【331643】北师大版九上期中卷（1）

北师九年级（上）期中数学试卷

一．选择题（共12小题）

1．（2018•十堰）菱形不具备的性质是（　　）

A．四条边都相等 B．对角线一定相等

C．是轴对称图形 D．是中心对称图形

2．（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）

A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC

3．解一元二次方程x²﹣8x﹣5=0，用配方法可变形为（　　）

A．（x+4）²=11 B．（x﹣4）²=11 C．（x+4）²=21 D．（x﹣4）²=21

4．若x₀是方程ax²+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax₀+1）²，则M与N的大小关系正确的为（　　）

A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定

5．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（　　）

A．10 B．14 C．16 D．40

6．已知 = ，那么下列等式中一定正确的是（　　）

A． = B． = C． = D． =

7．如图，在△ABC中，DE∥BC，若 = ，则 =（　　）

A． B． C． D．

8．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为 ，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　）

A． B． C． D．

9．若关于x的一元二次方程x²﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

10．a，b，c为常数，且（a﹣c）²＞a²+c²，则关于x的方程ax²+bx+c=0根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．无实数根 D．有一根为0

11．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2 ，DE=2，则四边形OCED的面积（　　）

A．2 B．4 C．4 D．8

12．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（　　）

A． B． C． D．

二．填空题（共4小题）

13．如果关于x的方程x²﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是　　．

14．下列各组的两个图形：

①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．

其中一定相似的是　　（只填序号）

15．如图，身高为1.6米的小华站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为　　米．

16．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE= ．则四边形ABFE′的面积是　　．

三．解答题（共6小题）

17．已知关于x的方程x²+mx+m﹣2=0．

（1）若此方程的一个根为1，求m的值；

（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．

18．如图，BD∥AC，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC， = ，OB=4，求AO和AB的长．

19．一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．

（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？

（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是　　；

（3）当n=2时，先从袋中任意摸出1个球不放回，再从袋中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法，求两次都摸到白球的概率．

20．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连接BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．

【考点】矩形的性质．

【专题】矩形 菱形 正方形．

【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；

（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．

21．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC= ，在AC边上截取AD=BC，连接BD．

（1）通过计算，判断AD²与AC•CD的大小关系；

（2）求∠ABD的度数．

22．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种商品每次降价的百分率；

（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？

　

参考答案

一．选择题（共12小题）

1．（2018•十堰）菱形不具备的性质是（　　）

A．四条边都相等 B．对角线一定相等

C．是轴对称图形 D．是中心对称图形

【考点】菱形的性质．

【分析】根据菱形的性质即可判断；

【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，

故选：B．

【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基础题．

2．（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）

A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC

【考点】L5：平行四边形的性质；LC：矩形的判定．菁优网版权所有

【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．

【解答】解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；

B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；

C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；

D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；

故选：B．

【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．

3．（2017•郑州一模）解一元二次方程x²﹣8x﹣5=0，用配方法可变形为（　　）

A．（x+4）²=11 B．（x﹣4）²=11 C．（x+4）²=21 D．（x﹣4）²=21

【考点】配方法．

【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方可得．

【解答】解：∵x²﹣8x=5，

∴x²﹣8x+16=5+16，即（x﹣4）²=21，

故选：D．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

　

4．若x₀是方程ax²+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax₀+1）²，则M与N的大小关系正确的为（　　）

A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定

【考点】一元二次方程的解．

【分析】把x₀代入方程ax²+2x+c=0得ax₀²+2x₀=﹣c，作差法比较可得．

【解答】解：∵x₀是方程ax²+2x+c=0（a≠0）的一个根，

∴ax₀²+2x₀+c=0，即ax₀²+2x₀=﹣c，

则N﹣M=（ax₀+1）²﹣（1﹣ac）

=a²x₀²+2ax₀+1﹣1+ac

=a（ax₀²+2x₀）+ac

=﹣ac+ac

=0，

∴M=N，

故选：B．

【点评】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．

　

5．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（　　）

A．10 B．14 C．16 D．40

【考点】利用频率估计概率．

【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4，

∴ =0.4，

解得：n=10．

故选A．

【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．

　

6．已知 = ，那么下列等式中一定正确的是（　　）

A． = B． = C． = D． =

【考点】比例的性质．

【专题】计算题．

【分析】利用比例的性质由 = 得2x=3y，然后再根据比例的性质变形四个比例式，若结果为2x=3y可判断其正确；否则判断其错误．

【解答】解：A、3x•2=9y，则2x=3y，所以A选项正确；

B、5（x+3）=6（y+3），则5x﹣6y=3，所以B选项错误；

C、2y（x﹣3）=3x（y﹣2），则xy﹣6x+6y=0，所以C选项错误；

D、2（x+y）=5x，则3x=2y，所以D选项错误．

故选A．

【点评】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．

7．如图，在△ABC中，DE∥BC，若 = ，则 =（　　）

A． B． C． D．

【考点】平行线分线段成比例．

【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．

【解答】解：∵DE∥BC，

∴ = = ，

故选C．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．

　

8．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为 ，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　）

A． B． C． D．

【考点】相似三角形的性质．

【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答．

【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为 ，

∴△ABC与△DEF对应中线的比为 ，

故选：A．

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．

　

9．若关于x的一元二次方程x²﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

【考点】一元二次方程根的判别式．

【分析】根据一元二次方程x²﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．

【解答】解：∵x²﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，

∴△=4﹣4（kb+1）＞0，

解得kb＜0，

A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；

B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；

C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；

D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确；

故选：B．

【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

　

10．a，b，c为常数，且（a﹣c）²＞a²+c²，则关于x的方程ax²+bx+c=0根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．无实数根 D．有一根为0

【考点】一元二次方程根的判别式．

【分析】利用完全平方的展开式将（a﹣c）²展开，即可得出ac＜0，再结合方程ax²+bx+c=0根的判别式△=b²﹣4ac，即可得出△＞0，由此即可得出结论．

【解答】解：∵（a﹣c）²=a²+c²﹣2ac＞a²+c²，

∴ac＜0．

在方程ax²+bx+c=0中，

△=b²﹣4ac≥﹣4ac＞0，

∴方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根．

故选B．

【点评】本题考查了完全平方公式以及根的判别式，解题的关键是找出△=b²﹣4ac＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号，得出方程实数根的个数是关键．

11．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2 ，DE=2，则四边形OCED的面积（　　）

A．2 B．4 C．4 D．8

【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．

【专题】计算题；矩形 菱形 正方形．

【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCEF的面积即可．

【解答】解：连接OE，与DC交于点F，

∵四边形ABCD为矩形，

∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，

∵OD∥CE，OC∥DE，

∴四边形ODEC为平行四边形，

∵OD=OC，

∴四边形ODEC为菱形，

∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，

∵DE∥OA，且DE=OA，

∴四边形ADEO为平行四边形，

∵AD=2 ，DE=2，

∴OE=2 ，即OF=EF= ，

在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF= =1，即DC=2，

则S_菱形ODEC= OE•DC= ×2 ×2=2 ．

故选A

【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．

12．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（　　）

A． B． C． D．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况，

∴取到的是一个红球、一个白球的概率为： = ．

故选C．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

　

二．填空题（共4小题）

13．如果关于x的方程x²﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是　 　．

【考点】一元二次方程根的判别式．

【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．

【解答】解：∵关于x的方程x²﹣3x+k=0有两个相等的实数根，

∴△=（﹣3）²﹣4×1×k=9﹣4k=0，

解得：k= ．

故答案为： ．

【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．

14．下列各组的两个图形：

①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．

其中一定相似的是　③④　（只填序号）

【考点】相似多边形的判定．

【分析】根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断．

【解答】解：①两个等腰三角形的对应角不一定相等，故错误；

②两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误；

③两个等边三角形一定相似；

④两个正方形一定相似；

⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形不一定相似，故错误，

故答案为：③④．

【点评】本题考查的是相似图形，根据相似图形的定义进行判断．对多边形主要是判断对应的角和对应的边．

15．如图，身高为1.6米的小华站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为　8　米．

【考点】相似三角形的性质．

【专题】应用题．

【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．

【解答】解：如图：

∵AB∥CD，

∴CD：AB=CE：BE，

∴1.6：AB=2：10，

∴AB=8米，

∴灯杆的高度为8米．

答：灯杆的高度为8米．

【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出灯杆的高度，体现了方程的思想．

16．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE= ．则四边形ABFE′的面积是　 　．

【考点】正方形的性质．

【分析】如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．易知△AEB≌△AED≌△ADE′，先求出正方形AMEN的边长，再求出AB，根据S_四边形ABFE′=S_四边形AEFE′+S_△AEB+S_△EFB即可解决问题．

【解答】解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AO=OB=OD=OC，

∠DAC=∠CAB=∠DAE′=45°，

根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，

∴DE=DE′，AE=AE′，

∴AD垂直平分EE′，

∴EN=NE′，

∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE= ，

∴AM=EM=EN=AN=1，

∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，

∴EN=EO=1，AO= +1，

∴AB= AO=2+ ，

∴S_△AEB=S_△AED=S_△ADE′= ×1×（2+ ）=1+ ，S_△BDE=S_△ADB﹣2S_△AEB=1+ ，

∵DF=EF，

∴S_△EFB= ，

∴S_△DEE′=2S_△ADE﹣S_△AEE′= +1，S_△DFE′= S_△DEE′= ，

∴S_四边形AEFE′=2S_△ADE﹣S_△DFE′= ，

∴S_四边形ABFE′=S_四边形AEFE′+S_△AEB+S_△EFB= ．

故答案为 ．

【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积，属于中考填空题中的压轴题．

　

三．解答题（共6小题）

17．已知关于x的方程x²+mx+m﹣2=0．

（1）若此方程的一个根为1，求m的值；

（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．

【考点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解．

【分析】（1）直接把x=1代入方程x²+mx+m﹣2=0求出m的值；

（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．

【解答】解：（1）根据题意，将x=1代入方程x²+mx+m﹣2=0，

得：1+m+m﹣2=0，

解得：m= ；

（2）∵△=m²﹣4×1×（m﹣2）=m²﹣4m+8=（m﹣2）²+4＞0，

∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

【点评】此题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

18．如图，BD∥AC，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC， = ，OB=4，求AO和AB的长．

【考点】相似三角形的性质．

【分析】由相似比可求得OA的长，再利用线段的和可求得AB长．

【解答】解：

∵△OBD∽△OAC，

∴ = = ，

∴ = ，解得OA=6，

∴AB=OA+OB=4+6=10．

【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．

　

19．一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．

（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？

（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是　2　；

（3）当n=2时，先从袋中任意摸出1个球不放回，再从袋中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法，求两次都摸到白球的概率．

【考点】利用频率估计概率．

【分析】（1）当n=1时，利用概率公式可得到摸到红球和摸到白球的概率都为 ；

（2）利用频率估计概率，则摸到绿球的概率为0.25，根据概率公式得到 =0.25，然后解方程即可；

（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性相同；

（2）利用频率估计概率得到摸到绿球的概率为0.25，

则 =0.25，解得n=2，

故答案为2；

（3）解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的结白色的结果共有2 种，

所以两次摸出的球颜色不同的概率= = ．

【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

20．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．

【考点】矩形的性质．

【专题】矩形 菱形 正方形．

【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；

（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．

【解答】解：（1）如图所示，EF为所求直线；

（2）四边形BEDF为菱形，理由为：

证明：∵EF垂直平分BD，

∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，

∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE，

∴∠BEF=∠BFE，

∴BE=BF，

∵BF=DF，

∴BE=ED=DF=BF，

∴四边形BEDF为菱形．

【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图﹣基本作图，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．

　

21．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC= ，在AC边上截取AD=BC，连接BD．

（1）通过计算，判断AD²与AC•CD的大小关系；

（2）求∠ABD的度数．

【考点】相似三角形的判定．

【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD²与AC•CD的值，从而可得到AD²与AC•CD的关系；

（2）由（1）可得到BD²=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．

【解答】解：（1）∵AD=BC，BC= ，

∴AD= ，DC=1﹣ = ．

∴AD²= = ，AC•CD=1× = ．

∴AD²=AC•CD．

（2）∵AD=BC，AD²=AC•CD，

∴BC²=AC•CD，即 ．

又∵∠C=∠C，

∴△BCD∽△ACB．

∴ ，∠DBC=∠A．

∴DB=CB=AD．

∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．

设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴x+2x+2x=180°．

解得：x=36°．

∴∠ABD=36°．

【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．

22．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种商品每次降价的百分率；

（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？

【考点】平均增长(降低)率问题(一元二次方程)．

【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1﹣降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；

（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．

【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，

依题意得：400×（1﹣x%）²=324，

解得：x=10，或x=190（舍去）．

答：该种商品每次降价的百分率为10%．

（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，

第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；

第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．

依题意得：60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210，

解得：m≥22.5．

∴m≥23．

答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键．