【331889】第一章 直角三角形的边角关周周测14（全章）

第一单元练习题

1． cos60°的值等于(　　)

A. B. C. D.

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是(　　)

A. B. C. D.

3． 在Rt△ABC中，cosA＝，那么sinA的值是(　　)

A. B. C. D.

　　 图1－Y－1

4． 如图1－Y－1，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是(　　)

A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米

5．如图1－Y－2，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5米，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3米，小明身高EF＝1.6米，则凉亭的高度AB约为(　　)

A．8.5米 B．9米

C．9.5米 D．10米

图1－Y－2　　　 图1－Y－3

6． 如图1－Y－3，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)(　　)

A．5.1米 B．6.3米

C．7.1米 D．9.2米

7．如图1－Y－4，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)

图1－Y－4

　　　 图1－Y－5

8．如图1－Y－5，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为_______米(结果保留一位小数．参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)．

9．如图1－Y－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E.设∠A＝α，且tanα＝，则tan2α＝________．

图1－Y－6

10．某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图1－Y－7所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD＝60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数(结果精确到1°)．

图1－Y－7

11．“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790 m．如图1－Y－8，DE∥BC，BD＝1700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1 m)

图1－Y－8

12．乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图1－Y－9所示)．建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)．无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处的俯角为80°36′.

(1)求主桥AB的长度；

(2)若两观察点P，D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长度．

(长度均精确到1 m，参考数据：≈1.73，

sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06)

图1－Y－9

13．如图1－Y－10，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)

(参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24)

图1－Y－10

14．把(sinα)²记作sin²α，根据图1－Y－11①和②完成下列各题：

(1)sin²A₁＋cos²A₁＝________，sin²A₂＋cos²A₂＝________，sin²A₃＋cos²A₃＝________；

(2)观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin²A＋cos²A＝________；

(3)如图②，在Rt△ABC中证明(2)题中的猜想；

(4)在△ABC中，∠A＋∠B＝90°，且sinA＝，求cosA的值．

图1－Y－11

详解

1．D　2.A　3.B　4.A

5．A　[解析] 由题意知∠AGC＝∠FGE.又∠FEG＝∠ACG＝90°，∴△FEG∽△ACG，∴＝，即＝，∴AC＝8.∴AB＝AC＋BC＝8.5米．故选A.

6．A　[解析] 如图，延长DE交AB的延长线于点P，过点C作CQ⊥AP于点Q.

∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，

∴CE＝PQ＝2，CQ＝PE.

∵i＝＝＝，∴设CQ＝4x，BQ＝3x.

由BQ²＋CQ²＝BC²可得(4x)²＋(3x)²＝10²，解得x＝2或x＝－2(舍去)．

则CQ＝PE＝8，BQ＝6，∴DP＝DE＋PE＝11.

在Rt△ADP中，AP＝＝≈13.1，

∴AB＝AP－BQ－PQ≈13.1－6－2＝5.1(米)．

7．280　8.15.3

9.　[解析] 如图，连接BE，

∵D是AB的中点，ED⊥AB，

∴ED是AB的垂直平分线，∴EB＝EA，

∴∠EBA＝∠A＝α，∴∠BEC＝2α.

设DE＝a，∵tanα＝，

∴AD＝3a，AE＝a，

∴AB＝6a，∴BC＝，AC＝，

∴CE＝AC－AE＝－a＝a，

∴tan2α＝＝＝.故答案为.

10．解： 如图，延长AD交BC所在直线于点E.

由题意，得BC＝17米，AE＝15米，∠CAE＝60°，∠AEB＝90°.

在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，

∴CE＝AE·tan60°＝15 米．

在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，

∴∠BAE≈71°.

答：第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数约为71°.

11．解：如图，过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M.

由题意可得EM⊥AC，DF＝MC，∠AEM＝29°.

在Rt△DFB中，sin80°＝，

则DF＝BD·sin80°，

AM＝AC－MC＝AC－DF＝1790－1700·sin80°，

在Rt△AME中，sin29°＝，

故AE＝＝≈238.9(m)．

答：斜坡AE的长度约为238.9 m.

12．解：(1)由题意知∠ABP＝30°，AP＝97 m，

∴AB＝＝＝＝97 ≈168(m)．

答：主桥AB的长度约为168 m.

(2)∵∠ABP＝30°，AP＝97 m，∴PB＝2AP＝194 m.

∵∠DBA＝90°，∠PBA＝30°，

∴∠DBP＝60°.

又∠DPB＝30°＋30°＝60°，

∴△PBD是等边三角形，∴DB＝PB＝194 m.

在Rt△BCD中，∵∠C＝80°36′，

∴BC＝＝≈32(m)．

答：引桥BC的长度约为32 m.

13．解：假设点D移动到点D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D作DE⊥AC于点E，过点D′作D′E′⊥AC于点E′.

∵CD＝12米，∠DCE＝60°，

∴DE＝CD·sin60°＝12×＝6 (米)，CE＝CD·cos60°＝12×＝6(米)．

∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，

∴四边形DEE′D′是矩形，

∴DD′＝EE′，D′E′＝DE＝6 米．

∵∠D′CE′＝39°，

∴CE′＝≈≈12.8(米)，

∴DD′＝EE′＝CE′－CE≈12.8－6＝6.8≈7(米)．

答：学校至少要把坡顶D向后水平移动约7米才能保证教学楼的安全．

14．解：(1)sin²A₁＋cos²A₁＝()²＋()²＝＋＝1，

sin²A₂＋cos²A₂＝()²＋()²＝＋＝1，

sin²A₃＋cos²A₃＝()²＋()²＝＋＝1.

故答案为：1，1，1.

(2)观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin²A＋cos²A＝1.

故答案为：1.

(3)证明：在Rt△ABC中，∵sinA＝，cosA＝，且a²＋b²＝c²，

∴sin²A＋cos²A＝()²＋()²＝＋＝＝＝1，即sin²A＋cos²A＝1.

(4)∵在△ABC中，∠A＋∠B＝90°，

∴∠C＝90°，

∴sin²A＋cos²A＝1，

即()²＋cosA²＝1，

解得cosA＝或cosA＝－(舍)，

即cosA的值为.