【331695】第2章单元检测2

第2章单元检测

一、填空题：

1．如图，A市东偏北60°方向有一旅游景点M，在A市东偏北30°的公路上向前行800米到C处，测得M位于C的北偏西15°，则景点M到公路AC的距离MN为　　米（结果保留根号）．

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【专题】压轴题．

【分析】过点C作CP⊥AM．根据已知可求得各角的度数，从而根据三角函数可求得AM和CP的长，再根据面积公式即可求得MN的长．

【解答】解：过点C作CP⊥AM．

∵AC=800米，∠MAC=30°，∠ACM=180°﹣（90°﹣30°+15°）=105°，

∴∠AMC=45°，

∴CP=PM=400米，AP=400 米，

∴AM=400+400 米，

∵AM•PC=AC•MN，

∴MN=200+200 （米）．

【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

2．如图，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60 m，则点A到对岸BC的距离是　　m．

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【分析】由题意知三角形为直角三角形．可求得AB，AC的长度，再根据面积的两种表示形式可得出A到对岸BC的距离．

【解答】解：由题意可得：∠A=180°﹣45°﹣45°=90°，

AB=AC=BC×sin45°=30 ．

∵面积S= AB×AC= BC×h，

∴h=30．

故点A到对岸BC的距离是30米．

【点评】本题考查解直角三角形的知识，运用面积的两种表达式是解决本题的关键，要熟练掌握这种解题方法．

3．如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡AB的长为　　米（精确到0.1米）．

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【分析】设出垂直高度，表示出水平宽度，利用勾股定理求解即可．

【解答】解：∵背水坡AB的坡度i=1：2，AC=6，

∴BC=12．

根据勾股定理可得：

AB=6 ≈13.4（米）．

【点评】此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直距离：水平距离．综合利用了勾股定理．

4．如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m杆的影子长为2 m，则电线杆的高度约为　　m．（结果保留两位有效数字， ≈1.41， ≈1.73）

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；近似数和有效数字．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】先根据CD的长以及坡角求出落在斜坡上的影长在地面上的实际长度，即可知AB的总影长，然后根据1 m杆的影子长为2 m，求解电线杆的高度．

【解答】解：作DE⊥BC于E．则电线杆的高度分3部分进行求解．

BC对应的电线杆的高度：根据同一时刻物高与影长成比例，得10÷2=5；

在Rt△CDE中，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得DE=2．再根据勾股定理，得CE=2 ；

因为DE⊥BC，则DE对应的电线杆高度和DE相等，CE对应的电线杆高度同样根据：同一时刻物高与影长成比例，

是2 ÷2= ．

故电线杆的高度是5+2+ ≈8.7．

【点评】注意：影子平行于物体时，影子和物体的实际高度相等；影子垂直于物体时，根据同一时刻物高与影长成比例进行计算．

二、选择题（共2小题，每小题3分，满分6分）

5．如图，小强和小明去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60m的A处，用测角仪测得古塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔BE的高为（　　）

A．（20 ﹣1.5）m B．（20 +1.5）m C．31.5m D．28.5m

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】作AC⊥BE于点C．则CE=AD，AC=DE．在直角△ABC中选择适当的三角函数求出BC即可得解．

【解答】解：过点A作AC⊥BE于点C．

根据题意有：AC=DE=60，CE=AD=1.5．

∴BC=AC×tan30°=20 ．

故古塔BE的高为BC+CE=（20 +1.5）m．

故选B．

【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

6．如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO=α，彩电后背AD平行于前沿BC，且与BC的距离为60cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（　　）

A．（60+100sinα）cm B．（60+100cosα）cm

C．（60+100tanα）cm D．以上答案都不对

【考点】解直角三角形的应用．

【专题】应用题；压轴题．

【分析】墙角O到前沿BC的距离OE是O到AD的距离加上AD与BC的距离60cm．

【解答】解：根据直角三角形的边角关系，O到AD的距离=100sinacm．

∵AD与BC的距离60cm．

∴OE=（60+100sina）cm．

故选A．

【点评】本题考查了三角函数定义的应用．

三、解答题（共2小题，满分6分）

7．如图，河流的两岸MN、PQ互相平行，河岸PQ上有一排间隔为50m的电线杆C、D、E…．某人在河岸MN的A处测得∠DAN=38°，然后沿河岸走了120m到达B处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CF．（结果精确到0.1m，参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）

【考点】解直角三角形的应用．

【分析】过点C作CG∥DA交AB于点F，易证四边形AGCD是平行四边形．再在直角△CBF中，利用三角函数求解．

【解答】解：过点C作CG∥DA交AB于点G．

∵MN∥PQ，CG∥DA，

∴四边形AGCD是平行四边形．

∴AG=CD=50m，∠CGB=38°．

∴GB=AB﹣AG=120﹣50=70（m）．

∴tan38°= =0.78，

在Rt△BFC中，

tan70°= =2.75，

∴BF= ，

∴ = =0.78，

解得：CF≈76.2（m）．

答：河流的宽是76.2米．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，不规则图形可以通过作平行线转化为平行四边形与直角三角形的问题进行解决．

8．如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°，已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【专题】应用题．

【分析】首先设AF=x．分析图形：根据题意构造直角三角形，本题涉及到两个直角三角形△AGF、△AEF，应利用其公共边AF构造等量关系，借助GE=CD=EF﹣GF=30，构造方程关系式，进而可求出答案．

【解答】解：设AF=x；

在Rt△AGF中，有GF= = x，

同理在Rt△AEF中，有EF= = x．

结合图形可得：GE=CD=EF﹣GF=30

即 x﹣ x=30，

解可得：x=15 ；故AB=15 +

答：塔高AB为15 + 米．

【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．

二、能力提升

9．如图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．

（1）说明点B是否在暗礁区域内；

（2）若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由．

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【专题】应用题．

【分析】（1）求点B是否在暗礁区域内，其实就是求CB的距离是否大于16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在．可通过构造直角三角形来求CB的长，作CD⊥AB于点D，CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角边，可先求出CD的长，再求出CB的长；

（2）本题实际上是问，C到AB的距离即CD是否大于16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD的值，（1）已经求出，只要进行比较即可．

【解答】解：（1）作CD⊥AB于点D，

设BC为x，

在Rt△BCD中∠CBD=60°，

∴ ．

．

在Rt△ACD中∠CAD=30° ，

∴ ．

∴x=18．

∴B点不在暗礁区域内；

（2）∵ ，

∵ ，

∴若继续向东航行船有触礁的危险．

【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．

10．如图，已知登山缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=47度．小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数）．（以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47°≈0.6820，tan47°≈1.0724）．

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【专题】计算题．

【分析】本题要求的实际是BC和DF的长度，已知了AB、BD都是200米，可在Rt△ABC和Rt△BFD中用α、β的正切函数求出BC、DF的长．

【解答】解：Rt△ABC中，斜边AB=200米，∠α=30°，BC=AB•sinα=200×sin30°=100（米），

Rt△BDF中，斜边BD=200米，∠β=47°，

DF=BD•sinβ=200×sin47°≈146（米），

因此缆车垂直上升的距离应该是BC+DF=246（米）．

答：缆车垂直上升了246米．

【点评】本题的关键是根据所求的线段和已知的条件，正确地选用合适的三角函数进行求解．

11．如图，从一块矩形薄板ABCD上裁下一个工件GEHCPD（阴影部分）．图中EF∥BC，GH∥AB，∠AEG=11°18′，∠PCF=33°42′，AG=2cm，FC=6cm．求工件GEHCPD的面积．（参考数据：tan11°18'≈ ，tan33°42′≈ ）

【考点】解直角三角形的应用．

【专题】计算题．

【分析】工件GEHCPD的面积=矩形面积减去其余三个三角形的面积．其余三角形正好等于矩形面积的一半，只需求得矩形边长即可．

【解答】解：∵∠AEG=11°18′，AG=2cm

∴AE=AG÷tan11°18'≈10

那么DF=10

∵FC=6cm，∠PCF=33°42′

∴PF=FC×tan33°42′≈4

那么CD=DF+FC=16，AD=EP+PF=6

∵△AGE和△DPF底相等，高加到一起是AD

所以是矩形AEFD的一半，同理可得到其余两个三角形是下边矩形的一半．

∴工件GEHCPD的面积=矩形面积÷2=6×16÷2=48．

【点评】解决本题的关键是根据题意得到所求面积与大矩形的关系．

12．如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度i=1： ，斜坡BD的长是50米，在山坡的坡底B处测得铁架顶端A的仰角为45°，在山坡的坡顶D处测得铁架顶端A的仰角为60°．

（1）求小山的高度；

（2）求铁架的高度．（ ≈1.73，精确到0.1米）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【专题】应用题．

【分析】（1）过D作DF垂直于坡底的水平线BC于点F，再由斜坡的坡比的概念，可得坡角为30°；解Rt△DFB可得DF即山高；

（2）首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形Rt△AED与Rt△ACB，解可得AC与BC的大小，再由AC=AE+EC，进而可求出答案．

【解答】解：（1）如图，过D作DF垂直于坡底的水平线BC于点F．

由已知，斜坡的坡比i=1： ，于是tan∠DBC= ，

∴坡角∠DBC=30°．

于是在Rt△DFB中，DF=DBsin30°=25，

即小山高为25米．

（2）设铁架的高AE=x．

在Rt△AED中，已知∠ADE=60°，于是DE= ，

在Rt△ACB中，已知∠ABC=45°，

∵AC=AE+EC=AE+DF=x+25，

又BC=BF+FC=BF+DE=25 x，

由AC=BC，得x+25=25 x．

∴x=25 ≈43.3，即铁架高43.3米．

【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．

13．梅华中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆AB的高度．如图，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆AB的顶端A的影子落在教学楼前的坪地C处，测得影长CE=2m，DE=4m，BD=20m，DE与地面的夹角α=30度．在同一时刻，测得一根长为1m的直立竹竿的影长恰为4m．根据这些数据求旗杆AB的高度．（可能用到的数据： ≈1.414， ≈1.732，结果保留两个有效数字）

【考点】勾股定理的应用．

【专题】应用题．

【分析】根据题意过点C，E分别作CF⊥AB于点F，EH⊥BD的延长线于H，构造出直角三角形，利用勾股定理解答．

【解答】解：如图，过点C，E分别作CF⊥AB于点F，EH⊥BD的延长线于H．

在Rt△DEH中，

∵DE=4m，∠EDH=30°，

∴EH=2m，

DH= =2 m

又∵ =

∴AF= CF= （EF+CE）

= （BD+DH+CE）≈6.2．

∴AB=EH+AF≈8.2（m）．

【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

三、应用与探究

14．高为12米的教学楼ED前有一棵大树AB，如图（a）．

（1）某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2.5米，DF=7.5米，求大树AB的高度；

（2）现有皮尺和高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：

①在图（b）中，画出你设计的测量方案示意图，并将应测量的数据标记在图上（长度用字母m，n …表示，角度用希腊字母α，β …表示）；

②根据你所画出的示意图和标注的数据，求出大树的高度．（用字母表示）

【考点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用．

【专题】应用题；方案型．

【分析】此题考查了学生学以致用的能力，考查了学生利用数学知识解决实际问题的能力；解此题的关键是利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解．解题时还要注意认识图形．

【解答】解：（1）连接AC，EF，则△ABC∽△EDF，

∴ ，（2分）

∴AB=4，

即大树AB高是4米．

（2）解法一：

①如图（b）（标注m，α，画草图也可给相同的分）；（5分）

②在Rt△CMA中，∵AM=CMtanα=mtanα，（6分）

∴AB=mtanα+h．（7分）

解法二：

①如图（c）（标注m，α，β，画草图也可给相同的分）；（5分）

②AMcotα﹣AMcotβ=m，

∴AM= ，（6分）

∴AB= ．（7分）

【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出树的高度，体现了方程的思想．还要注意学以致用，注意知识的积累．