【331852】第三十章达标检测卷

第三十章达标检测卷

一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)

1．下列函数中是二次函数的是(　　)

A．y＝3x－1 B．y＝3x²－1

C．y＝(x＋1)²－x² D．y＝

2．点A(2，3)在函数y＝ax²－x＋1的图像上，则a等于(　　)

A．1 B．－1 C．2 D．－2

3．对于二次函数y＝3(x－2)²＋1的图像，下列说法正确的是(　　)

A．开口向下 B．对称轴是直线x＝－2

C．顶点坐标是(2，1) D．与x轴有两个交点

4．y＝x²－1的图像可由下列哪一个函数的图像先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到？(　　)

A．y＝(x－1)²＋1

B．y＝(x＋1)²＋1

C．y＝(x－1)²－3

D．y＝(x＋1)²＋3

5．一小球被抛出后，距离地面的高度h (m)和飞行时间t (s)满足的函数表达式为h＝－5(t－1)²＋6，则小球距离地面的最大高度是(　　)

A．1 m　 B．5 m　 C．6 m　 D．7 m

6．已知函数y＝ax²＋bx＋c的图像如图所示，那么函数表达式为(　　)

A ．y＝－x²＋2x＋3

B．y＝x²－2x－3

C．y＝－x²－2x＋3

D．y＝－x²－2x－3

7．二次函数y＝x²－2x＋1的图像与x轴的交点个数是(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

8．在同一坐标系中，与函数y＝2x²的图像关于x轴对称的函数为(　　)

A．y＝x² B．y＝－x² C．y＝－2x² D．y＝－x²

9．二次函数y₁＝ax²－x＋1的图像与y₂＝－2x²的图像形状、开口方向相同，只是位置不同，则二次函数y₁＝ax²－x＋1的图像的顶点坐标是(　　)

A.　 B.

C.　 D.

10．若A，B，C为二次函数y＝x²＋4x－5的图像上的三点，则y₁，y₂，y₃的大小关系是(　　)

A．y₁＞y₂＞y₃ B．y₂＞y₁＞y₃

C．y₃＞y₁＞y₂ D．y₁＞y₃＞y₂

11．函数y＝ax＋b和y＝ax²＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图像可能是(　　)

12．已知函数y＝x²＋bx＋c的部分图像如图所示，若y＜0，则x的取值范围是(　　)

A．－1＜x＜4 B．－1＜x＜3

C．x＜－1或x＞4 D．x＜－1或x＞3

13．如图，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y＝ax²上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为(　　)

A．(，) B．(2，2) C．(，2) D．(2，)

14．如图，抛物线y＝－x²＋2x＋m＋1交x轴于点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当x＞0时，y＞0；②若a＝－1，则b＝4；③抛物线上有两点P(x₁，y₁)和Q(x₂，y₂)，若x₁＜1＜x₂，且x₁＋x₂＞2，则y₁＞y₂；④点C关于抛物线对称轴对称的点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6 .其中正确判断的序号是(　　)

A．① B．② C．③ D．④

15．如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点，过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图像是(　　)

16．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下水面宽度为20 m，拱顶距离水平面4 m，建立如图所示的平面直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18 m，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行？(　　)

A ．2.76 m

B．6.76 m

C．6 m

D．7 m

二、填空题(17，18题每题3分，19题4分，共10分)

17．如图，二次函数y＝x²－x－6的图像交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为________．

18．已知抛物线y＝ax²－2ax＋c与x轴一个交点的坐标为(－1，0)，则一元二次方程ax²－2ax＋c＝0的根为____________．

19．如图，在边长为10 cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点(P不与A，B两点重合)，连接DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E.设AP＝x cm，BE＝y cm，则y与x的函数关系式为________________，BE的最大值为________．

三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题12分，共68分)

20．已知抛物线y＝3x²－2x＋4.

(1)通过配方将抛物线的表达式写成y＝a(x－h)²＋k的形式；

(2)写出抛物线的开口方向和对称轴．

21．已知二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：

求：(1)这个二次函数的表达式；

(2)这个二次函数图像的顶点坐标及上表中m的值．

22．如图，二次函数y＝(x－2)²＋m的图像与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图像的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图像经过该二次函数图像上的点A(1，0)及点B.

(1)求二次函数与一次函数的表达式；

(2)根据图像，直接写出满足kx＋b≥(x－2)²＋m的x的取值范围．

23．如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动(点P，Q中有一点到达矩形顶点，则运动停止)．设运动时间为x s，△PBQ的面积为y cm².

(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(2)求△PBQ的最大面积．

24．例题：有一个窗户形状如图①，上半部分是一个半圆形，下半部分是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？

这个例题的答案：当窗户上半部分的半径约为0.35 m时，透光面积最大，最大值约为1.05 m².

我们如果改变这个窗户的形状，上半部分改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6 m．解答下列问题：

(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；

(2)与上面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明理由．

25．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知用这种设备的月产量x(套)表示每套的售价y₁(万元)的表达式是y₁＝170－2x，月产量x(套)与生产总成本y₂(万元)存在如图所示的函数关系．

(1)直接写出y₂与x之间的函数表达式．

(2)求月产量x的范围．

(3)当月产量为多少时，这种设备的月利润最大？最大月利润是多少？

26．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝－2x－1与y轴交于点A，与直线y＝－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.

(1)求过A，B，C三点的抛物线对应的函数表达式．

(2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.

①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．

②若点P的横坐标为t(－1＜t＜1)，当t为何值时，四边形PBQC的面积最大？请说明理由．

答案

一、1．B　2．A　3．C　4．B　5．C　6．A　7．B　8．C　9．B　10．D

11．C　12．B

13．C　点拨：将A(－2，4)的坐标代入y＝ax²，得4＝a×(－2)²，解得a＝1，∴抛物线对应的函数表达式为y＝x².

由题意得OB＝OD＝2，CD∥x轴，

∴点D和点P的纵坐标均为2.

令y＝2，得2＝x²，解得x＝±.

∵点P在第一象限，∴点P的坐标为(，2)，故选C.

14．C　15．A

16．B　点拨：设该抛物线的表达式为y＝ax²，把x＝10，y＝－4代入表达式可得－4＝a×10²，解得a＝－，故此抛物线的表达式为y＝－x².

因为桥下水面宽度不得小于18 m，所以令x＝9，可得y＝－×81＝－3.24.

此时水深6＋4－3.24＝6.76(m)．即桥下水深6.76 m时正好通过，所以超过6.76 m时则不能通过．

二、17．15　

18．x₁＝－1，x₂＝3

19．y＝－x²＋x； cm

点拨：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°.

∴∠1＋∠2＝90°.

∵PE⊥DP，∴∠2＋∠3＝90°.

∴∠1＝∠3.∴△ADP∽△BPE.

∴＝，即＝.

∴y＝－x²＋x，

整理得y＝－(x－5)²＋.

∵0＜x＜10，

∴当x＝5时，y有最大值.

三、20．解：(1)y＝3x²－2x＋4＝3[x²－x＋－]＋4＝3－＋4＝3(x－)²＋.

(2)开口向上，对称轴是直线x＝.

21．解：(1)将点(－1，－5)，(0，1)，(2，1)的坐标代入y＝ax²＋bx＋c，得解得

∴这个二次函数的表达式为y＝－2x²＋4x＋1.

(2)∵y＝－2x²＋4x＋1＝－2(x－1)²＋3，∴图像的顶点坐标为(1，3)．当x＝4时，m＝－2×16＋16＋1＝－15.

22．解：(1)将点A(1，0)的坐标代入y＝(x－2)²＋m，得(1－2)²＋m＝0，

解得m＝－1.

∴二次函数的表达式为y＝(x－2)²－1.

当x＝0时，y＝4－1＝3，

∴C点坐标为(0，3)．

∵点C和点B关于直线x＝2对称，

∴B点坐标为(4，3)．

分别将A(1，0)，B(4，3)的坐标代入y＝kx＋b，得

解得∴一次函数的表达式为y＝x－1.

(2)1≤x≤4.

23．解：(1)∵S_△PBQ＝PB·BQ，

PB＝AB－AP＝(18－2x)cm，

BQ＝x cm，

∴y＝(18－2x)x，

即y＝－x²＋9x(0＜x≤4)．

(2)由(1)知y＝－x²＋9x，

∴y＝－＋.

∴当0＜x≤4时，y随x的增大而增大，

∴当x＝4时，y_最大＝20，即△PBQ的最大面积是20 cm².

24．解：(1)由已知得AD＝ m，

∴窗户的透光面积为×1＝(m²)．

(2)窗户透光面积的最大值变大．

理由：设AB＝x m，

则AD＝m.

∵3－x＞0，且x＞0，

∴0＜x＜.

设窗户透光面积为S m²，由已知得S＝x＝－x²＋3x＝－＋.

∴当x＝时(x＝在0＜x＜的范围内)，S_最大＝＞1.05.

∴与例题比较，窗户透光面积的最大值变大．

25．解：(1)y₂与x之间的函数表达式为y₂＝500＋30x.

(2)依题意，得

解得25≤x≤40.

(3)设这种设备的月利润为w(万元)，则w＝xy₁－y₂＝x(170－2x)－(500＋30x)＝－2x²＋140x－500，

∴w＝－2(x－35)²＋1 950.

∵25<35<40,

∴当x＝35时，w_最大＝1 950.

即当月产量为35套时，这种设备的月利润最大，最大月利润是1 950万元．

26．解：(1)联立

解得

∴B点坐标为(－1，1)．

又C点为B点关于原点的对称点，

∴C点坐标为(1，－1)．

∵直线y＝－2x－1与y轴交于点A，

∴A点坐标为(0，－1)．

设抛物线对应的函数表达式为y＝ax²＋bx＋c，

把A，B，C三点的坐标分别代入，得

解得

∴抛物线对应的函数表达式为y＝x²－x－1.

(2)①当四边形PBQC为菱形时，PQ⊥BC，

∵直线BC对应的函数表达式为y＝－x，

∴直线PQ对应的函数表达式为y＝x.

联立

解得或

∴P点坐标为(1－，1－)或(1＋，1＋)．

②当t＝0时，四边形PBQC的面积最大．理由如下：

如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，过P作x轴的垂线，交直线BC于点E，

则S_{四边形PBQC}＝2S_△PBC＝2×BC·PD＝BC·PD.

∵线段BC的长固定不变，

∴当PD最大时，四边形PBQC的面积最大．又易知∠PED＝∠AOC(固定不变)，

∴当PE最大时，PD也最大．

∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，

∴P点坐标为(t，t²－t－1)，

E点坐标为(t，－t)．

∴PE＝－t－(t²－t－1)＝－t²＋1.

∴当t＝0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．