【331764】第二十八章 锐角三角函数 单元检测卷

第二十八章 锐角三角函数 单元检测卷

得分________　卷后分________　评价________

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．将Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，那么锐角∠A，∠A′的余弦值的关系为(　 　)

A．cosA＝cosA′ B．cosA＝3cosA′ C．3cosA＝cosA′ D．不能确定

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于(　 　)

A．2 B. C. D．24

3．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，1)和点B(3，0)，则sin∠AOB的值等于(　 　)

A. B. C. D.

4．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为(　 　)

A. B. C. D．3

5．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF∶BC＝1∶2，连接DF，EC.若AB＝5，AD＝8，sinB＝，则DF的长等于(　 　)

A. B. C. D．2

6．等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶，则顶角为(　 　)

A．60° B．90° C．120° D．150°

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝.则下列关系式中不成立的是(　 　)

A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA

C．cosA＝cotA·sinA D．tan²A＋cot²A＝1

8．已知α为锐角，且tan²α－(1＋)tanα＋1＝0，则α的度数为(　 　)

A．30° B．45° C．30°或45° D．45°或60°

9．在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，⊙O过点B，C两点，且⊙O半径r＝，则OA的长为(　 　)

A．3或5 B．5 C．4或5 D．4

10．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，则tanB＝(　 　)

A．2 B．2

C. D.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11．计算：2016⁰＋()^－1－2sin60°－|－2|＝____．

12．如图，直径为10的⊙A经过点C(0，6)和点O(0，0)，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为____．

13．如图，一束光线照在坡度1∶的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是____度．

,第12题图)　　 ,第13题图)　

　 ,第14题图)　　 ,第15题图)

14．如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝1，cosB＝，则这个菱形的面积是____．

15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝30°，BC＝2＋，tanB＝，那么AD等于____.

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝，则DE＝____．

17．如图，一船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午八时位于A处，这时灯塔S位于船的北偏东45°的方向，上午九时三十分位于B处，这时灯塔S位于船的北偏东30°处，若继续航行，则灯塔和船之间的最短距离为____海里．

,第16题图)　　　 ,第17题图)　　　 ,第18题图)

18．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC.若BD＝8，AC＝6，∠BOC＝120°，则四边形ABCD的面积为____．(结果保留根号)

三、解答题(共66分)

19．(6分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AC上的一点，∠BDC＝45°，DC＝6，求AB的长．

20．(8分)如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D，B，C在同一水平地面上．

求：改善后滑滑板会加长多少？(精确到0.01米)(参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449)

21．(8分)如图，某水库大坝横断面是等腰梯形，坝高10米，坝顶宽6米，斜坡AB的坡度为1∶2，现要加高2米，在坝顶宽和斜坡坡度不变的情况下，加固一条长为50米的大坝，需要多少土方？

22．(10分)某地发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．(结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7)

23．(10分)某海域有A，B，C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A，B两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B船的北偏东78°方向．

(1)求∠ABC的度数；

(2)A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．(结果精确到0.01小时)．(参考数据：≈1.414，≈1.732)

24．(12分)如图，已知等边△ABC，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD.

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)求FG的长；

(3)求tan∠FGD的值．

25．(12分)如图所示(图①为实景侧视图，图②为安装示意图)，在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD(均与水平面垂直)，再将集热板安装在AD上．为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平面夹角为θ₁，且在水平面上的射影AF为1.4 m，现已测量出屋顶斜坡面与水平面夹角为θ₂，并已知tanθ₁＝1.082，tanθ₂＝0.412.如果安装工人已确定安装支架AB高为25 cm，求支架CD的高．(结果精确到1 cm)

答案

一、选择题

1．A　 2．A　 3．A 4．A 5．C 6．A 7．D 8．C 9．A 10．B　

二、填空题

11．1 12． 13．30 14． 15．1 16． 17．15(3＋) 18．12

三、解答题

19．解：∵∠BCA＝90°，∠BDC＝45°，∴∠DBC＝45°，∴CD＝CB＝6，又∵sinα＝，∴＝，∴AB＝15.

20．解：在Rt△ABC中，∵AB＝5，∠ABC＝45°，∴AC＝ABsin45°＝5×＝.在Rt△ADC中，∠ADC＝30°，∴AD＝＝5≈5×1.414＝7.07，AD－AB＝7.07－5＝2.07(米)．答：改善后滑滑板会加长2.07米.

21．解：i＝1∶2，过A作AH⊥BC于H点，∴＝，∴BH＝20，∴BC＝20×2＋6＝46，∵S_梯形ABCD＝＝260，过E作EM⊥PC于M点，则有：＝，∴PM＝24，∴PC＝24×2＋6＝54，∴S_梯形PEFC＝＝360，∴所需土方数为(360－260)×50＝5 000米³.

22．解：作CD⊥AB交BA延长线于D，设CD＝x米，Rt△ADC中，∠DAC＝25°，所以tan25°＝＝0.5，所以AD＝＝2x，Rt△BDC中，∠DBC＝60°，由tan60°＝＝，解得x≈3米．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米.

23． 解：(1)由题意可知DB∥AE，∠DBA＋∠BAE＝180°，∴∠DBA＝108°，∠CBA＝108°－78°＝30°，∠C＝180°－30°－72°－33°＝45°　(2)过点A作AF⊥BC于点F，＝sin∠CBA＝，∴AF＝AB＝12，在Rt△CFA中，＝sin∠C＝，∴CA＝AF，∴AC＝12，设A船经过t小时到出事地点，则30t＝12，t＝≈0.57(小时)，所以A船经过0.57小时能到出事地点.

24．(1)证明：连接OD（图略），∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，而OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线.

(2)解;∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴BD＝CD＝6，在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9，在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF×sinA＝9×＝.　

(3)解：过D作DH⊥AB于H（图略），∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3，在Rt△AFG中，∵∠AFG＝30°，∴AG＝AF＝，∵GH＝AB－AG－BH＝12－－3＝，∴tan∠GDH＝＝＝，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝.

25．解：如图，过A作AE∥BC，交DC于点E，则∠EAF＝∠CBG＝θ₂，且EC＝AB＝25 cm，在Rt△DAF中，∠DAF＝θ₁，∴DF＝AFtanθ₁.在Rt△EAF中，∠EAF＝θ₂，∴EF＝AFtanθ₂，∴DE＝DF－EF＝AF(tanθ₁－tanθ₂)．又∵AF＝140 cm，tanθ₁＝1.082，tanθ₂＝0.412，∴DE＝140×(1.082－0.412)＝93.8(cm)，∴DC＝DE＋EC＝93.8＋25＝118.8≈119(cm)．答：支架DC的高为119 cm.