【331654】初中数学青岛九上期末数学试卷

期末数学试卷

一．选择题

1．下列哪个方程是一元二次方程（　　）

A．2x+y＝1 B．x²+1＝2xy C．x²+ ＝3 D．x²＝2x﹣3

2．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（　　）

A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元

3．把一元二次方程（x+3）（x﹣5）＝2化成一般形式，得（　　）

A．x²+2x﹣17＝0 B．x²﹣8x﹣17＝0 C．x²﹣2x＝17 D．x²﹣2x﹣17＝0

4．sin60°+tan45°的值等于（　　）

A． B． C． D．1

5．已知⊙P的半径为5，点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（0，6），则点Q与⊙P的位置关系是（　　）

A．点Q在⊙P外 B．点Q在⊙P上 C．点Q在⊙P内 D．不能确定

6．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是（　　）

A． B． C． D．

7．已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（　　）

A．90 B．180 C．270 D．3600

8．一元二次方程x²+6x+9＝0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

9．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为 的中点，AC交OD于点E，OB＝2，则AE的长为（　　）

A． B． C． D．

10．已知一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）

①若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；

②b＞a+c，则一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个不相等的实数根；

③若b＝2a+3c，则一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个不相等的实数根；

④若m是方程ax²+bx+c＝0的一个根，则一定有b²﹣4ac＝（2am+b）²成立

其中正确的是（　　）

A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有①②③④ D．只有①④

11．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，tanC＝2，BD⊥AC于点D，点G是底边BC上一点，过点G向两腰作垂线段，垂足分别为E、F，若BD＝4，GE＝1.5，则BF的长度为（　　）

A．0.75 B．0.8 C．1.25 D．1.35

12．如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心作⊙A、⊙B、⊙C，且半径都是0.5cm，则图中三个阴影部分面积之和等于（　　）

A． cm² B． cm² C． cm² D． cm²

二．填空题

13．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（ ﹣cosB）²＝0，则∠C＝　 　°．

14．已知⊙O的半径为3cm，点A、B、C是直线l上的三个点，点A、B、C到圆心O的距离分别为2cm，3cm，5cm，则直线l与⊙O的位置是　 　．

15．一个等边三角形边长的数值是方程x²﹣3x﹣10＝0的根，那么这个三角形的周长为　 　．

16．两个相似三角形的相似比为2：3，他们的周长差为30，则较大三角形的周长为　 　．

17．如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为　 　．

三．解答题

18．计算

（1）2sin30°﹣tan60°+tan45°；

（2） tan²45°+sin²30°﹣3cos²30°

19．用适当的方法解下列方程：

（1）（x﹣2）²﹣16＝0

（2）5x²+2x﹣1＝0．

20．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．

（1）求证：△ADE∽△ACB；

（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．

21．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝ ，cosC＝ ，AC＝ ．求：（1）BC的长；（2）∠ADC的正弦值．

22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，M是OA上一点，过M作AB的垂线交BC的延长线于点E，点F是ME上的一点，且EF＝CF．

（1）求证：直线CF是⊙O的切线；

（2）若∠B＝2∠A，AB＝8，且AC＝CE，求BM的长．

23．已知关于x的方程x²﹣2（m+1）x+m²+2＝0．

（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；

（2）若两实数根x₁、x₂满足（x₁+1）（x₂+1）＝8，求m的值．

24．如图是小明设计利用光线来测量某古城墙CD高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离PD＝12米，镜子P与小明的距离BP＝1.5米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明眼睛距地面的高度AB＝1.2米，那么该古城墙的高度是？

25．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长 米，HF长 米，HE长1米．

（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．

（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）

26．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC＝BC，直线DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．

（1）求证：CD＝CE；

（2）若AC＝2，∠E＝30°，求阴影部分（弓形）面积．

27．庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．

（1）求该种植户每年投资的增长率；

（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．

　

参考答案

一．选择题

1．解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；

B、不是一元二次方程，故此选项错误；

C、不是一元二次方程，故此选项错误；

D、是一元二次方程，故此选项正确；

故选：D．

2．解：3m×2m＝6m²，

∴长方形广告牌的成本是120÷6＝20元/m²，

将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，

则面积扩大为原来的9倍，

∴扩大后长方形广告牌的面积＝9×6＝54m²，

∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20＝1080m²，

故选：C．

3．解：（x+3）（x﹣5）＝2，

去括号得：x²﹣5x+3x﹣15＝2，

移项得：x²﹣5x+3x﹣15﹣2＝0，

合并同类项得：x²﹣2x﹣17＝0，

故选：D．

4．解：sin60°+tan45°

＝ +1

＝ ．

故选：B．

5．解：∵点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（0，6），

∴QP＝ ＝ ＞5，

∴点Q与⊙P的位置关系是：点Q在圆⊙P外．

故选：A．

6．解：sinA＝ ＝ ，

故选：A．

7．解：∵两个相似三角形的一组对应高的长分别为15，5，

∴两三角形的相似比为3：1，

∴其面积比为3²：1²＝9：1，

∴设两相似三角形的面积分别为9x和x，

根据题意列方程得，9x﹣x＝80，

x＝10．

则较大正六边形的面积为90，

故选：A．

8．解：∵△＝6²﹣4×1×9＝0，

∴一元二次方程x²+6x+9＝有两个相等的实数根．

故选：A．

9．解：连接OC．

∵ ＝ ，

∴∠DOC＝∠BOC＝60°，

∴∠AOD＝60°，

∴∠AOD＝∠DOC，

∴ ＝ ，

∴OD⊥AC，

∴∠AEO＝90°，

∴AE＝AO•sin60°＝ ，

故选：A．

10．解：若方程两根为﹣1和2，则 ＝﹣1×2＝﹣2，即c＝﹣2a，2a+c＝2a﹣2a＝0，故①正确；

若b＞a+c，设a＝4，b＝10，c＝5，则△＜0，一元二次方程ax²+bx+c＝0没有实数根，故②错误；

若b＝2a+3c，则△＝b²﹣4ac＝4（a+c）²+5c²＞0，一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故③正确．

若m是方程ax²+bx+c＝0的一个根，所以有am²+bm+c＝0，即am²＝﹣（bm+c），

而（2am+b）²＝4a²m²+4abm+b²

＝4a[﹣（bm+c）]+4abm+b²

＝4abm﹣4abm﹣4ac+b²

＝b²﹣4ac．故④正确；

故选：B．

11．解：连接AG，

∵S_△CGA+S_△BGA＝S_△ABC，

∴ + ＝ ×AC×BD，

∵AC＝AB，

∴GE+GF＝BD，

∵BD＝4，GE＝1.5，

∴GF＝2.5，

∵tanC＝2＝ ，BD＝4，

∴CD＝2，

由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝2 ，

∵EG⊥AC，BD⊥AC，

∴EG∥BD，

∴△CEG∽△CDB，

∴ ＝ ，

∴ ＝ ，

解得：BG＝ ，

在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG²＝BF²+GF²，

（ ）²＝BF²+2.5²，

解得：BF＝1.25（负数舍去），

故选：C．

12．解：∵⊙A、⊙B、⊙C的半径都是0.5，扇形的三个圆心角正好构成三角形的三个内角，

∴阴影部分扇形的圆心角度数为180°，

∴S_阴影＝ ＝ ．

故选：B．

二．填空题

13．解：由题意得，tanA＝1，cosB＝ ，

则∠A＝45°，∠B＝60°，

则∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．

故答案为：75．

14．解：因为⊙O的半径为3cm，点A、B、C到圆心O的距离分别为2cm，3cm，5cm，

2cm＜3cm，

所以直线l与⊙O的位置是相交；

故答案为：相交．

15．解：x²﹣3x﹣10＝0，

（x﹣5）（x+2）＝0，

即x﹣5＝0或x+2＝0，

∴x₁＝5，x₂＝﹣2．

因为方程x²﹣3x﹣10＝0的根是等边三角形的边长，

所以等边三角形的边长为5．

所以该三角形的周长为：5×3＝15．

故答案为：15．

16．解：设较大三角形的周长是3x，较小三角形的周长是2x，则3x﹣2x＝30，

解得x＝30，那么较大三角形的周长是3x＝90，

故答案为：90．

17．解：过点O作OH⊥AB与点H，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠CAB＝60°，

∵O为三角形外心，

∴∠OAH＝30°，

∴OH＝ OA＝1，

故答案为：1

三．解答题

18．解：（1）2sin30°﹣tan60°+tan45°

＝2× ﹣ +1

＝2﹣ ；

（2） tan²45°+sin²30°﹣3cos²30°

＝ ×1²+（ ）²﹣3×（ ）²

＝ + ﹣

＝﹣ ．

19．解：（1）∵（x﹣2）²﹣16＝0，

∴（x﹣2）²＝16，

∴x﹣2＝4或x﹣2＝﹣4，

解得：x₁＝﹣2，x₂＝6；

（2）∵a＝5，b＝2，c＝﹣1，

∴△＝2²﹣4×5×（﹣1）＝24＞0，

则x＝ ＝ ，

即x₁＝ ，x₂＝ ．

20．解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，

∴△ADE∽△ACB；

（2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB，

∴ ＝ ，

∵点E是AC的中点，设AE＝x，

∴AC＝2AE＝2x，

∵AD＝8，AB＝10，

∴ ＝ ，

解得：x＝2 ，

∴AE＝2 ．

21．解：（1）如图，作AH⊥BC于H．

在Rt△ACH中，∵cosC＝ ＝ ，AC＝ ，

∴CH＝1，AH＝ ＝1，

在Rt△ABH中，∵tanB＝ ＝ ，

∴BH＝5，

∴BC＝BH+CH＝6．

（2）∵BD＝CD，

∴CD＝3，DH＝2，AD＝ ＝

在Rt△ADH中，sin∠ADH＝ ＝ ．

∴∠ADC的正弦值为 ．

22．（1）证明：如图，连接OC，设EM交AC于H．

∵AB是直径，

∴∠ACB＝∠ACE＝90°，

∵FE＝FC，

∴∠E＝∠FCE，

∴∠E+∠CHE＝90°，∠FCE+∠FCH＝90°，

∴∠FCH＝∠FHC，

∵∠A+∠AHM＝90°，∠AHM＝∠FHC＝∠FCH，

∴∠FCH+∠A＝90°，

∵OC＝OA，

∴∠A＝∠OCA，

∴∠FCH+∠OCA＝90°，

∴∠FCO＝90°，

∴FC⊥OC，

∴CF是⊙O的切线．

（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝8，∠B＝2∠A

∴∠A＝30°，

∴BC＝ AB＝4，AC＝ BC＝4 ，

∵AC＝CE，

∴CE＝4 ，

∴BE＝BC+CE＝4+4 ，

在Rt△BEM中，∠BME＝90°，∠E＝30°

∴BM＝ BE＝2+2 ．

23．解：（1）∵关于x的方程x²﹣2（m+1）x+m²+2＝0总有两个实数根，

∴△＝[﹣2（m+1）]²﹣4（m²+2）＝8m﹣4≥0，

解得：m≥ ．

（2）∵x₁、x₂为方程x²﹣2（m+1）x+m²+2＝0的两个根，

∴x₁+x₂＝2（m+1），x₁x₂＝m²+2．

∵（x₁+1）（x₂+1）＝8，

∴x₁x₂+（x₁+x₂）+1＝8，

∴m²+2+2（m+1）+1＝8，

整理，得：m²+2m﹣3＝0，即（m+3）（m﹣1）＝0，

解得：m₁＝﹣3（不合题意，舍去），m₂＝1，

∴m的值为1．

24．解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，

∴△ABP∽△CDP

∴ ＝ ，

即： ＝ ，

解得：PD＝9.6（米）．

答：该古城墙的高度是9.6m．

25．解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝ ＝ ，

∴∠FHE＝45°，

答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；

（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，

则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，

∴GM＝AB，HN＝EG，

在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝ ，

∴AB＝BCtan60°＝1× ＝ ，

∴GM＝AB＝ ，

在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，

∴HN＝AHsin45°＝ × ＝ ，

∴EM＝EG+GM＝ + ，

答：篮板底部点E到地面的距离是（ + ）米．

26．（1）证明：∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵DC＝BC，

∴AD＝AB，

∴∠D＝∠ABC，

∵∠E＝∠ABC，

∴∠E＝∠D，

∴CD＝CE．

（2）解：由（1）可知：∠ABC＝∠E＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝4，

在Rt△ABC中，由勾股定理得到BC＝2 ，

连接OC，则∠COB＝120°，

∴S_阴＝S_扇形OBC﹣S_△OBC＝ ﹣ × × ×2＝ ﹣ ．

27．解：（1）设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x，则2017年种植投资为 20（1+x）万元，2018年种植投资为20（1+x）²万元，

根题意得：20+20（1+x）+20（1+x）²＝95，

解得：x＝﹣3.5（舍去）或x＝0.5＝50%．

∴该种植户每年投资的增长率为50%；

（2）2019年该种植户投资额为：20（1+50%）³＝67.5（万元）．