【331890】第一章达标测试卷

第一章达标测试卷

一、选择题(每题3分，共30分)

1.cos 30°的值为(　　)

A. B. C. D.

2．如图，已知Rt△BAC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝，则BC的长是(　　)

A.2 B.8 C.2 D.4

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，已知AC＝，BC＝2，那么sin ∠ACD等于(　　)

A. B. C. D.

4．若tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是(　　)

A.20° B.30° C.40° D.50°

5．已知cos θ＝0.253 4，则锐角θ约等于(　　)

A.14.7° B.14°7′ C.75.3° D.75°3′

6．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE＝33°，AB＝a，BD＝b，则下列求旗杆CD长的式子中正确的是(　　)

A.CD＝bsin 33°＋a B.CD＝bcos 33°＋a

C.CD＝btan 33°＋a D.CD＝＋a

7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是(　　)

A.2 B. C. D.

8．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝(1＋)，则BC等于(　　)

A.2 B. C.2 D.1＋

9．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为(　　)

A.82 m B.163 m C.52 m D.30 m

10．如图，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为3 m，则鱼竿转过的角度是(　　)

A.60° B.45° C.15° D.90°

二、填空题(每题3分，共30分)

11．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则tan α＝________．

12．若反比例函数y＝的图象经过点(tan 30°，cos 60°)，则k＝________．

13．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝，则AB＝________.

14．某梯子与地面所成的角α满足45°≤α≤60°时，人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端，现有一个长6 m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全爬上__________高的墙．

15．某游客在山脚处看见一个标注海拔40 m的牌子，当他沿山坡前进50 m时，他又看见一个标注海拔70 m的牌子，于是他走过的山坡的坡度是__________．

16．如图，△ABC的顶点A，C的坐标分别是(0，2)，(2，0)，且∠ACB＝90°，∠B＝30°，则顶点B的坐标是__________．

17．如图，一棵树的枝叶部分AB在太阳光下的投影CD的长是5.5 m，此时太阳光线与地面的夹角是52°，则AB的长约为__________ (结果精确到0.1 m．参考数据：sin 52°≈0.79，tan 52°≈1.28)．

18．如图，秋千链子的长度OA＝3 m，静止时秋千踏板处于A位置，此时踏板距离地面0.3 m，秋千向两边摆动，当踏板处于A′位置时，摆角最大，此时∠AOA′＝50°，则在A′位置，踏板与地面的距离约为________m(sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.642 8，结果精确到0.01 m)．

19．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20 n mile的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1 h后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离约是________n mile(结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4)．

20．如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tan E＝________.

三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)

21．计算：(1)2^－1－sin 60°＋(π－2 023)⁰＋；

(2)＋4cos 60°·sin 45°－.

22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，2a＝3b，求∠B的正弦、余弦和正切值．

23．如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，＝，点E是AB的中点，tan D＝2，CE＝1，求sin∠ECB的值和AD的长．

24．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，正在对某城市河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在C处测得点A在西北方向上，如图，量得BC长为200 m，求该河段的宽度(结果保留根号)．

25．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为30 n mile/h，在此航行过程中，该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)

26．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15 m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°.假设汽车在高架道路上行驶时，周围39 m以内会受到噪音的影响．

(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？

(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39 m，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(结果精确到1 m，参考数据：≈1.7)

答案

一、1.B　2.A　3.A　4.A　5.C　6.C 7．D　8.A　9.A

10．C　点拨：∵sin ∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝45°.∵sin ∠C′AB′＝＝＝，∴∠C′AB′＝60°.∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.

二、11.1　12.　13.9　14.3 m

15．3∶4　16.(8，2)

17．7.0 m　点拨：过点B作BE∥CD，交AD于点E.

∵太阳光线与地面的夹角是52°，且太阳光线是平行的，

∴tan 52°＝，BE＝CD＝5.5 m.

∴AB＝5.5×tan 52°≈5.5×1.28＝7.04≈7.0(m)．

18．1.37　点拨：如图，作A′D⊥OA于点D，A′C垂直地面于点C，延长OA交地面于点B.

易得四边形BCA′D为矩形，

∴A′C＝DB.

∵∠AOA′＝50°，且OA＝OA′＝3 m，

∴在Rt△OA′D中，OD＝OA′·cos ∠AOA′≈3×0.642 8≈1.93(m)．

∵AB＝0.3 m，

∴OB＝OA＋AB＝3.3 m.

∴A′C＝DB＝OB－OD≈1.37 m.

19．24

20.　点拨：延长CA到F使AF＝AE，连接BF，过B点作BG⊥AC，垂足为G.根据题干条件证明△BAF≌△BAE，得出∠E＝∠F，然后在Rt△BGF中，求出tan F的值，进而求出tan E的值．

三、21.解：(1)原式＝－×＋1＋＝－＋1＋＝；

(2)原式＝－(＋)＋4××－(－)＝－－＋－＋＝－2＋.

22．解：由2a＝3b，可得＝.

设a＝3k(k＞0)，则b＝2k，由勾股定理，得c＝＝＝k.

∴sin B＝＝＝，cos B＝＝＝，tan B＝＝＝.

23．解：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠ACD＝90°.

∵点E是AB的中点，CE＝1，∴BE＝CE＝1，AB＝2CE＝2.∴∠B＝∠ECB.

∵＝，∴设BC＝3x，则CD＝2x.

在Rt△ACD中，tan D＝2，∴＝2.∴AC＝4x.

在Rt△ACB中，由勾股定理得AB＝＝5x，

∴sin∠ECB＝sin B＝＝. 由AB＝2，得x＝，

∴AD＝＝＝2x＝2×＝.

24．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.

根据题意知∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝45°.

∴∠ACD＝∠CAD.∴AD＝CD. ∴BD＝BC－CD＝200－AD.

在Rt△ABD中，tan ∠ABD＝，

∴AD＝BD·tan ∠ABD＝(200－AD)·tan 60°＝(200－AD)．

∴AD＋AD＝200. ∴AD＝＝300－100(m)．

答：该河段的宽度为(300－100)m.

25．解：如图，过点A作AP⊥BC，

垂足为P，设AP＝x n mile.

在Rt△APC中，∵∠APC＝90°，∠PAC＝90°－60°＝30°，

∴tan∠PAC＝＝. ∴CP＝x n mile.

在Rt△APB中，∵∠APB＝90°，∠PAB＝45°，∴BP＝AP＝x n mile.

∵PC＋BP＝BC＝30×＝15(n mile)，∴x＋x＝15.解得x＝.

∴PB＝ n mile.∴航行时间为÷30＝(h)．

答：该渔船从B处开始航行 h，离观测点A的距离最近．

26．解：(1)如图，连接PA.

由已知得AP＝39 m，在Rt△APH中，PH＝＝＝36(m)．

答：此时汽车与点H的距离为36 m.

(2)由题意，隔音板位置应从P到Q，

在Rt△ADH中，DH＝＝＝15(m)；

在Rt△CDQ中，DQ＝＝＝78(m)．

∴PQ＝PH＋HQ＝PH＋DQ－DH＝36＋78－15≈114－15×1.7≈89(m)．

答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89 m长．