋2×＋3＋1＋2＝11.

16．解：∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAE＝∠EAC.

∵ED∥CA，∴∠DEA＝∠EAC，∴∠DAE＝∠DEA，∴ED＝AD.

∵ED∥CA，∴△BED∽△BCA，∴＝即＝，

∴ED＝，∴AD＝.

17.解：(1)△A₁B₁C₁如图所示．

(第17题)

A₁点的坐标为(2，4)，C₁点的坐标为(4，3)．

(2)P₁的坐标为.

18．解：(1)∵点A(1，2)与点B(m，－1)在双曲线y＝上，

∴－1×m＝1×2，∴m＝－2.

(2)y₂＜y₁＜y₃.　(3)x＞1或－2＜x＜0.

19．分析：(1)把点A(0，－2)，B(3，4)代入y＝2x²＋mx＋n中，列出关于m，n的方程组，求出m，n的值，确定拋物线的表达式，然后求出它的对称轴．

(2)观察图象G，发现直线CD经过图象的最低点即拋物线的顶点时t的值最小，直线CD经过图象G的最高点B时t的值最大，分别求出这两种情况下t的值，确定t 的取值范围．

解：(1)∵y＝2x²＋mx＋n经过点A(0，－2)，B(3，4)，

代入得∴

∴拋物线对应的表达式为y＝2x²－4x－2.

又∵y＝2x²－4x－2＝2(x²－2x－1)＝2(x－1)²－4，

∴其对称轴为直线x＝1.

(2)由题意可知C(－3，－4)．二次函数y＝2x²－4x－2的最小值为－4.

(第19题)

如图，由图象可以看出D点纵坐标最小值即为－4，

最大值即直线BC与对称轴交点的纵坐标．

设直线BC对应的表达式为y＝kx＋b，

根据题意得解得

所以直线BC的表达式为y＝x.当x＝1时，y＝.

所以满足条件的点D的纵坐标t的取值范围是－4≤t≤.

点拨：(1)将函数图象上点的坐标代入函数表达式，是求函数表达式中待定系数的常用方法．(2)求最值问题一般需借助二次函数的最大(小)值的求法进行求解．

20．解：(1)当x＝3时，AL＝×9＋×3＝1(km)，在直角三角形ALR中，LR＝＝＝(km)．即发射点L与雷达站R之间的距离是 km.

(2)当x＝3＋3＝6时，BL＝×36＋×6＝3(km)，在直角三角形BLR中，tan ∠BRL＝＝＝.

点拨：本题属于数学建模问题，(1)在表达式中，把x＝3代入，即可求得AL的长，在直角三角形ALR中，利用勾股定理即可求得LR的长；(2)在表达式中，把x＝6代入，即可求得BL的长，在直角三角形BLR中，根据正切函数的定义即可求解．

21．解：如图所示，过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D，

(第21题)

设CD＝x米，

在Rt△ADC中，∠DAC＝25°，所以tan 25°＝，

所以AD＝≈＝2x.

在Rt△BDC中，∠DBC＝60°，

由tan 60°＝＝≈，解得x≈3.

所以该生命迹象所在位置C的深度约为3米．

22．(1)解：4

(2)解：过点H作HE⊥BC于点E（图略），

∵正方形ABCD的边长为1，P为AB的三等分点，

∴BP＝BQ＝.

在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝.

∵BP·BC＝BH·PC，∴BH＝＝.

在Rt△BHC中，由勾股定理得CH＝.

∵BH·CH＝HE·BC，∴HE＝＝.

∴△BHQ的面积为EH·BQ＝××＝.

(3)证明：∵∠PBC＝∠CHB＝90°，∠BCH＝∠PCB，

∴Rt△PBC∽Rt△BHC，∴＝.

又∵BP＝BQ，BC＝DC，∴＝，∴＝.

∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠BCH＝∠BCH，∴∠HBQ＝∠HCD.

在△HBQ与△HCD中，∵＝，∠HBQ＝∠HCD，

∴△HBQ∽△HCD，∴∠BHQ＝∠DHC.

∴∠BHQ＋∠QHC＝∠DHC＋∠QHC.

又∵∠BHQ＋∠QHC＝90°，

∴∠QHC＋∠DHC＝∠QHD＝90°，即DH⊥HQ.