【331680】第1单元检测卷3

图形的相似 全章测试

（时间90分钟，满分120分）

1. 填空题（每小题3分，共30分）

1、如图1，在△ABC中，AB：DB=1：2，DE∥BC，若△ABC的面积为9，则四边形DBCE的面积为 。

2、由三角形三边中位线所围成的三角形的面积是原三角形面积的 。

3、图2中，x= 。

2

4、在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中点，过D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有 条。

5、已知M是线段AB延长线上的一点，且AM：BM=7：3，那么AM：AB= 。

6、雨后天晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m远处的一块小积水里，他看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m，该学生的眼部高度为1.5m，那么旗杆的高为 。

7、已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是 和 。

8、如图3，已知在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，四边形EFDH为内接正方形，则AE：AB= 。

9、如果点C是线段AB靠近B的黄金分割点，且AC=2，那么AB= 。

10、如图4，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为 cm²。

2. 选择题(每小题4分，共40分)

11、如图5，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸上的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（ ）

A、F B、G C、H D、K

图5

12、已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（ ）

A、1：2 B、1：4 C、2：1 D、4：1

13、（天津中考）如图6，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形（ ）

1. 4 对 B、5对 C、6对 D、7对

14、已知 = = ，且a-b+c=10，则a+b-c的值为（ ）

A、6 B、5 C、4 D、3

15、两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是78cm²，则较大的五边形面积是（ ）cm²。

A、44.8 B、52 C、54 D、42

16、如图7所示，它是小孔成像的原理，根据图中尺寸(AB∥CD)，如果已知物体AB=30，则CD的长应是（ ）

A、15 B、30 C、20 D、10

12

36

17、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：100和1：500，那么甲地图与乙地图表示这一地块的三角形的面积之比是（ ）

A、25：1 B、5：1 C、1：25 D、1：5

18. 如图8，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD= ，则△ABC

的 边长是（ ）

A、3 B、4 C、5 D、6

19、一个钢筋三角架三边长分别为20cm、50cm、60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（ ）种

1. 一 B、二 C、三 D、四

2 0、如图9，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于（ ）

A、 B、 C、 D、

3. 解答题（每小题7分，共35分）

21、（1）若 = ，判断代数式 - +1值的符号

（2）若 = = ，求 的值。

22、已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB：BC：CD：DA=20：15：9：8，四边形A′B′C′D′的周长为26，求四边形A′B′C′D′各边的长。

23、如图10，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD等于2m的标杆，现测量者从E处可以看到标杆顶点C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD=20m，FD=4m，EF=1.8m，求树高。

24、如图11，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C

1. 求证：△ABF∽△EAD

2. 若 AB=4，S _ABCD= ，求AE的长

3. 在（1）、（2）条件下，若AD=3，求BF的长（计算结果可含根号）

25、如图12，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45°

1. 求证：△ABD∽△DCE

2. 设BD=x，AE=y，求y与x的函数关系式

四、拓广探索题（共15分）

26、（7分）已知，如图13，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明 + = 成立，若将图13中的垂直改为斜交，如图14，AB∥CD，AB与BC交于点E，过点E作EF∥AB交BD于F，则

1. + = 还成立吗？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由。

2. 请找出S_△ABC，S_△BED和S_△BDC间的关系，并给出证明。

27、（8分）若矩形的一个短边与长边的比值为 ，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形

1. 操作：请你在如图15所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD。

2. 探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由。

3. 归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明）

参考答案

1. 填空题

1～10 8 2 4 7：4 30 5，20 1+ 30

提示：4、如图1，过D分别作BC、AB的平分线有两条，另外，作∠ADE=∠ABC又一条，作∠CDF=∠ABC又一条，共4条

8、 = = = =

9、∵ = = ，又∵ =

∴ = ∴BC= -1 ∴AB=2+ -1=1+

10、如题图：EF=DE=8-3=5 ∵EC=3，∴FC=4，易证△ABF∽△EFC

∴BF：3=8：4 BF=6

∴S_阴影= ·6·8+ ·4·3=30

2. 选择题

11～20 CACAC DAABC

提示：18、∵△ABC为等边三角形 ∴∠B=∠C=60°，又∠APD=60°

∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPD=120°，∴∠BAP=∠DPC，∴△APB∽△PCD

∴ ：1=（AB-1）：AB ∴AB=3

20、∵AE²+EF²=4²+3²=5²=AF²

∴∠AEF=90°，∴易证△ABE∽△EFC ∴AB：EC=4：3 设AB=x

x：（x- ）=4：3 ∴x²=

3. 解答题

21、解：（1）设 = =k，则a=bk，c=dk，代入，得，求值式= - +1=k-k+1=1＞0，故所求式的符号为正

（2）当a+b+c≠0时，因为abc≠0，所以由等比性质得： = = = 所以a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b，代入得，求式= =8

当a+b+c=0，a+b=--c，b+c=-a，c+a=-b，代入所求式= =-1

22、解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB：BC：CD：DA=20：15：9：8，

∴A′B′：B′C′：C′D′：D′A′=20：15：9：8

设A′B′=20x，B′C′=15x，C′D′=9x，D′A′=8x，由四边形A′B′C′D′的周长为26，得20x+15x+9x+8x=26，解得x=

∴A′B′=10，B′C′=7.5，C′D′=4.5，D′A′=4

23、解：如图2，过E作EN⊥AB，交AB于N点交CD于M点，由题意知，MN=BD=20，EM=FD=4，MB=MD=EF=1.8，则CM=0.2

由 CM∥AN，得△ECM∽△EAN

∴CM：AN=EM：EN

∴AN= =1.2

∴AB=AN+NB=1.2+1.8=3

所以树高为3m

24、证明：（1）∵四边形ABCD

为平行四边形，∴∠BAF=∠AED

∠C+∠D=180°，∴∠C=∠BFE，∠BFE+∠BFA=180°，∴∠D=∠BFA

∴△ABF∽△EAD

（ 2）解：∵S _ABCD= ，∴AB·BE= ，∵AB=4

∴BE= ∴AE²=AB²+BE²=4²+（ ）² AE=

（3）解：由（1）有 = ，又AD=3，∴BF= =4×3× =

25、（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°

∴∠ADB+∠DAB=135°，∵∠ADE=45°，∴∠ADB+∠EDC=135°

∴∠DAB=∠EDC，∴△ABD∽△DCE

(2)解：∵△ABD∽△DCE，∴ =

∴AB=AC=1，∠BAC=90°，

∴BC= ，CD= -x，

∴ = ∴CE= x-x²

∴AE=AC-CE=1-（ x-x²）=x²- x+1

即y=x²- x+1（0＜x＜ ）

4. 拓广探索题

26、（1）解：成立，证明如下

由AB∥EF∥CD得， = ， =

两式相加，得 + = + = = =1

∴EF·CD+EF·AB=AB·CD，两边同除以AB·CD·EF得

+ =

（2）解： + =

证明如下：作AG⊥BD于G，EH⊥BD于H，CK⊥BD交BD延长线于k，由平行线性质得：

= = ， = =

所以 + =1，∴ + =

∴ + =

27、解（1）以AD为边可作出两个正方形AEFD与AE′F′D′（AB＞AD），如图4所示

（2）矩形EBCF不是黄金矩形，理由如下：

设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，

由ABCD为黄金矩形，得 =

∴ = = ÷（1+ ）= ÷（1+ ）= ≠

∴矩形EBCF不是黄金矩形

矩形E′BCF′是黄金矩形

证明：如图4，∵ = =（1- ）÷ =（1- ）÷ =

∴E′BCF′是黄金矩形

（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形。