【331891】二次函数的图象和性质 （二）

《22.1.3二次函数的图象和性质（二）》

一.选择题

1．二次函数y=x²的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（　　）

A．y=x²+3 B．y=x²﹣3 C．y=（x+3）² D．y=（x﹣3）²

2．抛物线y=﹣2（x﹣3）²的顶点坐标和对称轴分别为（　　）

A．（﹣3，0），直线x=﹣3 B．（3，0），直线x=3

C．（0，﹣3），直线x=﹣3 D．（0，3），直线x=﹣3

3．已知二次函数y=3（x+1）²﹣8的图象上有三点A（1，y₁），B（2，y₂），C（﹣2，y₃），则y₁，y₂，y₃的大小关系为（　　）

A．y₁＞y₂＞y₃ B．y₂＞y₁＞y₃ C．y₃＞y₁＞y₂ D．y₃＞y₂＞y₁

4．把抛物线y=6（x+1）²平移后得到抛物线y=6x²，平移的方法可以是（　　）

A．沿y轴向上平移1个单位 B．沿y轴向下平移1个单位

C．沿x轴向左平移1个单位 D．沿x轴向右平移1个单位

5．若二次函数y=x²﹣mx+1的图象的顶点在x轴上，则m的值是（　　）

A．2 B．﹣2 C．0 D．±2

6．对称轴是直线x=﹣2的抛物线是（　　）

A．y=﹣x²+2 B．y=x²+2 C．y= D．y=3（x﹣2）²

7．对于函数y=3（x﹣2）²，下列说法正确的是（　　）

A．当x＞0时，y随x的增大而减小

B．当x＜0时，y随x的增大而增大

C．当x＞2时，y随x的增大而增大

D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小

8．二次函数y=3x²+1和y=3（x﹣1）²，以下说法：

①它们的图象都是开口向上；

②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，0）；

③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；

④它们的开口的大小是一样的．

其中正确的说法有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．抛物线______向右平移3个单位长度即得到抛物线y=2（x﹣1）²．

二、填空题

10．抛物线y=﹣3（x﹣1）²的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______．

11．当x______时，函数y=﹣ （x+3）²y随x的增大而增大，当x______时，随x的增大而减小．

12．若抛物线y=a（x﹣h）²的对称轴是直线x=﹣1，且它与函数y=3x²的形状相同，开口方向相同，则a=______，h=______．

13．抛物线y=（x﹣5）²的开口，对称轴是______，顶点坐标是______，它可以看做是由抛物线y=x²向______平移______个单位长度得到的．抛物线______向右平移3个单位长度即得到抛物线y=2（x﹣1）²．

14．已知A（﹣1，y₁），B（﹣2，y₂），C（3，y₃）三点都在二次函数y=﹣2（x+2）²的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系为______．

15．顶点是（2，0），且抛物线y=﹣3x²的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为______．

16．对称轴为x=﹣2，顶点在x轴上，并与y轴交于点（0，3）的抛物线解析式为______．

三、解答题

17．抛物线y=a（x﹣2）²经过点（1，﹣1）

（1）确定a的值；

（2）求出该抛物线与坐标轴的交点坐标．

18．已知二次函数y=a（x﹣h）²，当x=2时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3），求此二次函数的关系式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大．

19．如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．

《22.1.3二次函数的图象和性质（二）》

参考答案

一.选择题

1．二次函数y=x²的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（　　）

A．y=x²+3 B．y=x²﹣3 C．y=（x+3）² D．y=（x﹣3）²

【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（3，0）．

可设新抛物线的解析式为：y=（x﹣h）²+k，

代入得：y=（x﹣3）²．

故选：D．

2．抛物线y=﹣2（x﹣3）²的顶点坐标和对称轴分别为（　　）

A．（﹣3，0），直线x=﹣3 B．（3，0），直线x=3

C．（0，﹣3），直线x=﹣3 D．（0，3），直线x=﹣3

【解答】解：抛物线y=﹣2（x﹣3）²的顶点坐标为（3，0），对称轴为x=3．

故选：B．

3．已知二次函数y=3（x+1）²﹣8的图象上有三点A（1，y₁），B（2，y₂），C（﹣2，y₃），则y₁，y₂，y₃的大小关系为（　　）

A．y₁＞y₂＞y₃ B．y₂＞y₁＞y₃ C．y₃＞y₁＞y₂ D．y₃＞y₂＞y₁

【解答】解：由二次函数y=3（x+1）²﹣8可知，对称轴为x=﹣1，开口向上，

可知，A（1，y₁），B（2，y₂）两点在对称轴右边，

y随x的增大而增大，由1＜2得y₁＜y₂，

A、B、C三点中，C点离对称轴最近，故y₃最小．

故选B．

4．把抛物线y=6（x+1）²平移后得到抛物线y=6x²，平移的方法可以是（　　）

A．沿y轴向上平移1个单位 B．沿y轴向下平移1个单位

C．沿x轴向左平移1个单位 D．沿x轴向右平移1个单位

【解答】解：∵y=6x²=6（x+1﹣1）²，

∴抛物线y=6x²可由y=6（x+1）²沿x轴向右平移1个单位得出；

故选D．

5．若二次函数y=x²﹣mx+1的图象的顶点在x轴上，则m的值是（　　）

A．2 B．﹣2 C．0 D．±2

【解答】解：∵二次函数y=x²﹣mx+1的图象的顶点在x轴上，

∴二次函数的解析式为：y=（x±1）²，

∴m=±2．

故选：D．

6．对称轴是直线x=﹣2的抛物线是（　　）

A．y=﹣x²+2 B．y=x²+2 C．y= D．y=3（x﹣2）²

【解答】解：A、y=﹣x²+2，对称轴是x=0，此选项错误；

B、y=x²+2，对称轴是x=0，此选项错误；

C、y= （x+2）²，对称轴是x=﹣2，此选项正确；

D、y=3（x﹣2）²，对称轴是x=2，此选项错误．

故选：C．

7．对于函数y=3（x﹣2）²，下列说法正确的是（　　）

A．当x＞0时，y随x的增大而减小

B．当x＜0时，y随x的增大而增大

C．当x＞2时，y随x的增大而增大

D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小

【解答】解：∵二次函数y=3（x﹣2）²，的对称轴为x=2，a=3＞0，

∴开口向上，当x＞2时y随x的增大而增大，

故A、B、D错误，C正确．

故选：C．

8．二次函数y=3x²+1和y=3（x﹣1）²，以下说法：

①它们的图象都是开口向上；

②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，0）；

③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；

④它们的开口的大小是一样的．

其中正确的说法有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：①因为a=3＞0，它们的图象都是开口向上，此选项正确；

②y=3x²+1对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1），y=3（x﹣1）²的对称轴是x=1，顶点坐标是（1，0），此选项错误；

③二次函数y=3x²+1当x＞0时，y随着x的增大而增大；y=3（x﹣1）²当x10时，y随着x的增大而增大；

④因为a=3，所以它们的开口的大小是一样的，此选项正确．

综上所知，正确的有①④两个．

故选：B．

9．抛物线　y=2（x+2）²　向右平移3个单位长度即得到抛物线y=2（x﹣1）²．

【解答】解：依题意知 原抛物线是由抛物线y=2（x﹣1）²向左平移3个单位长度得到的．

抛物线y=2（x﹣1）²的顶点坐标是（1，0），则向左平移3个单位长度后的顶点坐标是（﹣2，0），

故原抛物线的解析式为：y=2（x+2）²

故答案是：y=2（x+2）²．

二、填空题

10．抛物线y=﹣3（x﹣1）²的开口方向　下　，对称轴是　x=1　，顶点坐标是　（1，0）　．

【解答】解：由y=﹣3（x﹣1）²可知，二次项系数为﹣3＜0，

∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，

顶点坐标为（1，0）．

故本题答案为：向下，x=1，（1，0）．

11．当x　＜﹣3　时，函数y=﹣ （x+3）²y随x的增大而增大，当x　＞﹣3　时，随x的增大而减小．

【解答】解：∵函数y=﹣ （x+3）²的对称轴为x=﹣3，且开口向下，

∴当x＜﹣3时，函数y=﹣ （x+3）²y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，随x的增大而减小．

故答案为：＜﹣3，＞﹣3．

12．若抛物线y=a（x﹣h）²的对称轴是直线x=﹣1，且它与函数y=3x²的形状相同，开口方向相同，则a=　3　，h=　﹣1　．

【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣h）²的对称轴是直线x=﹣1，

∴h=﹣1，

∵它与函数y=3x²的形状相同，开口方向相同，

∴a=3．

故答案为3，﹣1．

13．抛物线y=（x﹣5）²的开口，对称轴是　x=5　，顶点坐标是　（5，0）　，它可以看做是由抛物线y=x²向　右　平移　5　个单位长度得到的．抛物线　y=2（x+2）²　向右平移3个单位长度即得到抛物线y=2（x﹣1）²．

【解答】解：抛物线y=（x﹣5）²的开口向上，对称轴是直线x=5，顶点坐标是（5，0），它可以看作是由抛物线y=x²向右平移5个单位长度得到的．

抛物线y=2（x+2）²向右平移3个单位长度即得到抛物线y=2（x﹣1）²．

故答案为：向上，x=5，（5，0），右，5，y=2（x+2）²．

14．已知A（﹣1，y₁），B（﹣2，y₂），C（3，y₃）三点都在二次函数y=﹣2（x+2）²的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系为　y₂＞y₁＞y₃　．

【解答】解：∵二次函数的解析式为y=﹣2（x+2）²，

∴抛物线的对称轴为直线x=﹣2，

∵A（﹣1，y₁），B（﹣2，y₂），C（3，y₃），

∴点B在直线x=﹣2上，点C离直线x=﹣2最远，

而抛物线开口向下，

∴y₂＞y₁＞y₃；

故答案为y₂＞y₁＞y₃．

15．顶点是（2，0），且抛物线y=﹣3x²的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为　y=﹣3（x﹣2）²　．

【解答】解：由题意可得抛物线的解析式为y=﹣3（x﹣2）²．

故答案为：y=﹣3（x﹣2）²．

16．对称轴为x=﹣2，顶点在x轴上，并与y轴交于点（0，3）的抛物线解析式为　y= 　．

【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x+2）²，

把（0，3）代入可得4a=3，解得a= ，

所以抛物线解析式为y= ，

故答案为：y= ．

三、解答题

17．抛物线y=a（x﹣2）²经过点（1，﹣1）

（1）确定a的值；

（2）求出该抛物线与坐标轴的交点坐标．

【解答】解：（1）把（1，﹣1）代入y=a（x﹣2）²得a•（1﹣2）²=﹣1

解得a=﹣1

（2）抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）²，

当y=0时，﹣（x﹣2）²=0，解得x=2，

所以抛物线与x轴交点坐标为（2，0）；

当x=0时，y=﹣（x﹣2）²=﹣4，

所以抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣4）．

18．已知二次函数y=a（x﹣h）²，当x=2时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3），求此二次函数的关系式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大．

【解答】解：根据题意得y=a（x﹣2）²，

把（1，﹣3）代入得a=﹣3，

所以二次函数解析式为y=﹣3（x﹣2）²，

因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下，

所以当x＜2时，y随x的增大而增大．

19．如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．

【解答】解：（1）∵OM=ON=4，

∴M点坐标为（4，0），N点坐标为（0，4），

设抛物线解析式为y=a（x﹣4）²，

把N（0，4）代入得16a=4，解得a= ，

所以抛物线的解析式为y= （x﹣4）²= x²﹣2x+4；

（2）∵点A的横坐标为t，

∴DM=t﹣4，

∴CD=2DM=2（t﹣4）=2t﹣8，

把x=t代入y= x²﹣2x+4得y= t²﹣2t+4，

∴AD= t²﹣2t+4，

∴l=2（AD+CD）

=2（ t²﹣2t+4+2t﹣8）

= t²﹣8（t＞4）．