【331648】北师大版数学九年级上册第一章达标检测卷

第一章达标检测卷

一、选择题(每题3分，共30分)

1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是(　　)

A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等

C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分

2．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于(　　)

A．20 B．15 C．10 D．5

3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的(　　)

A. B. C. D.

4．如图，菱形ABCD的周长为24 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于(　　)

A．3 cm B．4 cm C．2.5 cm D．2 cm

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为(　　)

A．3 B．2 C. D．3

6．顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是(　　)

A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形

C．矩形 D．对角线相等的四边形

7．如图，把一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为(　　)

A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°

8．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，则∠EAF等于(　　)

A．75° B．45° C．60° D．30°

9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是(　　)

A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 D．AF＝EF

10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S_△CEF＝2S_△ABE.其中正确结论有(　　)

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题(每题3分，共24分)

11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等．

12．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为________．

13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．

14．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE＝4，则线段BE的长为________．

15．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，)，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→……的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2 023 s时，点P的坐标为________．

16．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝4.设AB＝x，AD＝y，则x²＋(y－4)²的值为________．

17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为AD的中点，点F为BC边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG＋FH＝________.

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形的对角线交于点O，连接OC.已知AC＝5，OC＝6，则另一直角边BC的长为________．

三、解答题(19，20题每题9分，21题 10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)

19．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F.

求证：DE＝DF.

20．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.

(1)求证：四边形OCED是矩形；

(2)若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．

21．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.

(1)求证：BD＝BE；

(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积．

22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.

(1)求证：△DCE≌△BFE；

(2)若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．

23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连接EF.

(1)求证：BE＝CF.

(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．

24．在正方形ABCD的外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.

(1)依题意补全图①；

(2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；

(3)如图②，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，EF，FD之间的数量关系，并给出证明．

答案

一、1.D　2.B　3.B

4．A　点拨：∵菱形ABCD的周长为24 cm，

∴AB＝24÷4＝6 (cm)，OB＝OD.

又∵E为AD的中点，

∴OE是△ABD的中位线．

∴OE＝AB＝×6＝3 (cm)．

故选A.

5．D　6.D　7.D　8.C

9．D　点拨：如图，由折叠的性质得∠1＝∠2.

∵AD∥BC，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.

∴AE＝AF.故选项A正确．

由折叠的性质得CD＝AG，∠D＝∠G＝90°.

∵AB＝CD，∴AB＝AG.

又∵AE＝AF，∠B＝90°，

∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL)．

故选项B正确．

设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x.

又∵AG＝AB＝4，

∴在Rt△AGF中，根据勾股定理得(8－x)²＝4²＋x².

解得x＝3.∴AF＝8－x＝5.

则AE＝AF＝5，

∴BE＝＝＝3.

过点F作FM⊥BC于点M，则FM＝4，EM＝5－3＝2.

在Rt△EFM中，根据勾股定理得EF＝＝＝＝2，则选项C正确．

∵AF＝5，EF＝2，∴AF≠EF.故选项D错误．

10．C　点拨：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，

∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°.

∵△AEF是等边三角形，

∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°.

∴∠BAE＋∠DAF＝30°.

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)．

∴BE＝DF(故①正确)，

∠BAE＝∠DAF.

∴∠DAF＋∠DAF＝30°，即∠DAF＝15°(故②正确)．

∵BC＝CD，

∴BC－BE＝CD－DF，即CE＝CF，

又∵AE＝AF，

∴AC垂直平分EF(故③正确)．

设EC＝x，由勾股定理，得EF＝AE＝x，∴EG＝CG＝x.∴AG＝x.

∴AC＝.

∴AB＝BC＝.

∴BE＝－x＝.∴BE＋DF＝x－x≠x(故④错误)．

易知S_△CEF＝，S_△ABE＝＝，

∴2S_△ABE＝＝S_△CEF(故⑤正确)．综上所述，正确的有4个．

二、11.90°　12.16　13.2.5

14．2　点拨：设正方形的边长为a，∵S_△ABE＝18，

∴S_{正方形ABCD}＝2S_△ABE＝36，

∴a²＝36.∵a＞0，∴a＝6.

在Rt△BCE中，

∵BC＝6，CE＝4，∠C＝90°，

∴BE＝＝＝2.

15.

16．16　点拨：∵四边形ABCD是矩形，AB＝x，AD＝y，∴CD＝AB＝x，BC＝AD＝y，∠BCD＝90°.又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF＝4，∴BF＝DF＝EF＝4，∴CF＝4－BC＝4－y.在Rt△DCF中，DC²＋CF²＝DF²，即x²＋(4－y)²＝4²＝16.∴x²＋(y－4)²＝16.

17.　点拨：如图，连接EF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝2，

∠A＝∠D＝90°.

∵点E为AD的中点，∴AE＝DE＝1，

∴BE＝＝＝，CE＝＝＝，

∴CE＝BE.

∵S_△BCE＝S_△BEF＋S_△CEF，

∴BC·AB＝BE·FG＋CE·FH，∴BC·AB＝BE(FG＋FH)，即2×3＝(FG＋FH)，

解得FG＋FH＝.

18．7　点拨：如图，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M，过点O作ON⊥BC于点N，易证△OMA≌△ONB，CN＝OM，∴OM＝ON，MA＝NB.

又∵∠ACB＝90°，∠OMA＝∠ONB＝90°，OM＝ON，

∴四边形OMCN是正方形．

∴△OCM为等腰直角三角形．

∵OC＝6，∴CM＝OM＝6.

∴MA＝CM－AC＝6－5＝1.

∴BC＝CN＋NB＝OM＋MA＝6＋1＝7.

故答案为7.

三、19.证明：连接DB.∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC.

又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF.

20．(1)证明：∵CE∥OD，DE∥AC，

∴四边形OCED是平行四边形．

又∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，

∴四边形OCED是矩形．

(2)解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，

∴AB＝BC＝CD＝4.

又∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC＝4，∴OC＝AC＝2，

∴OD＝＝2，

∴矩形OCED的面积是2×2＝4.

21．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，AB∥CD.

又∵BE∥AC，E在DC的延长线上．

∴四边形ABEC是平行四边形，

∴AC＝BE，∴BD＝BE.

(2)解：如图，过点O作OF⊥CD于点F.

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BCD＝90°，

∴∠BCE＝90°.

在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC＝8.∵BE＝BD，∠BCD＝90°，

∴CD＝CE＝6，

∴DE＝12.

∵OD＝OC，OF⊥CD，

∴CF＝DF.

又OB＝OD，

∴OF为△BCD的中位线，

∴OF＝BC＝4，

∴S_△ODE＝DE·OF＝×12×4＝24.

22．(1)证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，

∴∠ADB＝∠DBC.

根据折叠的性质得∠ADB＝∠FDB，∠F＝∠A＝90°，

∴∠DBC＝∠FDB，∠C＝∠F.

∴BE＝DE.

在△DCE和△BFE中，

∴△DCE≌△BFE.

(2)解：在Rt△BCD中，

∵CD＝2，∠DBC＝∠ADB＝30°，

∴BD＝4.∴BC＝2.

在Rt△ECD中，易得∠EDC＝30°.

∴DE＝2EC.

∴(2EC)²－EC²＝CD².

又∵CD＝2，∴CE＝.

∴BE＝BC－EC＝.

23．(1)证明：如图，连接AC.

∵四边形ABCD为菱形，

∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAC＝∠DAC＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，

∴∠ABE＝∠ACF＝60°，AB＝AC，

∠1＋∠2＝60°.

∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，

∴∠1＝∠3.

∴△ABE≌△ACF.

∴BE＝CF.

(2)解：四边形AECF的面积不变．

由(1)知△ABE≌△ACF，

则S_△ABE＝S_△ACF，

故S_{四边形AECF}＝S_△AEC＋S_△ACF＝S_△AEC＋S_△ABE＝S_△ABC.

如图，过点A作AM⊥BC于点M，则BM＝MC＝2，

∴AM＝＝＝2.

∴S_△ABC＝BC·AM＝×4×2＝4.故S_{四边形AECF}＝4.

24．解：(1)如图①.

(2)如图②，连接AE，∵点E是点B关于直线AP的对称点，

∴∠PAE＝∠PAB＝20°，AE＝AB.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AE＝AB＝AD，∠BAD＝90°.

∴∠AED＝∠ADE，∠EAD＝∠DAB＋∠BAP＋∠PAE＝130°.

∴∠ADF＝＝25°.

(3)EF²＋FD²＝2AB².

证明如下：如图③，连接AE，BF，BD，由轴对称和正方形的性质可得，EF＝BF，AE＝AB＝AD，易得∠ABF＝∠AEF＝∠ADF.∵∠BAD＝90°，

∴∠ABF＋∠FBD＋∠ADB＝90°.

∴∠ADF＋∠ADB＋∠FBD＝90°.

∴∠BFD＝90°.在Rt△BFD中，由勾股定理得BF²＋FD²＝BD².

在Rt△ABD中，由勾股定理得BD²＝AB²＋AD²＝2AB²，

∴EF²＋FD²＝2AB².