【331683】第1章 二次函数

二次函数

二次函数及其图像

二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为y=ax²+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

一般式　　y=ax²+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(b2-4ac)/4a) ；

顶点式

　　y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)或y=a(x-h)^２+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（h，k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax^２的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；

交点式

　　y=a(x-x₁)(x-x₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）的抛物线] ；

　　重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的平方的图像，

　　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像

如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。

　轴对称

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

顶点

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b²)/4a )

　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P在x轴上。

开口

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

决定对称轴位置的因素

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

　　可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时

　　（即ab＜ 0 ），对称轴在y轴右。

　　事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的

　　斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

决定抛物线与y轴交点的因素

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于（0，c）

抛物线与x轴交点个数

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ= b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 　　Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　Δ= b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

　　当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值,当a<0时，函数在x= -b/2a处取得最大值

　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，

　　7.特殊值的形式

　　①当x=１时 y=a+b+c 　　②当x=-1时 y=a-b+c 　　③当x=2时 y=4a+2b+c

　　④当x=-2时 y=4a-2b+c

用函数观点看一元二次方程

1. 如果抛物线 与x轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当 时，函数的值是0，因此 就是方程 的一个根。

2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

实际问题与二次函数

在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。